2022年五下数学思维第七讲从不定方程的整数解谈起.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第七讲 从不定方程 1 n 1 x 1 y的整数解谈起对于形如1 n 1 x 1 y的方程,查找整数 x、y 使之满意方程, 称为求不定方程的整数解；这里 对于方程n 是取定的一个自然数；111（1）nxy显见 x=y=12 是一个整数解；仍有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来, 但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题；由1 61y,两边减去 1 x,得：1,这里 x6 大于 0；为了使右x111 y；6x通分：x61 y；因此,y6x6xx6端的分数形式更简明, 我们不妨把 x6 看成一个整体,即令 t=x-6.那么 x=t+6 ；因此ty66t6t66；由于 y 是整数,上式右边t也是整数,所以66也必需是整数,这样我们推知：t 是 6 2的因数（约数）；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果由于是求不定方程 1 6 1 x 1 y的整数解, 这样,原先“ 漫无边际”的找两个未知数 x、y 的困难问题,转换成简洁的 6 2的因子 t 的问题了；一个完全平方数的因子必定是奇数个,如6 2 的因子有 6、1 和36,2 和 18,3 和 12,4 和 9；6 称为自补的因子；后面的 2 和 18等都称为互补因子,这样,不妨记为：t0=6,t1=1,t1 =36;t2=2,t2 =18;t3=3,t3 =12;t4=4,t4 =9 也即62' t 1, ,62' t 4,t 1t461t； x=6+t,y=2 6 t+6=t +6, 111 y的全部解表示成161t6x6这里 t 和 t 是 62=36 的互补因子（当t=t =6 时自补因子也包括在内）,所以名师归纳总结 111 y的全部整数解为：第 2 页,共 11 页6xt0t' 06,111;61661661212t 11, t' 136,111;61161674236t22,t'18,111;612612682418t33,t' 312,111;61361691812- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t多练出技巧9巧思出硕果11,11的情形我们44,t'9,111;6146141 42的解与61015由于 x、y 位置对等,1 x1 1 ,7 yx42y7都看成一种了；以上情形推广到一般情形：求不定方程1111n2的全部成组互补因子（2）nxy的整数解,只要找出t 和 t,就11（3）t'nntn就可得到全部解；例如,求不定方程：11112 2=（22× 3）2=2 4× 32,它的12xy（即 n=12）的整数解,第一分解因子依据分解式的结构特点可以排成一个表； 3 20 21 22 23 240 1 2 4 8 16 31 3 6 12 24 48 32 9 18 36 72 144 依据互补或自补因子配对有： （1,144）,（2,72）,（3,48）,（4,36）,（6,24）,（8,18）,（16,9）,（12,12）；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以1 121 x多练出技巧巧思出硕果1 x再1 y共有 8 种解（122的因子个数18）：21 131 156；11 84；11 60；11 48；1415161 181 36；11 30；11 28；11 24；202124以上是争论111 y的全部解； 自然会想到假如把上式的12x分解成两个“ 单位分数”相当于求：1111nxyz的整数解,例如求解：1111 z,6xy（分子为 1 分母为整数“ 的和,那么我们名师归纳总结 1可以利用已经求解过的111 y的 5 种解,再把其中1 y分解成6x1 z,例如 111111 42,如此等等；y1212127总之,求1 n111 z也是有路可循的了；特殊,如n 是质数,xy第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n裂1p多练出技巧巧思出硕果p,111p11p1p；除了 p=2 以外, p+1 是合数；再分p2p2pp11, 例 如 , 利 用p1 2有 因 子1和p1 2, 因 此1p12p1p 2,所以,1 1 1p1211p1p2；（4）pp p1例如：1 311415111 20,53 451211516617111 42,5773011718819111 72；79956在这些基本训练基础上, 我们很简洁把整数1 分拆为如干个单位分数之和；分成两部分,唯独方式： 1=1 2+ 1 2；分成三部分,只有 3 种方式：明显的有 113 13 13,先有 112 12,再借用12 2 11 2 14 2 12 2 12这两种分解形式 （由于 2 2有互补因子1 ,4 ,2 ,2 ）；可有 1 12 14 14 12 13 16,1 13 13 13；并且可断言只有这三种形式；为证明这一结论,先介绍“ 推广名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果的抽屉原理” （不妨称平均值原理更准确） ：一个（正）数,分放于几个抽屉中, 