2022年华南理工大学《高等数学》期末试题及答案一.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学（下册）测试题一一、挑选题（每道题3 分,本大题共15 分）（在括号中填上所选字母）1设有直线及平面: 4x2yzL:x3y2z10C ）2xy10z3020,就直线 L （A ）A平行于平面；B在平面上；C垂直于平面；D与平面斜交 .2二元函数f x y , x 2xy2, , 0,0在点 0,0 处（y0, , 0,0A连续、偏导数存在；B连续、偏导数不存在；名师归纳总结 C不连续、偏导数存在；D不连续、偏导数不存在.第 1 页,共 7 页3设f x 为连续函数,F t td ytf x dx,就F2（B ）1yA 2f2；Bf2；Cf2D 0 . 4设是平面xyz1由x0,y0,z0所确定的三角形区域,就曲面积分233x2y6 dS（D ）A7；B21 ；2C14 ；D 21 .5微分方程yyex1的一个特解应具有形式（B）Aax eb ；Bax exb ；Ca exbx ；Dax exbx .二、填空题（每道题3 分,本大题共15 分）1设一平面经过原点及点6, 3,2 ,且与平面4xy2z8垂直,就此平面方程为2x2y3z0；2设zarctanx 1y,就d | 1, 32dxdy ；xy43设 L 为x2y21正向一周,就Lx 2e d y0 ；4设圆柱面x2y23,与曲面zxy在x 0,y 0,z 0点相交,且它们的交角为,就正6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数Z03；25 设一 阶线 性非 齐次微 分 方程 y P x y Q x 有 两 个线 性无关 的 解 y 1, y 2, 如y 1 y 也是该方程的解,就应有 1 .u三、（此题 7 分）设由方程组 xy e cose sin uv v确定了 u ,v是 x ,y 的函数, 求 u 及x v 与x v .yu udx e cos vdu e sin vdv解：方程两边取全微分,就u udy e sin vdu e cos vdvdu e u cos vdx e u sin vdy xdx2 ydy2解出 du dv , x yu u xdy ydxdv e sin vdx e cos vdy 2 2x y从而 u2 x2 , v2 y2 , v2 x2x x y x x y y x y3四、（此题 7 分） 已知点 A 1 1,1, 及点 B ,3 2 , 1 ,求函数 u ln 3 xy 2 z 在点 A 处沿 AB方向的方向导数 . 解：AB 2,1, 2 , AB 2 1, , 23 3 32gradu 3 y3 , 3 x3 , 6 z3,gradu A 3,3, 63 xy 2 z 3 xy 2 z 3 xy 2 z从而 u 2 1, , 23,3, 6 2 1 4 7AB 3 3 3x x五、（此题 8 分）运算累次积分 2d x x 1 e d yy 4d x x x 1 e d yy） .1 1 y 22 y解：依据上下限知,即分区域为名师归纳总结 DD 1D2,D 1:1x2,1xyx D2: 2x4,x 2yx.2 eeydy第 2 页,共 7 页作图可知,该区域也可以表示为D:1y2,y2x2yx2从而2dx1x1xy4d xx2y1xx12dyy e dy e dyy e d1y2y1y 2y12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 eyey22 2e2 e2 e1 ee1六、（此题 8 分）运算Iz x y z,其中是由柱面x2y21及平面z0,z1围成的区域 . 解：先二后一比较便利,I3 x1zdzz11 2dz22 z1222被平面z2所截0dxdyz02D0七（此题 8 分）运算y2dS,其中是抛物面zxyz下的有限部分 . 名师归纳总结 解：由对称性x3dS0,y2d Sx2dSB, 2第 3 页,共 7 页从而3 xy2z dS2 x2y2z dSx2y2dS222x22 y 1x2y2dxdydr312 r dr2r312 r drD0004t1 11tdt20 540315八、（此题 8 分）运算L4x2xcos2 xd xx2cos2 xd y,L 是点A ,2 2到点yyy2y在上半平面 y0上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面 y0上Qxx2cos2 x2xcos2 x2x3sinx2xy2yy2y3 yyPy4x2xcos2 x02xcosx223 xsinx2Q且连续,yyyy2yy3yx为半球面从而在上半平面 y0上该曲线积分与路径无关,取C,2LACCB24x4xcos22 xdx42cos4y2d y15212 y222九、（此题8 分）运算xy2d d y zy2 zd d z xzx2d d x y,其中z1x2y2上侧 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：补1:z0取下侧,就构成封闭曲面的外侧名师归纳总结 xy2d d y zy2 zd d z xzx2d d x y第 4 页,共 7 页111 1 1dv12 x dxdy3 dvD2 x dxdy323 1Dx 22y2dxdy3212d13 r dr21r419200404十、（ 此题 8 分）设二阶连续可导函数yf x,xs适合2y42y0,求yf xtt22 s解：yfts,yf12tst2yttsf2 sffts2,2y1f1ft22t322 ss tt2由已知2y42y0,2sffts24f0,t22 st32t2即x24fx2xfx0,x24fx0,2 x4fxc 1fxxc 124,fxc 1arctanxc222十一、（此题 4 分）求方程的y4ycos2x通解 .解：解：对应齐次方程特点方程为r240,r 1,22 i非齐次项fxcos2 , x ,与标准式fxexP mxcosxPxsinx比较得nmaxm l0,2 i , 对比特点根,推得k1,从而特解形式可设为* yxk1Qnxcosx2Qnxsinx exaxcos2xbxsin 2 ,* ya2 bxcos2x b2 axsin 2 , x y* 4 a4 bx sin 2x4 b4 ax cos2x 代入方程得4 sin 2x4 cos2xcos2 ,a0,b14yc 1cos2xc 2sin 2x1xsin 2x4十二、（此题 4 分）在球面x2y2z2a2的第一卦限上求一点M ,使以 M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设点 M 的坐标为x y z ,就问题即V8xyz 在x 2y2z 2a 20求最小值；令L8xyzxx2y22 za2,就由za8 xy2z0,x2y22 za20,LL x8yz20,L y8 xz2y推出xyza, M 的坐标为a 3,a 333附加题：（供学习无穷级数的同学作为测试）名师归纳总结 1判别级数n1ln1n1n是否收敛？假如是收敛的,是肯定收敛仍是条件收敛？第 5 页,共 7 页1n解：由于unln11n1,n,该级数不会肯定收敛,nn明显该级数为交叉级数且一般项的u n单调削减趋于零,从而该级数条件收敛2求幂级数n0n21 nxn .的收敛区间及和函数.2n解：Rlim na n1lim nn2n 1 21n1.lim n12 n212a nn 2n.n121n1n从而收敛区间为,n02 n1xnn1n1 1xnn01xn2nn.n1 .2n.21xn1xn1xn2n2 .2n1n1 .2n0n.2n01xn2n01xn1n01xx2x1ex2n.2n.2n.2420, 0ax3将f x H 0xa展成以 2 为周期的傅立叶级数. H ,ax0解：已知该函数为奇函数,周期延拓后可绽开为正弦级数；a n0b n20fxsinnxdx2aHsinnxdx2Hcosnxa2H1cosna00nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxn12H1 cos nasinnx xan名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
