2022年二元一次不等式与简单的线性规划问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第三节学习必备欢迎下载二元一次不等式组与简洁的线性规划问题备考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.会从实际情境中抽象出1. 考查形式：挑选题或填空题二元一次不等式组2.命题角度：2.明白二元一次不等式的1求目标函数的最大值或最小值,或以最值为载体求其参数的几何意义,能用平面区域 值 范畴 ,如 20XX 年广东 T5,新课标全国 T14,山东 T5 等表示二元一次不等式组2利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案,如 20XX 年3.会从实际情境中抽象出 江西 T8 等一些简洁的二元线性规划3将线性规划问题与其他学问相结合,如向量、不等式、导数问题,并能加以解决. 等相结合命题,如20XX 年陕西 T14,福建 T9 等. 归纳 ·学问整合 1二元一次不等式表示的平面区域1一般地, 在平面直角坐标系中,二元一次不等式AxBy C0 表示直线 Ax ByC0 某一侧的全部点组成的平面区域半平面 不包括边界直线不等式 AxByC0 所表示的平面区域 半平面 包括边界直线2对于直线 AxByC0 同一侧的全部点x,y,使得 AxByC 的值符号相同,也就是位于同一半平面的点,其坐标适合 AxByC0；而位于另一个半平面内的点,其坐标适合 AxByC0. 3可在直线 AxByC0 的某一侧任取一点,一般取特殊点 的符号来判定 AxByC>0或 AxByC<0所表示的区域x0,y0,从 Ax0By0C4由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域 的公共部分2线性规划中的基本概念名师归纳总结 名称意义第 1 页,共 20 页约束条件由变量 x,y 组成的不等式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线性约束条件 由 x,y 的一次不等式 或方程 组成的不等式 组 目标函数 关于 x,y 的函数解析式,如 z2x 3y 等线性目标函数 关于 x,y 的一次解析式可行解 满意线性约束条件的解 x,y 可行域 全部可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题探究 1.点 P1x1,y1和 P2x2,y2位于直线 AxByC0 的两侧的充要条件是什么？提示： Ax1By1CAx 2By2C<0. 2可行解与最优解有何关系？最优解是否唯独？提示： 最优解必定是可行解,但可行解不肯定是最优解,最优解不肯定唯独自测 ·牛刀小试 1教材习题改编 不等式 x2y6<0 表示的区域在直线x2y60 的 A右上方B右下方C左上方D左下方解析： 选 C画出图形如下列图,可知该区域在直线x2y60 的左上方2教材习题改编不等式 x2y1xy30 在直角坐标平面内表示的区域用阴影名师归纳总结 部分表示 ,应是以下图形中的 第 2 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析： 选 C学习必备欢迎下载x2y 1x y30.x2y10,或x2y10, xy30,xy3 0.3如下列图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是A.xy 10B.xy10x2y20x2y20xy10 xy10C. D.x2y20 x2y20解析：选 A 两条直线方程为： xy10,x2y20.将点 1,1代入 xy1 得 1>0,代入 x 2y2 得 1>0,即点 1,1在 x2y2 0 的内部,在元一次不等式组为xy10,x2y20.xy10 的内部,故所求二4以下各点中,与点 1,2位于直线 xy1 0 的同一侧的是 A0,0 B1,1 C1,3 D2, 3 解析： 选 C 当 x1,y2 时, x y11212>0,当 x 1, y3 时, xy1 1311>0,故1,3与1,2位于直线 xy10 的同侧名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xy 1,52022 ·广东高考 已知变量x,y 满意约束条件xy 1,就 zx2y 的最小值为x10, B1 A3 C 5 D 6 xy1,解析： 选 C变量 x,y 满意的不等式组xy1,表示的平面区域如下列图,作辅x10助线 l0：x2y 0,并平移到过点A1, 2时, zx2y 达到最小,最小值为5. 二元一次不等式组表示的平面区域x y30,例 12022 ·福建高考 如直线 y2x 上存在点 x,y满意约束条件x 2y30,就x m,实数 m 的最大值为 B1 D2 A 1 3 C. 2自主解答 如下列图：约束条件xy3 0,x2y30,表示的可行域如阴影部分所示当直xm名师归纳总结 线 x m 从如下列图的实线位置运动到过A 点的位置时,m 取最大值解方程组第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x y30,学习必备欢迎下载1. 得 A 点坐标为 1,2,故 m 的最大值是y 2x,答案 B 二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中,设有直线AxByC 0B 不为 0及点 Px0,y0,就1如 B>0,Ax0By0C>0,就点 P 在直线的上方, 此时不等式 AxByC>0 表示直线Ax ByC0 的上方的区域2如 B>0,Ax0By0C<0,就点 P 在直线的下方, 此时不等式 AxByC<0 表示直线Ax ByC0 的下方的区域注：如 B 为负,就可先将其变为正 3如是二元一次不等式组,就其平面区域是全部平面区域的公共部分0x 2,1已知关于x,y 的不等式组xy 20,所表示的平面区域的面积为4,就 k 的kxy20值为 其中平面区域B 3 kxy20A1 C1 或 3 D0 解析： 选 Akxy20 是含有坐标原点的半平面直线又过定点 0,2,这样就可以依据平面区域的面积为4,确定一个封闭的区域,作出平面区域即可求解平面区域如下列图,依据区域面积为4,得 A2,4,代入直线方程,得k1. 利用线性规划求最值x4y30,例 2变量 x,y 满意3x5y250,x1,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设 z 4x3y,求 z 的最大值x4y30,自主解答 由约束条件3x5y250,x1,作出 x,y的可行域如下列图由 z 4x3y,得 y4 3x3. z求 z4x3y 的最大值,相当于求直线 y4 3x3在 y 轴上 z的截距 z 3的最小值 平移直线 y4 3x 知,当直线 y43x3过点 B 时, z 3最小, z 最大 x4y30,由 解得 B5,23x5y250,故 zmax4× 53× 214. 保持例题条件不变,如何解决以下问题y1设 zx,求 z 的最小值；2设 zx 2y 2,求 z 的取值范畴解： 1zy xy0x0 . z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率观看图形可知 zminkOB2 5. 2zx 2y 2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,x1,由 解得 C1,1x4y30,dmin|OC|2,dmax|OB|29. 2z 29.名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载目标函数最值问题分析1线性目标函数的最大小值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得2求线性目标函数的最优解,要留意分析线性目标函数所表示的几何意义 在 y 轴上的截距或其相反数3对目标函数不是一次函数的问题,常考虑目标函数的几何意义,如 x 2y 2表示点x,y与原点 0,0之间的距离；xa 2 yb 2表示点 x,y与点 a,b之间的距离 yx 表示点 x, y与原点 0,0连线的斜率；yb 表示点 x,y与点 a,b连线的斜率这些代数式的xa几何意义能使所求代数问题转化为几何问题xy60,2已知实数 x,y 满意xy0,如 z axy 的最大值为3a9,最小值为 3ax3,3,就实数 a 的取值范畴为 _解析： 作出 x,y 满意的可行域,如图中阴影部分所示,就z 在点 A 处取得最大值,在点 C 处取得最小值,又 kBC 1,kAB1,1 a1,即 1a1. 答案： 1,1 线性规划的实际应用名师归纳总结 例 32022 ·江西高考 某农户方案种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50 亩,投入资金第 7 页,共 20 页不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量 /亩年种植成本 /亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元为使一年的种植总利润总利润总销售收入总种植成本最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位：亩 分别为 A50,0B30,20 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C20,30 学习必备欢迎下载D0,50 自主解答 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩, y 亩,总利润为z 万元,就目标函数为 z0.55× 4x1.2x0.3× 6y0.9yx0.9y. 线性约束条件为x y50,即xy50,1.2x0.9y54,4x3y 180,x 0,x0,y0,y0.画出可行域,如下列图作出直线 l 0：x0.9y0,向上平移至过点A 时,z 取得最大值, 由xy50,解4x3y 180,得 A30,20 答案 B 解答线性规划实际问题的一般步骤1依据题意设出变量,找出约束条件和目标函数；2精确作出可行域,求出最优解；3将求解出来的结论反馈到实际问题当中,设计正确方案3A,B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已名师归纳总结 知 A 产品需要在甲机器上加工3 小时, 在乙机器上加工1 小时；B 产品需要在甲机器上加工第 8 页,共 20 页1 小时,在乙机器上加工3 小时在一个工作日内,甲机器至多只能使用11 小时,乙机器至多只能使用9 小时 A 产品每件利润300 元,B 产品每件利润400 元,就这两台机器在一个工作日内制造的最大利润是_元- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3xy11,解析： 设生产 A, B 两种产品各x 件, y 件,就 x,y 满意约束条件x3y9,xN, yN,解得生产利润为z300x 400y. 3x y11,画出可行域, 如下列图, 明显目标函数在点A 处取得最大值, 由方程组x3y9,x3,y2,此时目标函数的最大值是300× 3400× 21 700. 故最大利润是1 700 元答案： 1 700 1 种方法 确定二元一次不等式所表示的平面区域的方法 1直线定界,即如不等式不含等号,就应把直线画成虚线；如不等式含有等号,把直 线画成实线2特殊点定域,即在直线AxBy C 0 的某一侧取一个特殊点x0, y0作为测试点代入不等式检验,如满意不等式,就表示的就是包括该点的这一侧,否就就表示直线的另一侧特殊地,当C 0 时,常把原点作为测试点；当C0 时,常选点 1,0或者 0,1作为测试点1 个步骤 利用线性规划求最值的步骤1在平面直角坐标系内作出可行域；2考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形；3在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解；4将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值1 个几何意义 线性目标函数最值的几何意义名师归纳总结 求二元一次函数zaxbyab 0的最值,将函数zaxby 转化为直线的斜截式：y第 9 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a bx z,通过求直线的截距学习必备欢迎下载z 的最值间接求出bz 的最值,应留意以下两点：名师归纳总结 1如 b>0,就截距z b取最大值时, z 也取最大值；截距z b取最小值时, z 也取最小值m第 10 页,共 20 页2如 b<0,就截距z b取最大值时, z 取最小值；截距z b取最小值时, z 取最大值按a,b方向平移直线axby0,z 越来越大 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载创新交汇 与线性规划有关的交汇问题1线性规划问题常与指数函数、对数函数、向量以及解析几何的相关学问交汇命题2解决此类问题的思维精髓是“ 数形结合” ,作图要精确,图上操作要规范典例 2022 ·江苏高考 已知正数 a,b,c 满意： 5c 3ab4ca, cln bacln c,就b a的取值范畴是 _解析 由条件可得3·c b c5cb4,cea c,3xy5,令a cx,b cy,就问题转化为约束条件为 x y4,求目标函数 zb a y x的取值范y e x,围作出不等式组所表示的平面区域 如图中阴影部分 ,过原点作 ye x 的切线,切线方程为 yex,切点 P1,e在区域内故当直线 y zx 过点 P1, e时, zmine；当直线 yzx过点 C 1 2,7 2时, zmax7,故 b ae,7 答案 e,7 名师点评 1此题具有以下创新点1命题角度新奇,此题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值,因而需要将所给不等式组进行合理转化后,约束条件才明朗2考查学问点新奇,此题将不等式,对数、指数函数,导数以及曲线的切线问题相交汇,运算求解才能、运用数形结合、分类争论的思想方法分析与解决问题的才能要求较高2解决此题的关键1正确将不等式 5c3ab4c a,clnbacln c 进行合理转化,明确约束条件,将其转化为线性规划问题；名师归纳总结 2正确识别b a的几何意义,将其转化为斜率问题求解第 11 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载变式训练 0x2,1已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 y2,给定,如 Mx,yx2y为 D 上的动点,点 A 的坐标为 2, 1,就 z OM · OA 的最大值为 A3 B4C3 2 D4 2 解析： 选 B 区域 D 如下列图：设 Mx,y,就 z OM · OA x,y · 2, 12xy. 要求目标函数z2xy 的最大值即求直线y2xz 在 y 轴上截距的最大值, 画 l 0：y2x,由图知过直线y2 与直线 x2的交点 M 2,2时, z 取得最大值为zmax2×224. D.如指数函数ya x 的图象上存在xy110,2设不等式组3xy 30,表示的平面区域为5x3y90区域 D 上的点,就a 的取值范畴是 B2,3 A1,3 C1,2 平面区域 D 如下列图D3, 解析： 选 A要使指数函数yax的图象上存在区域D 上的点,所以 1a 3. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 32022 ·陕西高考 设函数 fx学习必备欢迎下载ln x,x>0,2x1,x0,D 是由 x 轴和曲线yfx及该曲线在点 1,0处的切线所围成的封闭区域,就zx 2y在 D 上的最大值为 _解析： 当 x>0 时,求导得 fx1 x,所以曲线在点 1,0处的切线的斜率 k 1,切线方程为 y x1,画图可知区域 D 为三角形, 三个顶点的坐标分别为1 2,0 ,0,1,1,0,平移直线 x2y0,可知在点 0, 1处 z 取得最大值 2. 答案： 2 一、挑选题 本大题共 6 小题,每道题 5 分,共 30 分 x0,1不等式组x3y4,所表示的平面区域的面积等于 3xy4A.3 2B.2 3D.3 4C.4 3解析： 选 C平面区域如图解x3y4,3xy4,得 A1,1,名师归纳总结 易得 B0,4,C 0,4 3,第 13 页,共 20 页|BC|44 38 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S ABC12×83× 14 3. 学习必备欢迎下载|x|y|,2在平面直角坐标系 xOy 中,满意不等式组 的点 x,y的集合用阴影表示为|x|<1以下图中的 解析：选 C |x|y|把平面分成四部分,|x|y|表示含 y 轴的两个区域； |x|<1 表示 x±1所夹含 y 轴的带状区域2xy20,32022 ·天津高考 设变量 x,y 满意约束条件x2y40,就目标函数z3x 2yx10,的最小值为 A 5 B 4 C 2 D3 解析： 选 B 不等式表示的平面区域是如下列图的阴影部分,作帮助线 l 0：3x2y 0,结合图形可知,当直线 3x2y z平移到过点 0,2时, z3x2y 的值最小,最小值为4. xy10,4如实数 x,y 满意 x>0,就y x的取值范畴是 y2,名师归纳总结 A0,2 B0,2 第 14 页,共 20 页C2, D2, 解析： 选 D画出线性约束条件的可行域如图 y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由xy10,得 A1,2,学习必备欢迎下载y2,故 kkOA2. y x2. xy10,52022 ·辽宁高考 设变量 x,y 满意 0xy20,0y15,就 2x3y 的最大值为 A20 B35 C45 D55 解析：选 D 作出不等式组对应的平面区域 如下列图 ,平移直线 y2 3x,易知直线经过可行域上的点 A5,15时, 2x3y 取得最大值 55. 62022 ·衡水模拟 点 P2,t在不等式组xy40,表示的平面区域内,就点 P2,xy30,t到直线 3x4y100 距离的最大值为 A2 B4 C6 D8 解析： 选 B画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示结合图形可知,点 A 到直线 3x4y100 的距离最大由x 2 |3× 24× 110|得 A 点坐标为 2,1,故所求最大距离为 dmax4. x y30 3 24 2二、填空题 本大题共 3 小题,每道题 5 分,共 15 分 7已知点 3, 1和点 4, 6在直线 3x2ya0 的两侧,就 a 的取值范畴为_解析： 依据题意知 92a ·1212a<0,即a7a24<0,解得 7<a<24. 答案： 7,24 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x4y30,82022 ·濮阳模拟 已知点 A2,0,点 P 的坐标 x,y满意3x 5y25,就|OP | ·cosx10,AOP O 为坐标原点 的最大值是 _解析： |OP | ·cosAOP 即为 OP 在 OA 上的投影,即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值由x4y30,可得交点的坐标为5,2,此时3x 5y25,|OP | ·cosAOP 取值最大,|OP | ·cosAOP 的最大值为 5. 答案： 5 9某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品 5件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最少为 _元解析： 设租赁甲设备 x 台,乙设备 y 台,5x6y 50,10x20y140,就xN *,yN *,设租赁费用为 w,w200x300y. 约束条件构成的平面区域如图：解5x6y50,10x20y140,得 A4,5w min200× 4300× 52 300. 答案： 2 300 名师归纳总结 三、解答题 本大题共 3 小题,每道题12 分,共 36 分 第 16 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载xy50,102022 ·合肥模拟 画出不等式组xy0,表示的平面区域, 并回答以下问题：x3 1指出 x,y 的取值范畴；2平面区域内有多少个整点？解： 1不等式 x y50 表示直线 xy50 上及其右下方的 点的集合, xy0 表示直线 xy0 上及其右上方的点的集合,x3 表示直线 x3 上及其左方的点的集合xy5 0,所以,不等式组xy0,表示的平面区域如下列图x3结合图中可行域得 x5 2, 3 ,y3,8xyx5,2由图形及不等式组知5 2x3,且 xZ,当 x3 时, 3y8,有 12 个整点；当 x2 时, 2y7,有 10 个整点；当 x1 时, 1y6,有 8 个整点；当 x0 时, 0y5,有 6 个整点；当 x 1 时, 1y4,有 4 个整点；当 x 2 时, 2y3,有 2 个整点；平面区域内的整点共有2468101242个11设 x,y 满意约束条件xy50,求 zx12y 2 的最大值xy0,x3,xy50,解： 作出不等式组xy0,表示的平面区域,如图中x3名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载阴影部分所示x 12y2 可看作点 x,y到点 P 1,0的距离的平方,由图象可知可行域内的点A 到点 P1,0的距离最大解方程组zx1x 3,x y50,得 A 点的坐标为 3,8,代入2y 2,得 zmax3128 280. xy 1,122022 ·黄山模拟 如 x,y 满意约束条件 xy 1,2x y2,1求目标函数z1 2xy1 2的最值a 的取值范畴2如目标函数z ax2y 仅在点 1,0处取得最小值,求解： 1作出可行域如图,可求得 平移初始直线1 2xy1 20,过 取最大值 1. A3,4,B0,1,C1,0A3,4取最小值 2,过 C1,0z 的最大值为 1,最小值为 2. 2直线 ax2yz 仅在点 1,0处取得最小值,由图象可知1<a 2<2,解得 4<a<2. 故所求 a 的取值范畴为 4,22xy60,1不等式组xy3 0,表示的平面区域的面积为 y2名师归纳总结 A4 不等式组B1 第 18 页,共 20 页C5 D无穷大解析： 选 B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2xy60,xy3 0,表示的平面区域如下列图阴影部分 , ABC 的面积即为所求求y2出点 A,B,C 的坐标分别为A1,2,B2,2,C3,0,就 ABC 的面积为S1 2× 21× 21. y1,2如变量 x,y 满意约束条件xy0,就 zx2y 的最大值为 xy20,A4 B3 C2 D1 解析： 选 B 作出可行域如下列图 阴影部分 ,把 zx2y 变形为 yx 2z 2,得到斜率为 1 2,在 y 轴上的截距为2,随 z 变化的一 z组平行直线由图可知, 当直线 yx 2 z 2经过点 A 时, z 2最小,即 z 最大,解方程组xy0,xy20,得 A 点坐标为 1, 1,所以 zmax12× 13. yx,3设 m>1,在约束条件ymx,下,目标函数zxmy 的最大值小于2,就 m 的xy1取值范畴为 B12, A1,12 C1,3 D3, yx,解析： 选 Am>1,由ymx,画出可行域,如下列图xy1,名师归纳总结 对于目标函数zxmy,即ymx得第 19 页,共 20 页y1 mxm,平移直线 y 1 mx 到 B 处 z 取值最大,就由xy1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - B1,m1m m1,zmax学习必备欢迎下载21m <2. m 1 m1名师归纳总结 解得 12<m<12,第 20 页,共 20 页又m>1,1<m<12. - - - - - - -