必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值； （留意,这里的数不局限于整数； ）1 分拆为三个单位分数之和,必有一部分3,而 1 3的单位分数只有1 2和 1 3；不妨设 1 x 1 y 1 z,就 1 x= 1 2或 1 x= 1 3,问题转化成：11 1 1 或 11 1 12 y z 3 y z对于前一种情形,112 12 1y 1z,再用推广的抽屉原理,1y、1z中,不妨设 1 y 1 z,必有一个 1 4； 1 y只有 1 4和 1 3两种情形（明显1y2）；对于 1 y= 1 3和 1 4,分别必有 1 z= 1 6和 1 4；归之于 1 12 13 16和1 1 112 4 4的情形；对于后一种情形,113 1y 1z,同样用推广的抽屉原理, 有 1 y2× （ 2 3）= 1 3,又 1 y 1 x= 1 3,所以 1 y= 1 3；由 2 3= 1 z得 1 z= 2 3- 1 3,1也归之于三种形式之中；故推断正确；在某些问题争论中,并不要求立刻找出全部解,只要能将一个名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果单位分数分拆为两个单位分数之和即可,这里我们介绍另一种技巧,先看：1n1111（5）nn n 我们这里是在争论单位分数问题时用到（式又可以转变形式写成：5）式,其实（ 5）1 1 1,它在运算中也有奇妙应用,为保持原问题讨n n 1 n n 1论的连续性,它的详细应用请看习题 ；公式（ 5）在将整数 1 分裂成如干个单位分数和的求解中,用起来很便利；例如可将1 分裂为 3 个分母不等的单位分数之和：11111213111 6；1 分裂222323而且,只要不计较分母太大看起来不直观,我们可以把成任意多个单位分数之和；如：名师归纳总结 1=1 21 2（2 项）第 7 页,共 11 页 =1 21 31 6（3 项） =1 2111 6（4 项）412- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =1 2111多练出技巧巧思出硕果1 42（5 项）4127 =1 21111 71 42（6 项）52012 =1 2111111 42（7 项）63020127 =1 21111111 42（8 项）6302012856 =1 211111111 42（9 项）630201297256 =1 2111111111 42（10 项）630201210907256假如要求你用两种不同的方式把1 写成 10 个单位分数之和,名师归纳总结 你不妨在分裂成9 项时,另选一种方式用公式1n1111,如nn n选1 2011 420,即可；讲 的21实 际上 ,公式11 n1 n只 1 是 最初nn 1111n1' t的特殊情形,只是把 1n tn 的互补因子选为1 和n2nxy而已；所以基本功在于111 y的分解；nxn 的因上述基本分解仍有一种简便一些的算法,它不必分解子,而只要求分解n 的全部因子,仍以12 为例：第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11多练出技巧巧思出硕果1 y,把 12（留意：不是 12 2）的全部因子由小到大排列：12x1、2、3、4、6、12,6 个因子任取 15 种：2 个配成一个组合,共有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,6）,（1,12）（2,3）,（2,4）,（2,6）,（2,12）（3,4）,（3,6）,（3,12）（4,6）,（4,12）（6,12）名师归纳总结 对于每一组合 a ,b ,写成 1=a6bb,就有：1 20；第 9 页,共 11 页aba1ab1212ab12ab =121b 12b1b；aa33111a例如：（2,3）1 121223212 =151=12 212 3545305- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以1 1211多练出技巧巧思出硕果1 y有 15 种方式；但这里有重复,如由（1,2）配x出的1 121222和由（ 2,4）配出的112244是相同的；只1122要在因子的配组中筛去这种情形即可；以上争论相应于不定方程11 x1 y,对于其他分数形式的不定n方程,分子不是1 的,例如：211 y,3x16,当然仍有 211 3；一般同学都可“ 猜” 出2 323那么请问是否只有两种方式？答：是；理由呢？由于由推广的名师归纳总结 抽屉原理,1和1 y中至少有一个1,1 3=1 22 3 ,也即至少有一第 10 页,共 11 页x3个或为1 2,或为 1 3；从而归于两种形式；1 y求整数解呢？那么难度再增加一些,对不定方程215x用“ 灵感来凑” ：2 52361511 3,是一种解；最简洁5 3151515的是2 511 5,那么仍有第三种解吗？5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -多练出技巧巧思出硕果用推广的抽屉原理分析：5分拆成两个部分, 当 1 x1 y时,（不妨设1 x 1 y,也即 xy ）必有1 x 1 5,1 x只有 2 种可能 1 x 2 5 1 2 ：1,1 4；从而1 y=2 51 3,或1 y=2 51 4,合理情形只有在前一种中的31 y= 1 15一种,所以：211 y的整数解只有211 5及 211 15两种；5x553第 11 页,共 11 页