2022年2022年离散数学作业 .pdf

离散数学作业布置第 1 次作业（ P15）1.16 设 p、q 的真值为 0；r、s的真值为 1，求下列各命题公式的真值。解： （1）p(qr)=0(01)=0 （2） （p? r）(qs)=（0? 1）(11)=01 =0 （3） （pqr）? (pq r)=（111）? (000)=0 (4)（ rs）(p q)=（01） (10)=00=1 1.17 判断下面一段论述是否为真： “是无理数。 并且，如果 3 是无理数， 则2也是无理数。另外只有6 能被 2 整除， 6 才能被 4 整除。 ”解：p: 是无理数1 q: 3 是无理数0 r: 2是无理数1 s:6 能被 2 整除1 t: 6 能被 4 整除0 命题符号化为：p(qr)(ts)的真值为 1，所以这一段的论述为真。1.19 用真值表判断下列公式的类型：（4）(pq) (qp) （5）(pr) ? (p q) （6）(pq) (qr) (pr) 解：（4）p q pq q p q p (pq)( q p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式，最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） ，最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1） 。第 2 次作业（ P38）2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式， 再用真值表法求出成真赋值 . (1) (pqq) (2)(p(pq)(pr) (3)(pq)(pr) 解：(1) (pqq) (pq) q) (pq) qp(q q) p0 0 所以公式类型为矛盾式(2)（p(pq)）(pr) (p(pq)( pr) ppqr1 所以公式类型为永真式(3) (pq) (pr) (pq) (pr) (pq) (pr) 易见, 是可满足式 , 但不是重言式 . 成真赋值为 : 000,001, 101, 111 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - P q r pq pr (p q) (pr) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 所以公式类型为可满足式2.4 用等值演算法证明下面等值式：(2) ( (pq)(pr) ) (p(qr) (4)(p q)(pq) (pq)(pq) 证明（ 2）(pq)(pr) ( pq)(pr) p(qr) p(qr) （4）(pq)(pq) (p(pq) (q(pq) ) (pp)(pq)(q p) (qq) 1(pq) (pq)1 (pq)(pq) 第 3 次作业（ P38）2.5 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值 : (1)( pq) (qp) (2) (pq) qr (3)(p(q r) (pqr) (4) (pq) qr 解：(1)(pq) (qp) (pq) (qp) pq q p q p (吸收律 ) (pp)q p(qq) pqp q pq pq m0m2m2m3m0m2m3 成真赋值为00, 10, 11. (2) (pq) qr (pq) qr (pqr) qr (pqr) (p p) qr pqr p qrpqr 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - m3m7成真赋值为 011，111. (3) (p(qr) (pqr) (p(qr) (pqr) p(qr) (pqr) p(qr)(pqr) pq p rpqr pq(r r)p(qq)rp(qq) (rr) (pp) q(rr)(pp) (q q) r m0m1m2m3m4m5m6m7, 为重言式 . (4) (pq) qr (pq) qr (pq) qr p(q q)r 0 主析取范式为 0, 无成真赋值 , 为矛盾式 . 第 4 次作业（ P38）2.6 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值 : (1) (qp) p (2)(pq) (pr) (3)(p(pq) r 解：(1) (qp) p (q p) p qp p q0 0 M0M1M2M3这是矛盾式 . 成假赋值为00, 01, 10, 11. (2)(pq) (pr) (pq) pr (pp)(p q)r (p q)r p qr M4, 成假赋值为 100. (3)(p(pq) r (p(pq) r (pp)q r 1 主合取范式为 1, 为重言式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 5 次作业（ P41）2.32 用消解原理证明下述公式是矛盾式: (1) (pq) (pr) (q r) (pr) r (2) (pq) pq) 解：(1) (pq) (pr) (q r) (pr) r 第一次循环S0=, S1=pq,pr,q r,p r,r, S2=由pr, pr 消解得到 输出“ no” ，计算结束(2) (pq) pq) (pq) p) q) (pq) p) q (pq) p q 第一次循环S0=, S1=pq,p, q, S2=由 pq,p 消解得到 q, 由 q, q 消解得到 , 输出“ no” ，计算结束2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的: (1) p (pq) q (2) (pq) (pq) (p r) 解：(1) p (pq) q 第一次循环S0=, S1=p, p q, q, S2=由 p, pq 消解得到 q, 由 q, q 消解得到 , 输出“ no” ，计算结束(2) (pq) (pq) (p r) 第一次循环S0=, S1=pq, pq, p r, S2=由 pq, pq 消解得到 p, 由 pq, p r 消解得到 q r, 由 pq, p r 消解得到 q r, 由 p, p r 消解得到 r, S2=p, q r, q r, r第二次循环S0=pq, pq, p r, S1=p, q r, q r, r, S2=由 pq, q r 消解得到 pr, 由 pq, q r 消解得到 pr, 由 pq, q r 消解得到 pr, 由p r, p 消解得到 r, S2=pr第三次循环S0=p, q r, q r, r, S1=pr, S2=S2=输出“ yes ” ，计算结束名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 6 次作业（ P52）3.6 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提 , 结论 , 推理的形式结构 (以蕴涵式的形式给出)和判断过程 (至少给出两种判断方法 ): (1)若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三. (2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一. (3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三. 所以今天不是星期一. (4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二. (5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二. (6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三. 设 p: 今天是星期一 , q: 明天是星期二 , r: 明天是星期三 . (1)推理的形式结构为(pr) pr 此形式结构为重言式 , 即(pr) pr 所以推理正确 . (2)推理的形式结构为(pq) qp 此形式结构不是重言式 , 故推理不正确 . (3)推理形式结构为(pr) rp 此形式结构为重言式 , 即(pr) rp 故推理正确 . (4)推理形式结构为(pq) pq 此形式结构不是重言式 , 故推理不正确 . (5)推理形式结构为(p(qr) )p q 它不是重言式 , 故推理不正确 . (6)推理形式结构为(p? r) pr 此形式结构为重言式 , 即(p? r) pr 故推理正确 . 推理是否正确 , 可用多种方法证明 . 证明的方法有真值表法, 等值演算法 . 证明推理正确还可用构造证明法. 下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确 . 1. 等值演算法(p? r) pr (pr) (rp)pr (pr) (rp)p) r (pr) (rp) p r (pr)(rp)p r 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - (rp)p r 吸收律 (rp)（ p r）德摩根律1 即(p? r) pr 故推理正确2.构造证明法前提: (p? r), p 结论: r 证明: p? r 前提引入 (pr) (rp) 置换 rp 化简律p 前提引入r 拒取式所以, 推理正确 . 第 7 次作业（ P53-54）3.15 在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p(qr), sp, q 结论: sr (2)前提: (pq) (rs), (s t) u 结论: pu (1)证明: s 附加前提引入sp 前提引入 p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理 q 前提引入 r 假言推理(2)证明: P 附加前提引入pq 附加(pq) (rs) 前提引入rs 假言推理 S 化简st 附加(st) u 前提引入 u 假言推理3.16 在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理: (1)前提: pq, rq, rs 结论: p (2)前提: pq, pr, qs 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 结论: rs (1)证明: P 结论否定引入pq 前提引入q 假言推理rq 前提引入r 析取三段论rs 前提引入 r 化简规则rr 合取引入规则为矛盾式 , 由归谬法可知 , 推理正确 . (2)证明: (rs) 结论否定引入pq 前提引入pr 前提引入qs 前提引入(pr) (qs) (pq) 合取引入规则rs 构造性二难(rs) (rs) 合取引入规则为矛盾式 , 所以推理正确 . 第 8 次作业（ P65-66）4.5 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1)火车都比轮船快 . (2)有的火车比有的汽车快 . (3)不存在比所有火车都快的汽车. (4) “凡是汽车就比火车慢 ” 是不对的 . 解：因为没指明个体域 , 因而使用全总个体域(1) x y(F(x) G(y) H(x,y) 其中, F(x): x 是火车 , G(y): y 是轮船 , H(x,y):x 比y 快. (2) x y(F(x) G(y) H(x,y) 其中, F(x): x 是火车 , G(y): y 是汽车 , H(x,y):x 比y 快. (3) ? x(F(x) y(G(y) H(x,y) 或x(F(x) ? y(G(y) H(x,y) 其中, F(x): x 是汽车 , G(y): y 是火车 , H(x,y):x 比y 快. (4) ? x? y(F(x) G(y) H(x,y) 或? x? y(F(x) G(y) H(x,y) ) 其中, F(x): x 是汽车 , G(y): y 是火车 , H(x,y):x 比 y 慢. 4.9 给定解释I 如下: (a)个体域为实数集合 R. (b)特定元素 a =0. (c)特定函数f(x,y)=x y, x,yR. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - (d)谓词 F (x,y): x=y,G(x,y): xy, x,yR. 给出下列公式在 I 下的解释 , 并指出它们的真值 : (1) ? x? y(G(x,y) F(x,y) (2) ? x? y(F(f(x,y),a)G(x,y) (3) ? x? y(G(x,y) F(f(x,y),a) (4) ? x? y(G(f(x,y),a) F(x,y) 解：(1) ? x? y(xyxy), 真值为 1. (2) ? x? y(x-y=0) xy), 真值为 0. (3) ? x? y(xy)(x y0), 真值为 1. (4) ? x? y(x y0) (x=y), 真值为 0. 第 9 次作业（ P79-80）5.5 给定解释 I 如下 : (a) 个体域 D=3,4；(b)f(x)：f(3)=4,f(4)=3；(c)F (x,y)： F (3,3)= F (4,4)=0, F (3,4)=F (4,3)=1. 试求下列公式在I 下的真值 : (1) ? x? yF(x,y) (2) ? x? yF(x,y) (3) ? x? y(F(x,y)F(f(x),f(y) 解：(1) ? x? yF(x,y) (F(3,3)F(3,4)(F(4,3)F(4,4) (01)(10) 1 (2) ? x? yF(x,y) (F(3,3)F(3,4)(F(4,3)F(4,4) (01)(10) 0 (3) ? x? y(F(x,y)F(f(x),f(y) (F(3,3)F(f(3),f(3) (F(4,3)F(f(4),f(3) (F(3,4)F(f(3),f(4) (F(4,4)F(f(4),f(4) (00)(11)(11)(00) 1 5.12 求下列各式的前束范式 . (1)? xF(x)? yG(x, y) (3)? xF(x, y) ? ? xG(x, y) (5) ? x1F(x1, x2)(F(x1)? x2G(x1, x2). 解：前束范式不是唯一的 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - (1) ? xF(x)? yG(x, y) ? x (F(x)? yG(t, y) ? x? y(F(x)G(t, y). (3) ? xF(x, y) ? ? xG(x, y) (? xF(x, y)? xG(x, y)(? xG(x, y)? xF(x, y) (? xF(x, y)? uG(u, y)(? xG(x, y)? vF(v, y) ? x? u(F(x, y)G(u, y)? x? v(G(x, y)F(v, y) ? x? u(F(x, y)G(u, y)? w? v(G(w, y)F(v, y) ? x? u? w? v (F(x, y)G(u, y)(G(w, y)F(v, y) (5)? x1F(x1, x2)(F(x1)? x2G(x1, x2) ? x1F(x1, x2)(F(x1)? x2G(x1, x2) ? x1F(x1, x2)? x2(F(x1)G(x1, x2) ? x1F(x1, x3)? x2(F(x4)G(x4, x2) ? x1(F(x1, x3)? x2(F(x4) G(x4, x2) ? x1? x2 (F(x1, x3)(F(x4)G(x4, x2) 第 10次作业（ P79-80）5.15 在自然推理系统FL中,构造下面推理的证明 :(1) 前提 : ? xF(x) ? y(F(y)G(y)R(y),? xF(x) 结论:? xR(x). (2) 前提 :? x(F(x)(G(a)R(x),? xF(x) 结论:? x(F(x)R(x) (3) 前提 :? x(F(x)G(x), ? xG(x) 结论:? xF(x) (4) 前提 :? x(F(x)G(x),? x(G(x) R(x),? xR(x) 结论: ? xF(x) (1)证明: ? xF(x) ? y(F(y)G(y)R(y) 前提引入 ? xF(x) 前提引入 ? y(F(y)G(y)R(y) 假言推理 (F(c)G(c)R(c) 全称量词消去规则 F(c) 存在量词消去规则 F(c) G(c) 附加 R(c) 假言推理 ? xR(x) 存在量词引入规则(2) 证明 : ? xF(x) 前提引入 F(c) 存在量词消去规则 ? x(F(x)(G(a)R(x) 前提引入 F(c)(G(a)R(c) 全称量词消去规则 G(a)R(c) 假言推理 R(c) 化简 F(c)R(c) 合取引入 ? x(F(x)R(x) 存在量词引入规则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - (3) 证明 : ? xG(x) 前提引入 ? xG(x) 置换 G(c) 全称量词消去规则 ? x(F(x)G(x) 前提引入 F(c)G(c) 全称量词消去规则 F(c) 析取三段论 ? xF(x) 存在量词引入规则(4) 证明 : ? x(F(x)G(x) 前提引入 F(y)G(y) 全称量词消去规则? x(G(x)R(x) 前提引入 G(y) R(y) 全称量词消去规则 ? xR(x) 前提引入 R(y) 全称量词消去规则 G(y) 析取三段论 F(y) 析取三段论 ? xF(x) 存在量词引入规则第 11次作业（ P96）6.4. 设 F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M 表示数学专业学生的集合 , R 表示计算机专业学生的集合, T 表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合 . 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来 . (1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课. (2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉 . (3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会. (4)这个音乐会只有大学一 , 二年级的学生参加 . (5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会. 备选答案 : T GH GHT SR T HGT TGFS G G FS S-(RM) G G S-(RM) 解: (1) SRT (2) H=GT (3) TG=(4) GFS (5) S-(RM)G 6.5. 确定下列命题是否为真 : (1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - (2) (3) (4) (5)a, ba, b, c, a, b, c (6)a, b a, b, c, a, b (7)a, ba, b, a, b (8)a, b a, b, a, b 解: (1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假第 12 次作业（ P130-131）7.1. 已知 A=, 求 A P(A). 解: AP(A)= , , =, 7.7. 列出集合A=2, 3, 4 上的恒等关系 IA, 全域关系 EA, 小于或等于关系LA, 整除关系 DA.解: IA= 2,2 , 3,3 , 4,4 EA=A A= 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 4,2 , 4,3 , 4,4 LA= 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4 , 4,4 DA= 2,2 , 2,4 , 3,3 , 4,4 7.12.设A=0, 1, 2, 3, R 是A 上的关系 , 且R=?0, 0?, ?0, 3?, ?2, 0?, ?2, 1?, ?2, 3?, ?3, 2?给出 R的关系矩阵和关系图. 解: 0010110100001001第 13 次作业（ P131）7.13.设A = ?1, 2?, ?2, 4?, ?3, 3?B = ?1, 3?, ?2, 4?, ?4, 2?求AB, AB, domA, dom(AB), ranA, ranB, ran(AB), fld(A-B). 解:AB=?1,2?, ?1,3?, ?2,4?, ?3,3?, ?4,2?A B=?2,4?domA=1,2,3 dom(A B)=1,2,3,4 ranA=2,3,4 ranB=3,4,2 ran(AB)=4fld(A-B)=1,2,30 1 2 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 7.15. 设A=?,?,?,?,?求A- 1,A2,A3,A?,A?,A?,A?,A?.解: A- 1=?,?,?,?,?,A2=?,?,?,A3=?,A?