2022年2022年根的分布精品材料 .pdf

1 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及， 但尚不够系统和完整， 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。函数与方程思想：若y=( )f x与x轴有交点0 xf(0 x)=0 若y=f(x)与y=g(x)有交点 (0 x，0y)( )fx=( )g x有解0 x。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布 ， 指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程02cbxax（0a）的两个实根为1x，2x，且21xx。【定理 1】01x，02x(两个正根 )212124000bacbxxacx xa，推论：01x，02x00)0(0042bcfaacb或00)0(0042bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。【例 1】若一元二次方程0) 1(2)1(2mxmxm有两个正根， 求m的取值范围。分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101mm mmmmm0m3）【定理 3】210 xx0ac【例 3】k在何范围内取值，一元二次方程0332kkxkx有一个正根和一个负根？分析：依题意有3kk0k3 【定理 4】101x，02x0c且0ab；201x，02x0c且0ab。【例 4】 若一元二次方程03)12(2kxkkx有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析： 由已知k3=0，k=3，代入原方程得32x+5x=0，另一根为负。二一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。【定理 1】21xxkkabkafacb20)(042名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3 【定理 2】kxx21kabkafacb20)(042。【定理 3】21xkx0)(kaf。推论 1210 xx0ac。推论 2211xx0)(cbaa。【定理 4】有且仅有11xk（或2x）2k0)()(21kfkf【定理 5】221211pxpkxk0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa或0)(0)(0)(0)(02121pfpfkfkfa此定理可直接由定理4 推出，请读者自证。【定理 6】2211kxxk2121220)(0)(004kabkkfkfaacb或2121220)(0)(004kabkkfkfaacb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4 三、例题与练习【例 5】 已知方程02112mxx的两实根都大于1，求m的取值范围。（412912m）（2）若一元二次方程03) 1(2xmmx的两个实根都大于-1 ，求m的取值范围。（6252mm或）（ 3）若一元二次方程03)1(2xmmx的两实根都小于2，求m的取值范围。（62521mm或）【例 6】 已知方程032222mmxx有一根大于2，另一根比2 小，求m的取值范围。（221221m）（2）已知方程012)2(2mxmx有一实根在0 和 1 之间，求m的取值范围。（3221m）（3）已知方程012)2(2mxmx的较大实根在0 和 1 之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根（不可能；221m）（4）若方程0)2(2kxkx的两实根均在区间（1、1）内，求k的取值范围。（21324k）（5）若方程012)2(2kxkx的两根中， 一根在 0和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间，求k的取值范围。（3221k）（ 6 ） 已 知 关 于x的 方 程062)1(22mmmxxm的 两 根 为、且 满 足10，求m的取值范围。（73m或72m）【例 7】 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围 . (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围 . 本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 . 技巧与方法： 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制. 解： (1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5 65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(mmRmmmfmffmf2165m. (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组10,0,0)1(,0)0(mff.01,2121,21,21mmmmm或( 这里 0m1是因为对称轴x=m应在区间 (0 ，1)内通过 ) 练习 ：1 若方程4(3)20 xxmm有两个不相同的实根，求m的取值范围。提示：令2x=t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：0m1 2 若关于x的方程2lg(20 )lg(863)0 xxxa有唯一的实根， 求实数a的取值范围。提示：原方程等价于2220020863xxxxxa即2200 12630 xxxxa或 令( )fx=2x+12x+6a+3 (1) 若抛物线y=( )fx与x轴相切，有 =1444(6a+3)=0 即a=112。将a=112代入式有x=6不满足式， a112。(2) 若抛物线y=( )fx与x轴相交，注意到其对称轴为x= 6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件是( 20)0(0)0ff解得163162a。当163162a时原方程有唯一解。另法：原方程等价于2x+20 x=8x6a3(x0)问题转化为： 求实数a的取值范围， 使直线y=8x6a3 与抛物线y=2x+20 x(x0)有且只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为2x+12x+3= 6a(x0)， 再在同一坐标系中分别也作出抛物Oxy20 6 Oxy20 6 163 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6 线y=2x+12x+3 和直线y= 6a，如图， 显然当 36a163 即163162a时直线y=6a与抛物线有且只有一个公共点。3 已知( )fx=(xa)(xb) 2(ab) ，并且，是方程( )fx=0 的两根()，则实数a，b，、的大小关系是 ( ) A、abB、abC、abD、a0)的两个根都大于1 的充要条件是 ( ) A、 0且f(1)0 B、f(1)0 且ab2 C、 0 且ab2，ca1 D、 0且f(1)0，ab2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -