2022年2022年江西名校高考信息卷二数学 .pdf

2010 年江西省名校高考信息卷数学试卷（二）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4 页，22 题， 150 分，考试限定用时 120 分钟。须在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。第卷一、选择题 : 本大题共 12个小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线ax+2y+1=0 与直线 x+y-2=0 互相垂直，那么a= A.1 B.- 13C.- 23D.- 2 2. (理科 ) 若 y=log2(1-i)（ 1-xi）(x R)有意义，则y= A. 14B.12C. 1 D. 2 3. 设集合A = x | | x- 2 | 2, xR ，B = y | |y=- x2, -1 x 2 | ，则 CR(AB)等于A. x | xR ，x0 C. 0 B.R D.空集4. 已知向量OA=（k,12 ）, OB=( 4, 5 ) , OC= (-k ,10 ),且A、B、C三点共线，则k 的值是A. - 23B. 43C. 12D. 135. 函数f(x) = coswx ( w0 )的最小正周期为4，则函数f(x)的一条对称轴方程为A.x= B. x=2C. x=4D. x=0 6. 在正项等比数列 an 中，若a2 a4 a6=8, 则log2a5 - 12log2a6= A.18B. 16C. 14D. 127. 若m 、n是空间两条不同的直线，、为三个互不重合的平面，则下列命题：m n ， m 得出 n ； ，得出；m ，m n 得出 n； 若m 、n与 所成的角相等，则m n.其中错误命题的个数是A.1B.2 C.3 D.4 8. 设a为实数，若函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f (x)， 且f (x)是偶函数，则曲线y= f(x)在原点处的切线方程为A.y=-3xB. y=-2xC. y=3xD. y=2x9. 若函数 f(x)=x-2 +x+2的最小值为n, 则（x- 1x）n的展开式中的常数项是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - A.第二项B. 第三项C.第四项D.第五项10. 在直角坐标系xOy中，已知点A（2，0） ，点B为曲线x=2cosy=2sin 上的动点，若AB= 2,则向量OA与OB的夹角为A. 34B. 2C. 4D. 611. （理科）随机变量的概率分布规律为P（n）= a(23)n(n=1 、2、3、4、 ), 其中a是常数，则P（1252）的值为A.29B. 13C. 59D. 23 12. 设抛物线y2 = 4x的焦点为F，过点M（-1 ， 0）的直线在第一象限交抛物线与A、B两点，且满足AFBF=0，则直线AB的斜率k= A. 2B. 22C. 3 D. 33第卷二、填空题 : 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 请把答案填在答题卡上. 13. 某中学高中部有三个年级，其中高一年级有学生400 人，采用分层抽样法抽取一个容量为45 的样本，高二年级抽取15 人，高三年级抽取10 人，那么高中部的学生数为 . 14. 现将 10 个扶贫款的名额分配给某乡镇不同的四个村，要求一个村1 个名额，一个村2 个名额，一个村 3 个名额，一个村4 个名额，则不同的分配方案种数为 . 15. 在实数的原有运算中，我们补充运算“* ”如下：当ab时，a*b=a;当ab时, a*b=b2. 设函数f(x)=(1*x)x - (2*x), x -2,2 ,则函数f(x)的值域为 . 16. 已知长方形ABCD的一组邻边长分别为3、4，沿对角线AC折成一个三菱锥，若记二面角B-AC-D的大小为 ( 0 2) , 则该三菱锥的外接球的体积为 . 三、解答题 : 本大题共 6 小题，共计70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.( 本小题满分10 分) 已知a、b是不共线的向量，且a=(5cos ,5sin ), b=(5cos , 5sin) (1) 求证：a+b与a-b垂直。(2) 若a+b= 53 , 求 cos( - ) 18. ( 本小题满分12 分) 在环保知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关水体净化知识的问题，甲答对的概率是34，甲、丙两人都打错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 求： （1）乙、丙两人各自答对这道题目的概率。（2） （理做）答对这道题目的人数的随机变量的分布列和期望。19.( 本小题满分12 分) 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一个矩形，AB=3.AD=1. 