2022年利用导数求函数的极值习题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载利用导数求函数的极值例求以下函数的极值：；3fx 02x1.2fx定义域内全部1fxx312x；2fxx2exx 2分析： 依据求极值的基本方法,第一从方程fx求出在函数可能的极值点,然后依据函数极值的定义判定在这些点处是否取得极值解： 1函数定义域为Rfx 3x2123 x2 x2.令f x 0,得x20,当x2或x2时,f x上是增函数；函数在,2和2 ,当2x2时,fx0函数在（ 2,2）上是减函数名师归纳总结 当x2时,函数有极大值f216,x2xex第 1 页,共 7 页当x2时,函数有微小值f2 16.2函数定义域为Rfx2xexx2 ex令f x 0,得x0或x2当x0或x2时,fx0,函数fx 在,0和2,上是减函数；当0x2时,f x0,函数fx 在（ 0,2）上是增函数当x0时,函数取得微小值f00,当x2时,函数取得极大值f2 4e23函数的定义域为Rfx 2 1x22x2x2 1xx 12x.x21 221 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令f x 0,得x1精品资料欢迎下载当x11 或x1时,fx0,函数fx 在,1和,1上是减函数；当1x1时,fx 0,函数fx 在（ 1,1）上是增函数当x1时,函数取得微小值f1 3,当x时,函数取得极大值f 1 1 .说明： 思维的周密性是解决问题的基础,在解题过程中,要全面、系统地考虑问题,留意各种条件 综合运用,方可实现解题的正确性解答此题时应留意 f x 0 0 只是函数f x 在 0x 处有极值的必要条件,假如再加之 0x 邻近导数的符号相反,才能肯定函数在 x 处取得极值反映在解题上,错误判定极值点或漏掉极值点是同学常常显现的失误复杂函数的极值例求以下函数的极值：；2fx x2x6.1fx 3x2 x5 分析： 利用求导的方法,先确定可能取到极值的点,然后依据极值的定义判定在函数 f x 的定义域内寻求可能取到极值的“ 可疑点”,除了确定其导数为零的点外,仍必需确定函数定义域内全部不行导的点这两类点就是函数 f x 在定义内可能取到极值的全部“ 可疑点” 名师归纳总结 解： 1fx2xx53x22 x5 3x5 x2 .第 2 页,共 7 页3 33 3x3 3x令fx0,解得x2,但x0也可能是极值点当x0或x2时,fx0,函数fx 在,0和2,上是增函数；当0x2时,f x0,函数fx 在（ 0,2）上是减函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当x0时,函数取得极大值精品资料0,欢迎下载f0当 x 2 时,函数取得微小值 f 2 3 3 4x 2x 6 , x 2 或 x 3 ,2f x 2x x 6 , 2 x 3 ,2 x ,1 x 2 或 x 3 ,f x 2 x ,1 2 x 3 ,不存在 , x 2 或 x 3 .令 f x 0,得 x 12当 x 2 或 1 x 3 时,f x 0,2函数 f x 在 , 2 和 13, 上是减函数；2当 x 3 或 2 x 1时,f x 0,2函数 f x 在 ,3 和 2 , 1上是增函数2当 x 2 和 x 3 时,函数 f x 有微小值 0,当 x 1时,函数有极大值 25 2 4说明： 在确定极值时, 只争论满意 f x 0 0 的点邻近的导数的符号变化情形,确定极值是不全面的在函数定义域内不行导的点处也可能存在极值此题 1 中 x 0 处, 2 中x 2 及 x 3 处函数都不行导, 但 f x 在这些点处左右两侧异号,依据极值的判定方法,函数 f x 在这些点处仍取得极值从定义分析,极值与可导无关依据函数的极值确定参数的值名师归纳总结 例已知fx 3 axbx2cxa0 在x1时取得极值,且f 1 1第 3 页,共 7 页1试求常数a、b、c 的值；2试判定x1是函数的微小值仍是极大值,并说明理由分析： 考察函数fx是实数域上的可导函数,可先求导确定可能的极值点,再通过极值点与导数的关系,即极值点必为f x 0的根建立起由极值点x1所确定的相关等- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 式,运用待定系数法求出参数精品资料欢迎下载a、b、c 的值解： 1解法一：ffx3 ax22bxcc0的两根,x1 是函数x的极值点,x1是方程f x0,即3 ax22bx由根与系数的关系,得2 b0 ,（1）1 x1 .3 ac1 ,（2）3 a又f 1 1,abc1,（3）由（ 1）、（2）、（3）解得a1,b0 ,c322解法二：由f1 f1 0得3 a2 bc0,（1）3 a2 bc0（2）又f 1 1,abc1,（3）解（ 1）、（2）、（3）得a1,b,0c3222fx13 x3x,fx 32 x33x22222当x1 或x1时,fx0,当1x1时,f x 0 .1,1）上是减函数函数fx 在,1和,1上是增函数,在（当x1时,函数取得极大值f1 1,当x1时,函数取得微小值f 1 1说明： 解题的胜利要靠正确思路的挑选此题从逆向思维的角度动身,依据题设结构进行逆向联想, 合理地实现了问题的转化,使抽象的问题详细化,在转化的过程中充分运用了已知条件确定明白题的大方向可见出路在于“ 思想熟悉”在求导之后,不会应用f 1 0 的隐含条件,因而造成明白决问题的最大思维障碍高三第三章导数 -函数的极值练 习题名师归纳总结 一、挑选题（本大题共6 小题,每道题3 分,共 18 分）第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载1.以下说法正确选项A.当 fx0=0 时,就 fx0为 fx的极大值B.当 fx0=0 时,就 fx0为 fx的微小值C.当 fx0=0 时,就 fx0为 fx的极值D.当 fx0为函数 fx的极值且 fx0存在时,就有 fx0=0 2.以下四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是y=x 3y=x 2+1 y=|x| y=2 xA. B. C. D.3.函数 y=1 6 xx 2 的极大值为A.3 B.4 C.2 D.5 4.函数 y=x 33x 的极大值为 m,微小值为 n,就 m+n 为A.0 B.1 C.2 D.4 5.y=ln 2x+2lnx+2 的微小值为1 A. e B.0 C.1 D.1 6.y=2x 33x2+a 的极大值为 6,那么 a 等于A.6 B.0 C.5 D.1 二、填空题（本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分）7.函数 fx=x 33x 2+7 的极大值为 _. 8.曲线 y=3x 55x 3 共有 _个极值 . 9.函数 y=x 3+48x3 的极大值为 _ ；微小值为 _. 210.函数 fx=x3 x 3 的极大值是 _,微小值是 _. 211.如 函 数 y=x 3+ax 2+bx+27 在 x= 1 时 有 极 大 值 , 在 x=3 时 有 极 小 值 , 就a=_, b=_. 三、解答题（本大题共 3 小题,每道题 9 分,共 27 分）12.已知函数 fx= x 3+ax 2+bx+c,当 x=1 时,取得极大值 7；当 x=3 时,取得微小值 .求这个微小值及 a、b、c 的值 . a13.函数 fx=x+ +b 有微小值 2,求 a、 b 应满意的条件 . x名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载x=1 时, fx的微小值为 1,求函 214.设 y=fx为三次函数,且图象关于原点对称,当数的解析式 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数的极值1.D 2.B 3.A 4.A 5.D 6.A 17. 7 8.两 9.125 131 10. 0 11.3 9 212.解： fx=3x 2+2ax+b. 据题意, 1,3 是方程 3x 2+2ax+b=0 的两个根,由韦达定理得1 3 2 a3a=3,b=9, fx=x 3 3x 29x+cb1 33f 1=7,c=2,微小值 f3=3 33× 3 29× 3+2=25 微小值为 25,a=3,b=9,c=2. 名师归纳总结 13.解： fx=x22aa 且 x 0. 第 7 页,共 7 页x由题意可知fx=0 有实根,即x 2a=0 有实根a>0, x=a 或 x=a , fx=xaxax2令 fx>0,得 x<a 或 x>a ; 令 fx<0,得a <x<fx在 x=a 时取得极大值；fx在 x=a 时取得微小值2. a +a+b=2,即 2a +b=2 aa、b 应满意的条件为a>0,b=21a . 14.解：设函数解析式为fx=ax3+bx,fx=3ax2+bf11 =0,f 2=1 2得3abb0a4fx=4x33x4解得ab3182- - - - - - -