=?,?,?,A?=?,?,A?=?,A?=?,?,A?=?7.16. 设A=a,b,c,d, R1,R2 为A上的关系 , 其中R1=?a,a?,?a,b?,?b,d?R2=?a,d?,?b,c?,?b,d?,?c,b?求R1 R2, R2 R1,R12,R23. 解: R1 R2=?a,a?,?a,c?,?a,d?,R2 R1=?c,d?,R12=?a,a?,?a,b?,?a,d?,R23=?b,c?,?b,d?,?c,b?7.17. 设A=a,b,c, 试给出 A 上两个不同的关系R1和R2,使得 R12=R1, R23=R2. 解: R1=?a,a?,?b,b?,R2=?b,c?,?c,b?第 14 次作业（ P131-133）7.21.设A=1，2，, ,10,定义 A上的关系R=|x,yAx+y=10 说明R具有哪些性质并说明理由。解: 只有对称性。因为 1+110,R,所以R不是自反的；又由于 R,因此R 不是反自反的；根据xRy? x+y =10=yRx , 可知R是对称的；又由于 ,都是属于 R,因此R 不是反对称的； , 都属于 R,如果R 是传递的 , 必有属于R.但这是不成立的 , 因此R也不是传递的 .7.26.设A=1，2，3，4，5，6，R为A上的关系， R的关系图如图 3.13所示：1 2 3 4 5 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解: (1)R=,，, R =, R3= ,. (2)r(R)=, , , , , s(R)=, T(R)=, 第 15 次作业（ P134-135）7.41. 设 A=1，2，3，4 ，R为 A A上的二元关系 , a，b ， c，d AA , a，bRc，da + b = c + d (1)证明 R为等价关系 . (2)求 R导出的划分 . (1) 证明：a，b AA a+b=a+b R R是自反的任意的 , AA 设R，则 a+b=c+d c+d=a+b R R是对称的任意的 ,AA 若R,R 则 a+b=c+d,c+d=x+y a+b=x+y R R是传递的R是 AA上的等价关系(2) =, , , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 7.43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图: (1) 1,2,3,4,6,8,12,24 (2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 解: 哈斯图如下图所示 : 7.46. 分别画出下列各偏序集 的哈斯图 , 并找出 A 的极大元 极小元 最大元和最小元 . (1)A=a,b,c,d,e R =,IA. (2)A=a,b,c,d,e, R=IA. 解: abcdeabcde（1）极大元 e；极小元 a；最大 e；最小元 a。（2）极大元 a,b,d,e ；极小元 a,b,c,e ；没有最大与最小元。第 16 次作业（ P161-135）4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的 ?哪些是双射的 ? (1) f:NN, f(x)=x2+2 (2) f:NN,f(x)=(x)mod 3, x 除以 3 的余数(3) f:NN,f(x)=10 xx，若 为奇数，若 为偶数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - (4) f:N0,1,f(x)=01xx，若 为奇数，若 为偶数(5) f:N-0R,f(x)=lgx (6) f:RR,f(x)=x2-2x-15 解: (1)不是满射，不是单射(2)不是满射，不是单射(3)不是满射，不是单射(4)是满射，不是单射(5)不是满射，是单射(6)不是满射，不是单射37. 根据自然数的集合定义计算：(1) 36, 2 5 ;(2)4 3,31 (3)4 , 1 (4)1 4 ，2解: (1) 36 = 6, 25 = 2;(2)4 3 =3,31 = 1,2 (3)4 = 3, 1 = 0(4)1 4 = ,2 = ,，其中 : =, = , 38. 计算下列集合的基数：解:(1)3, (2), (3) , (4), (5), (6) ,第 17 次作业（ P178-180）4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合 Z 和普通的减法运算。（2）非零整数集合Z* 和普通的除法运算。（3）全体 nn 实矩阵集合 Mn（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - （4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 错误！未找到引用源。 2。（5）正实数集合 错误！未找到引用源。 和错误！未找到引用源。 运算，其中 错误！未找到引用源。 运算定义为：错误！未找到引用源。（6）n错误！未找到引用源。 关于普通的加法和乘法运算。（7）A = ,21naaa错误！未找到引用源。 n 错误！未找到引用源。 运算定义如下：错误！未找到引用源。（8）S = 错误！未找到引用源。 关于普通的加法和乘法运算。