又PA AB,PA=4, PAD=60 . 求： (1) 四棱锥P-ABCD的体积。 (2) 二面角P - BC - D的正切值 . 20.( 本小题满分12 分) （理做）已知f (x) =lnx-x2+bx+3. (1) 若函数f(x) 的在点（ 2，y）处的切线与直线2x+y+2=0 垂直，求函数f(x)在区间 1,3上的最小值。(2) 若 f(x)在区间 1,m 上单调，求b 的取值范围。21.( 本小题满分12 分) （理做）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn, a1=a, an+1=Sn+3n, nN*.(1) 求 Sn(2) 若an+1an, nN*, 求 a 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 22.( 本小题满分12 分) 已知双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别是F1、F2，动点P满足PF1+PF2=4. (1) 求动点P的轨迹E的过程。(2) 设过点F2且不垂直与坐标轴的动直线a交轨迹E与A、B两点，试问在y 轴上是否存在一点D使得以DA 、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，试判断点D的活动范围：若不存在，试说明理由。2010 年江西省名校高考信息卷名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 数学试卷(二) 参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共 60 分。16 D (理)C（文） B A A D 712 D A B C (理)C（文） D B 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 13.900 14.24 15.-4,6 16. 1256三、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 17.(10分) 解： (1) a=(5cos ,5sin ), b=(5cos , 5sin) |a |=| b |=5, 又(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-| b |2=0(a+b) (a-b) (5分) (2) | a+b |2= (a+b) 2= a2+b2+2 ab=50+2 ab=75，ab=252又 ab=25（coscos+sin sin ）=252 cos( - ) = 12. (10分) 18.(12分) 解： (1) 设乙、丙各自答对的概率分别是P1、P2，根据题意得：（1-34）（ 1- P2）=12P1P2=14，解得：P1=38. P2=23； (5分) (2) （理科）的可能取值是0，1，2，3，P (= 0) = 145813 = 596，P (= 1) = 351+131+15 296 = 724； (9分) P (=2) = 331+352+13296= 1532，P (= 3) = 33296 = 316所以的分布列为 (10分) 0 1 2 3 P 5967241532316的数学期望E= 0 596 + 1 724 + 2 1532 + 3 316 = 4324. (12分) 19.(12分) 解： (1) ABAD 、 ABAP ，AB平面PAD。由AB平面ABCD，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 平面ABCD平面PAD，在平面PAD中，作作 PEAD,交AD的延长线与E。 （因为AE=APcos60=2AD）平面ABCDPE，在RtPAE中，PE=APsin60 =23 VP-ABCD=13AB AD PE=23 (6分 ) (2) 在平面ABCD中，作EF DC, 交BC的延长线与F，则EF BF, 连接PF. PE 平面ABCD ，EF BFPF BF于是PEF是二面角P-BC-D的平面角。 (10分) 在RtPEF中， tanPEF=PFEF=233 (12分) 20.(12分) ( 理做 ) 解： (1) f ( x) = 1x - 2x+b直线 2x + y +2 = 0的斜率为 - 2 ，令f (2) = 12，得b = 4 (2分) f ( x) = ln x - x2 + 4x + 3 令f (x) = 1x - 2x+4 = -2x2 + 4x + 1x = 0 ，得x =262. (4分) x1 (1 , 1+62) 1 + 62(1+62 , 3) 3 y+ 0 - y 6 极大6 + ln3 6 + ln3 6，x = 1时， f ( x) 在1 , 3上的最小值为6 . (6分) (2) 令f ( x) = 1x - 2x+b0 得b2x - 1x，在 1 , m 上恒成立 . 而y =2x - 1x在1 , m 上单调递增，最大值为2m - 1m，b2m - 1m (9分) 令f ( x) = 1x - 2x+b0 得b2x - 1x，在 1 , m 上恒成立 . 而y =2x - 1x在1 , m 上单调递减，最小值为y = 1 ，b1 故b 2m -1m或b 1时f ( x) 在1 , m 上单调 . (12分) ( 文做 ) 解： (1) f ( x) =3x2+2ax+b，令f (- 23) = 0 ，f (1) = 0得：a = - 12，b = -2 (4 分) (2) 由(1) 知f ( x) = x3-12x2-2x+c，令f ( x) =3x2-x-20 得x1, 所以f ( x) 在-1 , - 23 ， 1 , 2上递增； - 23 , 1上递减，又f (- 23) f (2) ，f ( x) 的最大值为f (2) ；要使f ( x) c2恒成立，只需f (2) c2，解得c2. (12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 分) 21.(12分) （理做）解：(1) 依题意得：Sn+1-Sn=an+1= Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n， (2分) 有此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n) (4分) 因此，Sn-3n=(a-3)2n - 1，Sn=(a-3)2n 1+3n，nN(6 分) (2)由(1) 知Sn=(a-3)2n 1+3n，nN于是，当n2 时，an= Sn- Sn -1=3n+(a-3)2n 1-3n-1- (a-3)2n 2=23n 1+(a-3)2n 2 (8 分)an+1-an=43n 1+(a-3)2n 2=2n 212 23( )2n+ a-3 (10分) 当n2 时，an+1 an1223( )2n+ a-30 a-9 当n= 1 时，a2= a1+3a1，综上所述，a的取值范围是(-9, +) (12分) （文做）解析： （1）f (x)=3an-1x2-3(t+1) an-an+1 (n2) 由题可知f (t)=0 即 3an-1(t)2-3 (t+1) an-an+1=0 (n2) an+1- an=t(an-an-1 ) (n2) t 0且t 1,a2-a1=t(t-1) 0 数列 an+1- an = （t2-t ）tn-1=(t-1)tna2-a1= (t-1) t,a3-a2= (t-1)t2, an-an-1=(t-1)tn-1 以上各式两别分别相加得an-a1=(t-1) （t+t2+ tn-1）an= tn (n2) 当 n=1 时成立an= tn当 n=2 时成立bn=2 - 12n-1, Sn=2n-( 1+12+122+ +12n-1)=2n - 1-12n1-12=2n- 2( 1 - 12n)=2n -2+ 22n又Sn+1- Sn=2-12n0，所以数列 Sn是递增数列Sn2010，得2n-2+2(12)n2010,n+(12)n1006 当 n1005 时，n+(12)n 1006 当 n1006 时，n+(12)n 1006 因此当Sn2010时， n 的最小值为1006. 22. (12分) 解： (1) 双曲线的方程可化为x22- y2=1，则 |FF2|=23，|PF1|+|PF2| = 4|FF2| ，所以点P的轨迹E是以F1，F2为焦点且长轴长为4 的椭圆，其方程为x24 + y2=1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - (3 分) (2) 假设存在满足条件的点D(0 , m) ，设直线a的方程为y=k(x-3)(k0) 代入椭圆方程得：(1+4k2)x2-83k2x+12k2-4=0，设A(x1, y1) ，B(x2, y2) ，由韦达定理得：x1+ x2=228 314kk，y1+ y2=k(x1+ x2-23)=222 314kkDA=(x1, y1-m)，DB=(x2, y2-m) ，DA+DB=( x1+ x2, y1+ y2-2m) ， (6分) 又AB=(1,k) (= x2- x1) ，以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，(DA+DB) AB(DA+DB) AB=0，即228 314kk+222314kk-2mk=0，整理得：226 314kk-2mk=0，(8 分) k0，m= 23 314kk= 3 314kk若k0，则3 314kk3 34( 当且仅当k = 12时取等号 ) ，即m(0,3 34 (10分) 若k0，则3 314kk -3 34( 当且仅当k = -12时取等号 ) ，即m-3 34,0) (11分) 综上，满足条件的点D存在，其活动范围是满足-3 34y3 34且y0 的区域 . (12 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -