2022年反比例函数定义,图像,性质.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 课程名称：学习必备欢迎下载反比例函数定义,图像,性质教学内容和位置：反比例函数是中学阶段三大函数中的其次部分,区分于一次函数, 但又高于并且建立在一次函数之上,是中考的必考内容,常常以挑选或填空题形式出现,内容比较简洁；解答题形式显现时,难度中等,常常与一次函数结合,分值 8 分左右,通过实际问题考察反比例函数解析式的确定；学问连接点：利用平面直角坐标系来争论一次函数与反比例函数；教材分析 重点：1把握反比例函数的概念及性质,确定反比例函数的解析式；懂得函数图像的含义,培育由图像猎取信息,解决问题的才能；难点：把握反比例函数图像的几何意义,渗透数形结合的数学思想；课时规划 3 课时1懂得反比例函数定义和性质,会用待定系数法求反比例函数的解析式；教学目标分析2树立数形结合的数学思想,能完成解析式和图像位置、性质之间的转化；3综合运用多种数学思想,逐步形成数学应用和建模的意识；1、复习、检查上次课重点学问 教学思路 2、梳理本节课重要学问 3、例题精讲 4、重点、常见题型（图形变换）5、易错点,常用解题方法和技巧 6、课堂总结,课下支配必讲学问点 教学过程 一、复习上次课重要内容二、梳理本节课重要学问1学问结构：k2. 定义：形如 yx（k 为常数, k 0）的函数称为反比例函数；其中 x 是自变量, y 是函数,自变量 x 的取值是不等于 0 的一切实数；1）y 的取值范畴是一切非零的实数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xy=k ；ykx1；yk1（k 为2）反比例函数解析式的三种表示方法：x常数,k 0）3. 用待定系数法求反比例函数的解析式k由于反比例函数y x只有一个待定系数,因此只需要知道一组对应值,就可以求出 k 的值,从而确定其解析式；4. 反比例函数的画法：1）列表； 2）描点； 3）连线5. 图像：反比例函数的图像属于双曲线；反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形；有两条对称轴：直线 原点；6. 反比例函数图像与性质:：y=x 和 y= x；对称中心是：反比例k（k 为常数, k 0）k 0 函数yxk 的取k0 值图像性质x 的取值范畴是x 0；yx 的取值范畴是x 0；y 的的取值范畴是 y 0; 取值范畴是 y 0; 函数的图像两支分别位 函数的图像两支分别位于于其次、第四象限,在 第一、第三象限,在每个每个象限内 y 值随 x 值 象限内 y 值随 x 值的增大的增大而增大；而减小；1）反比例函数的增减性不连续,在争论函数增减问题时,必需有“ 在每一名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载个象限内” 这一条件；2）反比例函数图像的两个分支可以无限地接近 没有交点；x 轴、 y 轴,但与 x 轴、 y 轴yk xk0 的图象是轴对称图形,对称轴为yx 0 或yx 0 对称ykky0 的图象是中心对称图形,对称中心为原点（0,0）；性xyk和kxxk 0在同一坐标系中的图象关于x 轴对称,也关于 y 轴对称k7. 反比例函数yx（k 0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积；k如图,过双曲线y x（k 0）上的任意一点P（x , y）做 x 轴、 y 轴的垂线PA、PB,所得矩形 四边形 OBPA的面积 S=PA·PB= xy = k ；当反比例函数过一,三象限时,k=xy 当反比例函数过二,四象限时,k=-xy 推出：过反比例函数图像上的任意一点做坐标轴的垂线,连接原点,所k得三角形的面积为 2三、例题精讲 例 1 :下面函数中,哪些是反比例函数？名师归纳总结 （1）yx；（2）y8；（3）y4x5；（4）y5x1；（5）xy1 8.第 3 页,共 9 页3xy0,它解：其中反比例函数有（2）,（4）,（5）k说明：判定函数是反比例函数,依据反比例函数定义,xk- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 也可变形为y学习必备xy欢迎下载kx1及k的形式,（4）,（5）就是这两种形式例 2: 已知反比例函数ya2 xa26,y 随 x 增大而减小,求a 的值及解析式分析依据反比例函数的定义及性质来解此题）解 3：由于ya2 xa26是反比例函数,且y 随 x 的增大而减小,a26,1a5,所以a2.0解得a2.所以a5,解析式为y52x例 4：（1）如函数y m1 xm22是反比例函数,就m 的值等于（A± 1 B1 C3D 1 （2）如下列图正比例函数ykxk0）与反比例函数y1的图像相交于A、C 两点,过A 作 x 轴的垂线交xx轴于 B,连结 BC如ABC 的面积为 S,就：AS1BS212CS3mDS的值不确定解：（ 1）依题意,得m,0解得12 m,1故应选 D（2）由双曲线y1关于 O 点的中心对称性,可知：SOBASOBCx21S2SOBAOBABOBAB12故应选 A名师归纳总结 例 5: 已知yy 1y 2,1y与 x 成正比例,y 与 x 成反比例,当x1时,第 4 页,共 9 页y4；当x3时,y5,求x1时, y 的值分析先求出 y 与 x 之间的关系式,再求x1时, y 的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解由于学习必备欢迎下载1y与 x 成正比例,y 与 x 成反比例,所以y 1k 1x ,y 2k2k1 k20 决x所以yy 1y 2k1xk2x将x1,y4；x3,y5代入,得k 1k 24 ,k 111 ,83 k 11k25 .解得k 221 .83所以y11x2188x所以当x1时,y1121488说明不行草率地将k 、k2都写成 k 而导致错误, 题中给出了两对数值,定了k 、k 2的值例 6:（ 1）一次函数yx1与反比例函数y3在同一坐标系中的图像x大致是如图中的（）（2）一次函数ykxk21与反比例函数yk在同始终角坐标系内的图x名师归纳总结 像的大致位置是图中的（）第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：yx学习必备欢迎下载B、C；又y3的1的图像经过第一、二、四象限,故排除x图像两支在第一、三象限,故排除D答案应选Ak x（2）如k0,就直线ykxk21 经过第一、三、四象限,双曲线y0,的图像两支在第一、 三象限,而挑选支A、B、C、D 中没有一个相符； 如k就直线ykxk21 经过其次、三、四象限,而双曲线的两支在其次、四象限,故只有C正确应选C四、重点、常见题型（图形变换）1,依据图像的所在象限,确定K 值；y 值大小；2,依据图像的单调性,确定x 值大小,或3,依据反比例函数定义,确定解析式中的常量值；4,反比例关系与反比例函数的区分和联系：假如 xy=k（ k 0）,那么 x 与 y 这两个量成反比例的关系,这里的 x、y 可以 表示单独的一个字母,也可以代表多项式或单项式；k y 1 例如：y1 与 x+1 成反比例,就 x 1；k y 2 如 y 与 x2 成反比例,就 x 成反比例关系, x 和 y 不肯定是反比例函数；k y 但反比例函数 x（k 0）必成反比例关系；5,坐标系中的求不规章图形的面积结论 1：过双曲线上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线,所得矩形的面积S 为定值|k| 分析：对于以下三个图形中的情形,利用三角形面积的运算方法和图形的 对称性以及上述结论,可得出对应的面积的结论为：名师归纳总结 结论 2：在直角三角形ABO 中,面积S=第 6 页,共 9 页结论 3：在直角三角形ACB中,面积为S=2|k| - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载结论 4：在三角形 AMB 中,面积为 S=|k| 利用已知面积,求反比例函数的解析式（或比例系数 k）2例 1、假如函数 y kx 2 k k 2的图像是双曲线,且在其次,四象限内,那么的值是多少？分析：有函数图像为双曲线就此函数为反比例函数k0yk,（k0）即xykx1（k0）又在其次,四象限内,就可以求出的值解：由反比例函数的定义,得：2 k2k21k1 或k1 2y 1,2x,y 2,x3,k0解得k0k1kx2k2k2为y1k1 时函数yx例 2、在反比例函数y1的图像上有三点1x,xy3；如x 1x20x 3就以下各式正确选项（）Dy 1y3y2By3Ay 3y 1y 2y2y 1Cy 1y2y3分析：可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,仍可取特别值法；名师归纳总结 解法一：由题意得y11,y 21,y311第 7 页,共 9 页x 1x2x 3x 1x20x3,y 3y 1y2所以选 A 的图像y解法二：用图像法,在直角坐标系中作出x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备x 2欢迎下载3观看图像直接得到y 3y1y2选 A 描出三个点,满意x10x解法三：用特别值法x 1 x 2 0 x ,令 x 1 2, x 2 1, x 3 1,y 1 1 , y 2 1, y 3 12y 3 y 1 y 21 4 m22y m x例 3：已知函数 3 是反比例函数,且其函数图像在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小,求反比例函数的解析式解：由于y是x的反比例函数,所以4m221,所以m1或m1.22由于此函数图像在每一象限内,y 随 x 的增大而减小,所以m10,所以m1,所以m1,332所以反比例函数的解析式为y5.6x说明：此题依据反比例函数的定义与性质来解反比例函数ykk0x当k0时,y随x增大而减小,当k0时,y随x增大而增大例:4：当 n 取什么值时,y2 n2n n x2n1是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内,y 随 x 增大而增大仍是减小？名师归纳总结 分析依据反比例函数的定义ykk0 可知,yn22 nn x2n1是第 8 页,共 9 页x反比例函数,必需且只需n22n0且n2n11解y2 n2 n xn2n1是反比例函数,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n22n,0学习必备欢迎下载n2n11 ,y1n0 且n,2n0 或n1 .即n1故当n1时,y2 n2 n xn2n1表示反比例函数：xk10,y 随 x 的增大而增双曲线两支分别在二、四象限内,并且在每个象限内,大五、易错点、常用方法、解题技巧 1,反比例函数画图像时应当留意：（1）列表取值时,x 0,由于 x0 函数无意义,为了使描出的点具有代 表性,可以“0” 为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互 为相反数,这样也便于求 y 值（2）由于函数图象的特点仍不清晰,所以要尽量多取一些数值,多描一些 点,这样便于连线,使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线依据自变量从小到大的次序连接,切忌画成折 线（4）由于 x 0,k 0,所以 y 0,函数图象永久不会与 x 轴、 y 轴相交,只是无限靠近两坐标轴 六、课堂小结、课下支配反比例函数解析式的特点：1等号左边是函数 y ,等号右边是一个分式；分子是不为零的常数 k（也叫做比例系数k）,分母中含有自变量 x ,且指数为 1. 2系数 k 03自变量x 的取值为一切非零实数；4函数y 的取值是一切非零实数；课下支配：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页