2022年初二三角形四边形动点问题知识点及题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点三角形四边形动点问题适用学科中学适用年级初二数形结合思适用区域人教版课时时长（分钟）60 分钟学问点几何综合动点1、能把握几何动点类问题的思想方法：数学思想：分类思想教学目标想 转化思想2、培育同学的几何动点问题中动中求静的摸索才能教学重点 培育同学的分析问题、解决问题的才能,内容包括空间观念、应用意识、推理才能问题 . 教学难点培育同学主动探究学问,合作沟通的意识,体验数学中的美,. 激发学习爱好,从而培育同学勤于动脑和动手的良好品质教学过程一、复习预习. 1.复习所学过的几何图形及其性质2.列出全部几何图形的面积边长公式二、学问讲解专题一： 一函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ,是中学数学的重要内容 .动点问题反映的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 ,引起未知量与已知量间的一种变化关系 ,这种变化关系就是动点问题中的函数关系 .那么 ,我们怎样建立这种函数解析式呢 .下面结合中考试题举例分析 . 一、应用勾股定理建立函数解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二、应用比例式建立函数解析式；三、应用求图形面积的方法建立函数关系式；专题二：动态几何型压轴题动态几何特点 - 问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中, 特殊要关注图形的特性（特殊角、 特殊图形的性质、 图形的特殊位置； ）动点问题始终是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值；下面就此问题的常见题型作简洁介绍,解题方法、关键给以点拨；一、 以动态几何为主线的压轴题；（一）点动问题；（二）线动问题；（三）面动问题；二、解决动态几何问题的常见方法有 : 1、特殊探路,一般推证；2、动手实践,操作确认；3、建立联系,运算说明；三、专题二总结,本大类习题的共性：1代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类争论、方程、函数2以形为载体,争论数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；争论特殊情形下的函数值；专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 主线,集多个学问点为一体,集多种解题思想于一题. 它主要以几何图形为载体,运动变化为 . 这类题综合性强,才能要求高,它能名师归纳总结 全面的考查同学的实践操作才能,空间想象才能以及分析问题和解决问题的才能. 其中以灵第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点活多变而著称的双动点问题更成为今年中 考试 题的热点, 现采撷几例加以分类浅析,供读者观赏 . 1 以双动点为载体,探求函数图象问题；2 以双动点为载体,探求结论开放性问题；3 以双动点为载体,探求存在性问题；4 以双动点为载体,探求函数最值问题；双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型 .这类试题信息量大 ,对同学们猎取信息和处理信息的才能要求较高 ;解题时需要用运动和变化的眼光去观看和争论问题 ,挖掘运动、变化的全过程 ,并特殊关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系 ,动中取静 ,静中求动；专题四：函数中因动点产生的相像三角形问题专题五：以圆为载体的动点问题动点问题是中学数学的一个难点,中考常常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要奇妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解；此类问题方法奇妙,耐人寻味；三、例题精析【例题 1 】如图,在直角梯形ABCD 中,AD BC,B=90 °,AD=24cm,AB=8cm ,BC=26cm ,动点 P 从 A 开头沿 AD 边向 D 以 1cm/s的速度运动； 动点 Q 从点 C 开头沿 CB 边向 B名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点以 3cm/s 的速度运动 P、Q 分别从点 A、C 同时动身,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动,设运动时间为 ts （1 ）当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形？（2 ）当 t 为何值时,四边形 PQCD 为等腰梯形？（3 ）当 t 为何值时,四边形 PQCD 为直角梯形？解析 ：（1 ）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （2 ）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3 ）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 全部的关系式都可用含有 t 的方程来表示,即此题只要解三个方程即可解答：解：（1）四边形 PQCD 平行为四边形PD=CQ 24-t=3t 解得： t=6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点即当 t=6 时,四边形 PQCD 平行为四边形（2 ）过 D 作 DEBC 于 E 就四边形 ABED 为矩形BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形QC-PD=2CE 即 3t- （24-t ）=4 解得： t=7 （s）即当 t=7 （s）时,四边形 PQCD 为等腰梯形（3 ）由题意知： QC-PD=EC 时,四边形 PQCD 为直角梯形即 3t- （24-t ）=2 解得： t=6.5 （s）即当 t=6.5 （s）时,四边形 PQCD 为直角梯形点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形,直角梯形的判定,难易程度适中名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【例题 2 】如图,在矩形 ABCD 中,BC=20cm ,P,Q ,M ,N 分别从 A,B,C,D 动身沿 AD ,BC,CB,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止 已知在相同时间内,如 BQ=xcm （x0）,就 AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm（1 ）当 x 为何值时,以 PQ , MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2 ）当 x 为何值时,以 P, Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形；（3 ）以 P,Q, M ,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？假如能,求 x 的值；假如不能,请说明理由解析 ：以 PQ ,MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必需条件是点 P、N 重合且点 Q 、M 不重合,此时AP+ND=AD即 2x+x2=20cm,BQ+MCBC即 x+3x 20cm ；或者点 Q 、M 重合且点 P、N 不重合, 此时 AP+ND AD 即 2x+x2 20cm ,BQ+MC=BC 即 x+3x=20cm所以可以依据这两种情形来求解 x 的值以 P, Q, M ,N 为顶点的四边形是平行四边形的话,由于由第一问可知点 Q 只能在点 M的左侧 当点 P 在点 N 的左侧时, AP=MC ,BQ=ND ；当点 P 在点 N 的右侧时, AN=MC,BQ=PD 所以可以依据这些条件列出方程关系式名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点AP+ND AD 即 2x+x2 20cm ,假如以 P,Q ,M ,N 为顶点的四边形为等腰梯形,就必需使得BQ+MC BC 即 x+3x 20cm ,AP=ND即 2x=x2 ,BQ=MC即 x=3x ,x0这些条件不能同时满意,所以不能成为等腰梯形解答：解：（1 ）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时, 以 PQ ,MN 为两边, 以矩形的边 （AD或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点 P 与点 N 重合时,由 x2+2x=20,得 x1= -1 , x2=- -1 （舍去）由于 BQ+CM=x+3x=4（-1 ） 20 ,此时点 Q 与点 M 不重合所以 x= -1 符合题意当点 Q 与点 M 重合时,由 x+3x=20,得 x=5 此时 DN=x2=2520 ,不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合所以所求 x 的值为-1 （2 ）由（ 1）知,点 Q 只能在点 M 的左侧,当点 P 在点 N 的左侧时,由 20- （x+3x ） =20- （2x+x2 ）,解得 x1=0 （舍去）,x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形当点 P 在点 N 的右侧时,由 20- （x+3x ） = （2x+x2 ）-20 ,解得 x1=-10 （舍去）,x2=4 名师归纳总结 当 x=4 时四边形 NQMP是平行四边形第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点所以当 x=2 或 x=4 时,以 P,Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形（3 ）过点 Q ,M 分别作 AD 的垂线,垂足分别为点 E, F由于 2xx,所以点 E 肯定在点 P 的左侧如以 P,Q ,M ,N 为顶点的四边形是等腰梯形,就点 F 肯定在点 N 的右侧,且 PE=NF ,即 2x-x=x2-3x解得 x1=0 （舍去）,x2=4 由于当 x=4 时,以 P,Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,所以以 P,Q ,M ,N 为顶点的四边形不能为等腰梯形点评：此题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点【例题 