2022年初高中数学教材衔接高一3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 初高中数学教材连接（代数部分）第一讲 数与式的运算学习目标：1、记住肯定值含义及肯定值方程、不等式的求法 2、记住乘法公式及其应用 3、记住二次根式的有关运算 4、会多项式的因式分解 记一记 ：一、肯定值的代数意义 ：正数的肯定值是它的本身, 负数的肯定值是它的相 反数,零的肯定值仍是零即|a|a,a0,0,a0,a a0.肯定值的几何意义 ：一个数的肯定值,是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的肯定值的几何意义：ab表示在数轴上,数 a 和数 b之间的距离肯定值方程： 1、|x|=aa>0 就 x=-a 或 x=a 2、| x-3|+|y+4|+|z+5| =0就 x= ,y= ,z= 肯定值不等式： 1、|x|>aa>0就 x<-a 或 x>a 结论：如">",就从两根的两边取之 2、|x|<aa>0就-a<x<a 结论：如 "<" ,就从两根的中间取之 零点分析法：3、x1x3>4提示零点分析法或数形结合法 同学们试着做一做数形结合法：练一练1、化简： |x4| |2x10|（4<x<5）2、解不等式 3|2x10|>15 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记一记：二、乘法公式（1）平方差公式a ab ab a2b 2；b c；a c（2）完全平方公式ab 2a22abb 2（3）立方和公式b a 2a b2b 3a；3 b（4）立方差公式ab a 2a b2b 3a；3 b（5）三数和平方公式abc 2a 2b 22 c2 a b（6）两数和立方公式ab 3a 33a b 23a b 2；3 b（7）两数差立方公式ab 3a 33a b 23a b 2b练一练 : 1填空：（1）1a21b221 2b1 3a （4 m）； ； 94（2） 4m22 16 m3 a2 bca24 b22 c2挑选题：（1）如x21mxk 是一个完全平方式,就k 等于（）2（A ）m2（B）12 m（C）12 m（D）12 m4316（2）不论 a , b 为何实数,a22 b2a4 b8的值（A ）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数2、解答：1、运算x1x1x2x1 x2x12、已知abc4,abbcac4,求a2b22 c 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记一记：三、二次根式一般地,形如 a a 0 的代数式叫做 二次根式 根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式 . 例如 3 a a 2 b 2 b ,a 2 b 等是无理式,而 22 x 2 2x 1,x 2 2 xy y ,2 a 等是有理式221、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去,叫做分母（子）有理化 为了进行分母（子）有理化,需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为 有理化因式 ,例如 2 与2 , 3 a 与 a ,3 6 与 3 6 , 2 3 3 2 与 2 3 3 2 ,等等一般地, a x 与 x ,a x b y 与 a x b y , a x b 与 a x b 互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程； 而分子有理化就是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式a bab a0,b0；而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式, 然后通过分母有理化进行运算； 二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式a22、二次根式2 a 的意义aa,a0,a a0.练一练：1、填空：（1）1 13_ _；x_；3（2）如5xx32x35x ,就 x 的取值范畴是 _ _ _（3） 4 246 543 962 150_ _；（4）如x5,就x1x1x1x1_ 2x1x1x1x12、化简： 322004 32200513 、 化简：（1）94 5 ；（2）x21202 x名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记一记四、因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外仍应明白求根法及待定系数法1、十字相乘法 对二次三项式 ax 2+bx+c 进行分解因式 方法一 对 a,c 进行分解 a=a1*a2, c=c1*c 2 ax 2+bx+c a1 c1 a2 c2- a1c2 +a2c1=b一次项的系数 ax 2+bx+c=a1x+c1a2+c2 方法二 对 b 进行分解ax 2+bx+c 试值 b=a1c2 +a2c1 而 a=a1*a2, ax 2+bx+c=a1x+c1a2+c2 练一练：c=c1*c 2 1、分解因式（1）x25x6_ ；_ ；_ ；_ ；（2）x25x6（3）x25x6（4）x25x6（5）x2a1xa_ ；（6）x211x18_ ；_ ；（7）62 x2 m7x2（8）412m9_ ；（9）57x6x2_ ；（10）12 x2xy6y2_ ；2、x24xx3x3、如x2axbx2x4就 a, b；2、提公因式与分组分解 分解因式：（1）x393x23 x ；1x 、（2）22 xxy2 y4x5y6就可分3、求根法0 a0求实数根2x ,就二次三项式2 axbxc a0令2 axbxc名师归纳总结 解为a xx 1xx 2第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习：分解因式 （1）x22x1；（2）x24 xy42 y4、公式法（1）平方差公式ab ab a 2b ；2（2）完全平方公式ab 2a 22a bb2我们仍可以通过证明得到以下一些乘法公式：名师归纳总结 练习（1）立方和公式ab a 2a 3a b2b 3a；3 bb c；a c第 5 页,共 12 页（2）立方差公式ab a 2a b2b 3a；3 b（3）三数和平方公式abc 2a 2b 22 c2 a b（4）两数和立方公式ab 33a b 23a b 2；3 b（5）两数差立方公式ab 3a 33a b 23a b 2b把以下各式分解9mn2mn22、3x211、33、4x24x224、x42x21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 初高中数学教材连接（代数部分）其次讲 函数与方程一、正比例函数 y=kxk 0 K>0 时 k<0 时二、一次函数 y=kx+bk 0 K>0,b>0 k>0,b<0 k<0, b>0 k<0,b<0 三、反比例函数 y=k k0 xk>0 K<0 四、 二次函数1、表达式（ 1）一般式 y=ax 2+bx+ca0 （2）顶点式 y=ax-h 2+ka0 （3）零点式 y=ax+x1x+x 2其中 x1,0x2,0二次函数与 x 轴的交点名师归纳总结 2、图像和性质 二次函数 yax2bxca0具有以下性质：b,4acab2,第 6 页,共 12 页（1）当 a 0 时,函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为2a4对称轴为直线xb；当 xb时, y 随着 x 的增大而减小；当xb时, y 随着2a2a2ax 的增大而增大；当xb时,函数取最小值y4 acab22 a4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当 a 0 时,函数 yax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为b,4acab2,2a4对称轴为直线xb；当 xb时, y 随着 x 的增大而增大；当xb时, y 随着2a2a2ax 的增大而减小；当xb时,函数取最大值y4 acb2,4acab22 a4ay bx O y Abx2a42 aO x Ab,4acab2xb因此, 在今后2a42a图 2.2-3 图 2.2-4 上述二次函数的性质可以分别通过图223 和图 224 直观地表示出来解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题练习y 1、 求二次函数y 3x26x 1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值）,并指出当x 取何值时, y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象A1,4 D0,1 小结：函数 y ax2bxc 图象 作图要领：C O B x （1） 确定开口方向：由二次项系数a 打算（2） 确定对称轴：对称轴方程为xbx 1 图 2.25 2bxc=0 求出 x1,x 2 2bxc=0 求出 x1=x22 a（3） 确定顶点坐标（ -b,4acab2）2 a4（4） 确定图象与 x 轴的交点情形,如 >0 就与 x 轴有两个交点,可由方程 x 如 =0 就与 x 轴有一个交点,可由方程 x 如 <0 就与 x 轴有无交点；（5） 确定图象与 y 轴的交点情形 ,令 x=0 得出 y=c,所以交点坐标为（0,c）由以上各要素出草图；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 小结：抛物线 yax 2bxca0与 x 轴交点个数与根的判别式系：b 24ac 存在以下关（1）当 0 时,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有两个交点；反过来,如抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有两个交点,就0 也成立（2）当 0 时,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来,如抛物线 yax 2bxca0与 x 轴有一个交点,就 0 也成立（3）当 0 时,抛物线 yax 2bxca0与 x 轴没有交点；反过来,如x1 抛物线 yax 2 bxca0与 x 轴没有交点,就0 也成立b 24ac<0 b 24ac>0 b 24ac=0 y y y O x2 x O x1= x2 x O x 图 2.3 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 初高中数学教材连接（代数部分）第三讲 方程与不等式一、一元一次方程与不等式1、ax+b=0 x=b/a 2、ax+b>0 x>b/aa>0 x<b/aa<0 二、一元二次方程与一元二次不等式一元二次方程 ax 2+bx+c=0 1、判别式 =b 2-4ac 我们知道,对于一元二次方程 ax 2bxc0（a0）,用配方法可以将其变形为2b 2 b 4 ac x 22 a 4 a由于 a0,所以, 4a 20于是（1）当 b 24ac0 时,方程的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根2x1,2b b 4 ac；2 a（2）当 b24ac0 时,方程的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x1 x2b；2 a（3）当 b 24ac0 时,方程的右端是一个负数,而方程的左边 x b 2肯定大2 a于或等于零,因此,原方程没有实数根由此可知,一元二次方程 ax 2bxc0（a0）的根的情形可以由 b 24ac 来判定,我们把 b 24ac 叫做一元二次方程 ax 2bx c0（a0）的 根的判别式 ,通常用符号 “ ”来表示综上所述, 对于一元二次方程 ax 2bx c0（ a0）,有2（1）当 0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2b b 4 ac；2 a（2）当 0 时,方程有两个相等的实数根 x1x2b；2 a（3）当 0 时,方程没有实数根练一练 判定以下关于 x 的方程的根的情形（其中a 为常数）,假如方程有实数根,名师归纳总结 写出方程的实数根（1）x 23x40；（3） x 2ax 2a+10；（2）x 22ax10；（4）x 2xa0 第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、一元二次方程 ax 2bxc0（a0）根与系数的关系（1） 如一元二次方程 ax 2bxc0（a0）有两个实数根2 2x 1 b b 4 ac,x 2 b b 4 ac,2 a 2 a就有2 2x 1 x 2 b b 4 ac b b 4 ac 2 b b；2 a 2 a 2 a a2 2 2 2x x 2 b b 4 ac b b 4 ac b b2 4 ac 4 ac2 c2 a 2 a 4 a 4 a a所以,一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：假如 ax 2bxc0（a0）的两根分别是 x1,x2,那么 x1x2b,x1·x2 c这一a a关系也被称为 韦达定理 特殊地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x 2pxq0,如 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知x1x2 p, x1·x2q,即 p x1x2,q x1·x2,所以,方程 x 2pxq0 可化为 x 2 x1x2xx1·x20,由于 x1, x2 是一元二次方程x 2pxq0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x 2x1x2xx1·x20因此有以两个数 x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是x 2x1x2xx1·x20练习：已知关于 x 的方程 x 22m2xm 240 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值（2）设 x1 和 x2 分别是一元二次方程ax2 bxc 0（a0）,就名师归纳总结 x 1b2 b4 ac,x 2b2 b4 ac,22 ba4ac第 10 页,共 12 页2 a2 a| x1x2|b2 b4acbb24ac2a2 a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习2b 4 a c| a | a |： 关于 x 的方程 x 24xm0 的两根为 x1,x2 满意 | x1x2|2,求实数 m 的值3、一元二不等式 y=ax 2bx c ax2bx c>0,ax2bx c<0 与一元二次方程ax2bx c 0、二次函数=b2-4acy=ax2bx+c ax2bxc0a>0 ax2bxc>0 ax2 bxc<0 0a>0 有两相异实根a>0a>0xxx 1或xx 2xx 1xx2=0x 1,x 2x 1x 2结论： 1、如 ">" 就结论： 1、如"<"从两根的两边取值就 从 两 根 的 中x 1,2=bb24 ac2、可观看图像x 轴间取值 2、可观2a上方察图像 x 轴下方有两相等实根xxb可观看图像 x 轴x1x2b2 a下方2a可观看图像x 轴上方<0无解 R 可观看图像 x 轴可观看图像x 轴上方下方做一做解不等式：（1）x 2 2x30；（3）4x 24x10；（5） 4xx 20（2）xx 260；（4）x 26x90；三、分式方程与分式不等式分式不等式通常转化为整式不等式来解（同学来解）名师归纳总结 1、2x5>0 转化为（ 2x-53x+2>0 来解第 11 页,共 12 页3x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、2x50 转化为（ 2x-53x+2 0 且 3x+2o 来解3x23、2x5<0 转化为（ 2x-53x+2<0 来解3x24、2x50 转化为（ 2x-53x+2 0 且 3x+2o 来解3x2四、一元高次方程与一元高次不等式方法：将高次不等式化成一次因式积的形式,然后再应用数轴标根法求不等式的解步骤： 1、化一次因式的积2、变不等式为方程求根3、在数轴标根偶次）4、穿针引线 留意“ 奇穿偶不穿”,奇指根显现的次数是奇次,偶指根显现的次数是5、利用图形定解例析：解不等式x 3+5x 2+4xx-3 2x+1 2>0 解：令 xx 2+5x+4x-3 2x+1 2=0 xx+1x+4x-3 2x+1 2=0 xx+1 3x+4x-3 2=0 x=0,x=-1,x=-4,x=3 -4 -1 0 3 x -4<x<-1 或 0<x<3 或 x>3 练习名师归纳总结 解不等式 x3x+24x-62<0第 12 页,共 12 页- - - - - - -