2022年二次函数-因动点产生的等腰三角形问题典型例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数 - 因动点产生的等腰三角形问题例 1、如图 1,在 Rt ABC中, A90° , AB6,AC8,点 D为边 BC的中点, DEBC交边 AC于点 E,点 P为射线 AB上的一动点,点Q为边 AC上的一动点,且PDQ90° （1）求 ED、EC的长；（2）如 BP2,求 CQ的长；（3）记线段 PQ与线段 DE的交点为 F,如 PDF为等腰三角形,求 BP的长图 1 备用图思路点拨1第（ 2）题 BP2 分两种情形2解第（ 2）题时,画精确的示意图有利于懂得题意,观看线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形 形 CDQ满分解答PDF时,依据相像三角形的传递性,转化为探求等腰三角（1）在 Rt ABC中, AB6,AC8,所以 BC10在 Rt CDE中, CD5,所以EDCDtanC5315,EC25444（2）如图 2,过点 D作 DMAB,DN AC,垂足分别为 ABC的两条中位线,DM4, DN3M、 N,那么 DM、DN是由 PDQ90° , MDN90° ,可得 PDM QDN因此 PDM QDN所以PMDM4所以QN3PM ,PM4QN 图 4 QNDN343图 2 图 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如图 3,当 BP2, P在 BM上时, PM1此时QN3PM3所以CQCNQN431934444如图 4,当 BP2, P在 MB的延长线上时,PM 5此时QN3PM15所以CQCNQN415314444（3）如图 5,如图 2,在 Rt PDQ中,tanQPDQDDNPDDM4在 Rt ABC中,tanCBA3所以 QPD CCA4由 PDQ90° , CDE90° ,可得 PDF CDQ因此 PDF CDQ当 PDF是等腰三角形时,CDQ也是等腰三角形如图 5,当 CQCD5 时, QN CQCN54 1（如图 3 所示）此时PM4QN4所以BPBMPM34 35 32533如图 6,当 QCQD时,由 cosCCH,可得CQ54CQ258所以 QNCNCQ4257（如图 2 所示）8837 625 6此时PM4QN7所以BPBMPM36不存在 DPDF的情形这是由于DFP DQP DPQ（如图 5,图 6 所示）图 5 图 6 考点舒展名师归纳总结 如图 6,当 CDQ是等腰三角形时,依据等角的余角相等,可以得到BDP也是等腰三第 2 页,共 14 页角形, PBPD在 BDP中可以直接求解BP256- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 2 、如图 1,抛物线 yax 物线的对称轴2bxc 经过 A 1,0 、B3, 0 、C0 ,3 三点,直线 l 是抛（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点M,使 MAC为等腰三角形,如存在,直接写出全部符合条件的点 M的坐标；如不存在,请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题是典型的“ 牛喝水” 问题,点P在线段 BC上时 PAC的周长最小2第（ 3）题分三种情形列方程争论等腰三角形的存在性满分解答（1）由于抛物线与 x 轴交于 A 1,0 、B3, 0 两点,设 ya x1 x3 ,代入点 C0 ,3,得 3a3解得 a 1所以抛物线的函数关系式是 y x1 x3 x 22x3（2）如图 2,抛物线的对称轴是直线 x1当点 P落在线段 BC上时, PAPC最小,PAC的周长最小设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H由BH PH,BO CO,得 PHBH2BO CO所以点 P 的坐标为 1, 2图 2 （3）点 M的坐标为 1, 1、1,6 、1,6 或1,0 考点舒展第（ 3）题的解题过程是这样的：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设点 M的坐标为 1, m 在 MAC中, AC 210,MC 21 m3 2,MA 24 m 2如图 3,当 MAMC时, MA 2MC 2解方程 4m 21 m3 2,得 m1此时点 M的坐标为 1, 1如图 4,当 AMAC时, AM 2AC 2解方程 4m 210,得 m 6此时点 M的坐标为 1, 6 或1, 6 如图 5,当 CMCA时, CM 2CA 2解方程 1 m3210,得 m0 或 6当 M1, 6时, M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为 1,0 图 3 图 4 图 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 3、如图 1,点 A 在 x 轴上, OA4,将线段 OA绕点 O顺时针旋转 120° 至 OB的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、 B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、 O、B 为顶点的三角形是等 P 的坐标；如不存在,请说明理由腰三角形？如存在,求点图 1 思路点拨 1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类,按腰相等分三种情形；再依据两点间的 距离公式列方程；然后解方程并检验2此题中等腰三角形的角度特别,三种情形的点 P重合在一起满分解答（1）如图 2,过点 B 作 BCy 轴,垂足为COC2 3在 Rt OBC中, BOC30° , OB4,所以 BC2,所以点 B 的坐标为 2, 2 3 （2）由于抛物线与x 轴交于 O、A4, 0,设抛物线的解析式为yaxx4 ,代入点 B 2, 2 3 ,2 32a 6解得a36所以抛物线的解析式为y3x x43x22 3x663（3）抛物线的对称轴是直线x2,设点 P的坐标为 2, y 名师归纳总结 当 OPOB4 时, OP 216所以 4+y 2 16解得2y2 3y 22 3第 5 页,共 14 页当 P 在 2,23时,B、O、P三点共线（如图2）16解得y 1当 BPBO4 时, BP 216所以42y2 32当 PBPO时, PB 2PO 2所以2 4y2 3222 y 解得y2 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载综合、,点 P 的坐标为 2, 2 3 ,如图 2 所示图 2 图 3 考点舒展如图 3,在此题中, 设抛物线的顶点为D,那么 DOA与 OAB是两个相像的等腰三角形名师归纳总结 由ytan3 6x x43x222 3,得抛物线的顶点为D2,2 3第 6 页,共 14 页633因此DOA2 3所以 DOA30° , ODA 120° 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、如图 1,已知一次函数学习必备欢迎下载y4x的图象交于点A,且与 x 轴交y x7 与正比例函数3于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2）过点 A作 ACy 轴于点 C,过点 B作直线 l / y 轴动点 P 从点 O 动身,以每秒 1 个单位长的速度,沿 O C A的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 动身,以相同速度向左平移, 在平移过程中, 直线 l 交 x 轴于点 R,交线段 BA或线段 AO于点 Q当点 P到达点 A 时,点 P 和直线 l 都停止运动在运动过程中,设动点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时,以 A、P、 R为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,求 t 的值；如不存在,请说明理由图 1 思路点拨1把图 1 复制如干个,在每一个图形中解决一个问题2求 APR的面积等于 8,依据点 P 的位置分两种情形争论事实上,P 在 CA上运动时,高是定值 4,最大面积为 6,因此不存在面积为 8 的可能3争论等腰三角形 APQ,依据点 P 的位置分两种情形争论,点 P 的每一种位置又要讨论三种情形满分解答名师归纳总结 （1）解方程组yx7,得x3,所以点 A 的坐标是 3 ,4 第 7 页,共 14 页4 , 3yy4.令yx70,得x7所以点 B的坐标是 7 ,0 （2）如图 2,当 P 在 OC上运动时, 0t 4由SAPRS 梯形CORASACPSPOR8,得1（3+72t4144t1t7t8整理,得t28 t120解得t2 或t622（舍去）如图 3,当 P 在 CA上运动时,APR的最大面积为6因此,当 t 2 时,以 A、P、R为顶点的三角形的面积为8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 学习必备欢迎下载图 4 图 3 我们先争论P在 OC上运动时的情形,0t 4AB4 2,所以 OBAB因如图 1,在 AOB中, B45° , AOB45° , OB7,此 OAB AOB B如图 4,点 P 由 O向 C运动的过程中,OPBRRQ,所以 PQ/ x 轴因此 AQP45° 保持不变,PAQ越来越大,所以只存在APQ AQP的情形此时点 A 在 PQ的垂直平分线上,OR 2CA6所以 BR1,t 17tt我们再来争论P在 CA上运动时的情形,4t 7在 APQ中,cosA3为定值,AP7t ,AQOAOQOA5OR5t205333如图 5,当 APAQ时,解方程7t5t20,得t41338如图6,当QP QA 时,点Q 在 PA 的垂直平分线上,AP 2 OR OP 解方程27t4,得t55如7 , 当PA PQ 时 , 那 么cosA1 AQ2AP 因 此AQ2APcosA 解 方 程2027t3,得t22633543综上所述, t 1 或41 8或 5 或226 43时,APQ是等腰三角形图 5 图 6 图 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点舒展名师归纳总结 当 P 在 CA上, QPQA时,也可以用AP2AQcosA来求解第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 5 、如图 1,在矩形 ABCD中, ABm（ m是大于 0 的常数）,BC8,E 为线段 BC上的动点（不与 B、C重合）连结 DE,作 EFDE, EF与射线 BA交于点 F,设 CEx,BFy（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）如 m 8,求 x 为何值时, y 的值最大,最大值是多少？（3）如y12,要使DEF为等腰三角形,m的值应为多少？m图 1思路点拨1证明DCE EBF,依据相像三角形的对应边成比例可以得到y 关于 x 的函数关系式2第（ 2）题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值3第（ 3）题头绪复杂,运算简洁,分三段表达一段是说理,假如DEF为等腰三角形,那么得到 xy；一段是运算,化简消去 m,得到关于 x 的一元二次方程,解出 x 的值；第三段是把前两段结合,代入求出对应的 m的值满分解答1 由于 EDC与 FEB都是 DEC的余角,所以 EDC FEB又由于 C B90° ,所以DCE EBF因此DC CEyEB,即m8x整理,得y 关于 x 的函数关系为BFxyy1x28xmm1x2x1 8x422因此当x4 时, y 取得最2 如图 2,当 m8 时,8大值为 23 如 y 12,那么 12 1x 2 8x整理,得 x 28 x 12 0解得 x2 或 xm m m m6要使DEF为等腰三角形,只存在 EDEF的情形由于DCE EBF,所以 CEBF,即 xy将 xy 2 代入 y 12,得 m6（如图 3）；将 xy 6 代入 y 12,得 m2m m（如图 4）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 学习必备欢迎下载图 4 图 3 考点舒展此题中蕴涵着一般性与特别性的辩证关系,例如：由第（ 1）题得到y12 x8x1x28 1x4216,AB边为多mmmmm那么不论 m为何值,当x4 时, y 都取得最大值对应的几何意义是,不论长,当 E 是 BC的中点时, BF都取得最大值第（个特别性2）题 m8 是第（ 1）题一般性结论的一名师归纳总结 再如,不论m为小于 8 的任何值,DEF都可以成为等腰三角形,这是由于方程第 11 页,共 14 页x1x28x总有一个根x8m的第（3）题是这个一般性结论的一个特别性mm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 6、如图 1,在等腰梯形ABCD中,AD/ BC,E 是 AB的中点, 过点 E作 EF/ BC交 CD于点 F,AB 4,BC 6, B60° （1）求点 E 到 BC的距离；（2）点 P 为线段 EF上的一个动点,过点 线 ADC于 N,连结 PN,设 EPxP作 PMEF交 BC于 M,过 M作 MN/ AB交折当点 N 在线段 AD上时（如图2）, PMN的外形是否发生转变？如不变,求出PMN的周长；如转变,请说明理由；当点 N在线段 DC上时（如图 3）,是否存在点 P,使 PMN为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意条件的 x 的值；如不存在,请说明理由图 1 图 2 图 3 思路点拨1先解读这个题目的背景图,等腰梯形ABCD的中位线 EF 4,这是 x 的变化范畴平行线间的距离到处相等,AD与 EF、EF与 BC间的距离相等2当点 N在线段 AD上时,PMN中 PM和 MN的长保持不变是明显的,求证 PN的长是关键图形中包含了很多的对边平行且相等,理顺线条的关系很重要3分三种情形争论等腰三角形 满分解答PMN,三种情形各具特别性,敏捷运用几何性质解题（1）如图 4,过点 E 作 EGBC于 G所以在 Rt BEG中,BE1 AB 22, B60° ,BGBEcos601,EGBEsin603所以点 E 到 BC的距离为3 （2）由于 AD/ EF/ BC,E 是 AB的中点,所以F 是 DC的中点因此 EF是梯形 ABCD的中位线, EF4如图 4,当点 N在线段 AD上时,PMN的外形不是否发生转变过点 N作 NHEF于 H,设 PH与 NM交于点 Q名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在矩形 EGMP中, EP GMx, PMEG3 在平行四边形 BMQE中, BMEQ1x所以 BGPQ1由于 PM与 NH平行且相等,所以PH与 NM相互平分, PH2PQ2在 Rt PNH中, NH3 ,PH2,所以 PN7 图 5 在平行四边形ABMN中, MNAB4因此 PMN的周长为3 7 4图 4 当点 N在线段 DC上时,CMN恒为等边三角形如图 5,当 PMPN时, PMC与 PNC关于直线 PC对称,点 P在 DCB的平分线上在 Rt PCM中, PM3 , PCM30° ,所以 MC3此时 M、P 分别为 BC、EF的中点, x 2如图 6,当 MPMN时, MP MNMC3 ,xGMGCMC53 如图 7,当 NPNM时, NMP NPM30° ,所以 PNM120° 又由于 FNM120° ,所以 P 与 F 重合此时 x4综上所述,当x2 或 4 或 53 时, PMN为等腰三角形图 8 图 6 图 7 考点舒展名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第（ 2）题求等腰三角形 PMN可以这样解：名师归纳总结 如图 8,以 B 为原点,直线BC为 x 轴建立坐标系,设点M的坐标为（ m,0）,那么点 P第 14 页,共 14 页的坐标为（ m,3 ）,MNMC6m,点 N的坐标为（m26,36m ）2由两点间的距离公式,得PN2m29m216此时x2当 PMPN时,m29m219,解得m3或mx53当 MPMN时,6m3,解得m63,此时当 NPNM时,m29 m21 6m 2,解得m5,此时x4- - - - - - -