3 】如图,在直角梯形 ABCD 中, AD BC,C=90 °,BC=16 ,DC=12 ,AD=21 ,动点 P 从点 D 动身,沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C 动身,在线段CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动, P、Q 分别从点 D、C 同时动身,当点 Q 运动到点 B 时,点 P 随之停止运动,设运动时间为 t（s）（1 ）设 BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系；名师归纳总结 （2 ）当 t 为何值时,以B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解析 ：（1 ）如过点 P 作 PM BC 于 M ,就四边形 PDCM 为矩形,得出 PM=DC=12,由 QB=16-tt,可知： s= PM ×QB=96-6t；,（2 ）此题应分三种情形进行争论,如PQ=BQ ,在 Rt PQM 中,由 PQ2=PM2+MQ2PQ=QB ,将各数据代入,可将时间t 求出；如 BP=BQ ,在 Rt PMB 中,由 PB2=BM2+PM2,BP=BQ ,将数据代入,可将时间求出；如 PB=PQ ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ ,将数据代入,可将时间t 求出解答：名师归纳总结 解：（1）过点 P 作 PM BC 于 M ,就四边形PDCM 为矩形第 9 页,共 16 页PM=DC=12,QB=16-t,s= .QB .PM= （ 16-t ）×12=96-6t（0 t）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（2 ）由图可知, CM=PD=2t 以分三种情形四、课堂运用【基础】,CQ=t ,如以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形,可1. 如图,已知在矩形 ABCD 中, AD=8 ,CD=4 ,点 E 从点 D 动身,沿线段 DA 以每秒 1个单位长的速度向点 A 方向移动,同时点 F 从点 C 动身,沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位长的速度移动,当 B, E,F 三点共线时,两点同时停止运动设点 E 移动的时间为 t （秒）（1 ）设四边形 BCFE 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范畴；（2 ）求当 t 为何值时,以 解析E,F,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；1 1（1 ）ED=t ,CF=2t , S= SBCE+ SBCF=2 × 8× 4+2 × 2 t× t=16+ t2即 S=16+ t2（0 t 4）；（2 ）如 EF=EC 时,就点 F只能在 CD 的延长线上,名师归纳总结 EF2=2t42t25 t216t16,第 10 页,共 16 页EC2=42t2t216,5 t216t16=t216t=4 或 t= 0（舍去）；如 EC=FC 时,EC2=42t2t216,FC2=4 t2,t216=4 t2t43；3如 EF=FC 时,EF2=2t42t25t216t16,FC2=4 t2,5 t216 t16=4 t2t 1=168 3 （舍去）,t 2= 168 3 当 t 的值为 4 ,43,168 3 时,以 E,F,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【巩固】2. 如图 1 ,在矩形 ABCD 中, AB=12cm,BC=6cm ,点 P 从 A 点动身,沿 A BCD路线运动,到 D 点停止；点 Q 从 D 点动身,沿 DCBA 运动,到 A 点停止如点 P、点 Q 同时动身,点 P 的速度为每秒 1cm ,点 Q 的速度为每秒 2cm ,a 秒时点 P、点 Q 同时转变速度,点 P 的速度变为每秒 b（ cm ）,点 Q 的速度变为每秒 c（ cm ）如图 2 是点 P动身 x 秒后 APD 的面积 S1（cm2）与 x（秒）的函数关系图象；图 3 是点 Q 动身 x 秒后AQD 的面积 S2（cm2）与 x（秒）的函数关系图象依据图象：（1 ）求 a、b 、c 的值；（2 ）设点 P 离开点 A 的路程为 y 1（cm ）,点 Q 到点 A 仍需要走的路程为 y2（cm ）,请分别写出转变速度后 y1、y2 与动身后的运动时间 x（秒）的函数关系式,并求出 P 与 Q 相遇时 x 的值【答案】 1 a=8；b=2；c=1 2 y1=2x 8（x8）;y2=22 x（x8 ）; 动身 10 秒时, P 与 Q 相遇名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【解析】（1 ）观看图象得,SAPQ =PA.AD=× （1× a）× 6=24 ,解得 a=8 （秒）b= =2 （厘米 / 秒）（22 8）c= （12 × 2+6 ） 2× 8 解得 c=1 （厘米 / 秒）（2 ）依题意得： y 1=1 × 8+2 （x 8）,即： y1 =2x 8（x 8）,y2= （30 2× 8） 1 × （x 8）=22 x（x8）又据题意,当 y1=y 2 时, P 与 Q 相遇,即 2x 8=22 x,解得 x=10 （秒）动身 10 秒时, P 与 Q 相遇【拔高】3. 如 图 1,在矩形 ABCD中,点 P从 B 点出 发沿着四 边按 BCDA 方向 运动 ,开头以每秒 m个单 位 匀速运动 ,a 秒后 变为 每秒 2 个单 位匀速运动 ,b 秒后又恢 复为 每秒 m个单 位匀速运动 在 运动过 程中,ABP的面 积 S与运动时间t 的函 数关 系如 图 2 所示（1）求矩形 ABCD的长和宽；（2）求 m、a、b 的值【答案】 1 长方形的 长为 8,宽为 4 名师归纳总结 2 m=1;a=4；b=11 第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点【解析】（1）从图 象可知, 当 6t 8 时, ABP面积不变 即 6t 8 时,点 P 从点 C 运动到点 D,且这时速度为每秒 2 个单位CD=2 （8 6）=4 AB=CD=4 当 t=6 时（点 P 运动到点 C）,SABP=16 AB.BC=16 × 4× BC=16 BC=8 长方形的长为 8,宽为 4（2 ）当 t=a 时, SABP=8=× 16 即点 P 此时在 BC 的中点处PC=BC=× 8=4 2（6 a） =4 a=4 BP=PC=4 m=BP ÷ a=4 ÷ 4=1 ,当 t=b时, SABP=AB.AP=4 × 4× AP=4 ,AP=2 b=13 2=11 ；课程小结 本节重点讲解常考题型即一次函数动点类综合题,着重讲解几何中解决动点问题的思路,讲解过程中需让同学学会如何运用数形结合思想解决问题,学会动中求静；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点课后作业【基础】1.如图,在梯形ABCD 中, AD BC,B=90 ° ,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm ,点M 从点 A 开头,沿边 AD 向点 D 运动,速度为1cm/s ；点 N 从点 C 开头,沿边 CB 向点 B运动,速度为 2cm/s 、点 M 、N 分别从点 A、C 动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 秒（1 ）当 t 为何值时,四边形 MNCD 是平行四边形？（2 ）当 t 为何值时,四边形MNCD是等腰梯形？【答案】 1 t=5时,四边形MNCD是平行四边形2 t=9时,四边形MNCD是等腰梯形【解析】（1 ）MD NC ,当 MD=NC,即 15-t=2t,t=5 时,四边形 MNCD 是平行四边形；（2 ）作 DEBC,垂足为 E,就 CE=21-15=6,当 CN-MD=12 时,即 2t- （15-t ）=12 ,t=9 时,四边形 MNCD 是等腰梯形【巩固】2. 正方形ABCD边长为 4 ,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时, 保持AM和MN垂直, 设BMx ,梯形 ABCN 的面积为y,求y与 x 之间的函名师归纳总结 数关系式；当M点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积第 14 页,共 16 页A D N - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解析：当RtABMRtMCN,·41x22x81x2210,ABBM,44xx,MCCNCNCNx24x4,yS 梯形ABCN1x 244x4222x2时,y取最大值,最大值为10 拔高：3.如图,已知ABC 中,AB AC 10 厘米,BC 8 厘米,点D为AB的中点1）假如点 P 在线段 BC 上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动如点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1 秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由；名师归纳总结 如点 Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使第 15 页,共 16 页BPD与CQP全等？（2 ）如点 Q 以中的运动速度从点C 动身,点 P 以原先的运动速度从点B 同时动身,都逆时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？A 解：（1）t1 秒,BPCQ3 13厘米,D Q B P C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB10名师总结优秀学问点厘米,点D为AB的中点,BD5厘米又PCBCBP,BC8厘米,PC835厘米,PCBD x80又ABAC , BC , BPDCQPC ,就vPv Q, BPCQ , 又BPDCQP,BBPPC4,CQBD5,15点P,点Q运动的时间tBP4v QCQ5t4433秒, 3厘米 / 秒；15x3 x2 10,解得（2 ）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得43秒名师归纳总结 点P共运动了80380厘米802 2824,点 P 、点Q在 AB 边上相遇,第 16 页,共 16 页380AB 上相遇经过3 秒点 P 与点Q第一次在边- - - - - - -