（9）S = 0,1,S是关于普通的加法和乘法运算。（10）S = 错误！未找到引用源。,S 关于普通的加法和乘法运算。5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。解: （1）封闭 ,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）不封闭（3）封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）不封闭（5）不封闭因为R1111111（6）封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是 0，无零元；乘法无单位元（1n） ，零元是 0；1n单位元是 1 （7）封闭 不满足交换律，满足结合律，（8）封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 10令 S=a，b，S上有四个运算： *，错误！未找到引用源。 分别有表 10.8确定。(a) (b) (c) (d) (1)这 4 个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。解: (a) 交换律，结合律，幂等律都满足，零元为 a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元bbaa11,(c)满足交换律 ,不满足幂等律 ,不满足结合律ababbabaabba)(,)(bbabba)()(没有单位元 , 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元 , 没有零元16设 V= N，+ ，错误！未找到引用源。 ，其中 + ，错误！未找到引用源。分别代表普通加法与乘法， 对下面给定的每个集合确定它是否构成V 的子代数，为什么？（1）S1=错误！未找到引用源。（2）S2=错误！未找到引用源。（3）S3 = -1，0，1 解: （1）是（2）不是 加法不封闭（3）不是，加法不封闭名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 第 18 次作业（ P202-205）8. 设 S=0，1，2，3，为模 4 乘法，即x,y S, xy=(xy)mod 4 问S，是否构成群？为什么？解：(1) x,y S, xy=(xy)mod 4S,是 S上的代数运算。(2) x,y,z S,设 xy=4k+r 30r (xy)z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理 x(yz) =(xyz)mod 4 所以， (xy)z = x(yz) ，结合律成立。(3) xS, (x1)=(1x)=x, ，所以 1 是单位元。(4), 33, 1111 0 和 2 没有逆元所以， S，不构成群9. 设 Z 为整数集合，在Z上定义二元运算。如下：x,y Z,xoy= x+y-2 问 Z 关于 o 运算能否构成群？为什么？解：(1) x,y Z, xoy= x+y-2Z,o 是 Z 上的代数运算。(2) x,y,z Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。(3) 设e是单位元，xZ, xoe= eox=x, 即 x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) xZ , 设 x 的逆元是 y, xoy= yox=e, 即 x+y-2=y+x-2=2, 所以，xyx41所以 Z，o构成群名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 22. 设 G为群， a 是 G中给定元素， a 的正规化子 N（a）表示 G中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N（a）=xxG xa=ax证明 N（a）构成 G的子群。证明： ea=ae,)(aNeyaayxaaxaNyx,),(,则axyyaxayxyxayaxxya)()()()()()(, 所以)(aNxy由xaax， 得111111,eaxaexxaxxaxxx， 即11axax， 所 以)(1aNx所以 N（a）构成 G的子群36. 设,是 5 元置换，且3541254321，2154354321(1) 计算111,；(2) 将11,表示成不交的轮换之积。(3) 将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1) 12354543215213454321321545432114351254321123145543211(2) )1425()14253(1)25)(143(1(3) )15)(12)(14(奇置换，)13)(15)(12)(14(1偶置换)25)(13)(14(1奇置换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 广州陶粒 ，广州陶粒厂http:/5wrVFkK3gXQ2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -