2022年南京一中高三数学综合练习三份.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载南京一中高三数学综合练习题 一 一、填空题 本大题共14 小题,每道题5 分,共 70 分 k_. 1. 运算42i_. 1i2. 直线 l 1：xky10,l2： k2xy1 0,就 l 1 l2 的充要条件是3. 已知 |a|3,|b|4,aba3b33,就 a 与 b 的夹角为 _4. 以直线 y±2x 为渐近线且过点 2,6的双曲线方程是 _5. cos43 cos77 °sin43 °cos167 °的值为 _第 6 题 第 13 题 6. 定义某种运算,的运算原理如下列图,设fx ,就 fx 在区间2,2上的最小值为 _7. 设 a,b 为不重合的两条直线, 为不重合的两个平面,给出以下命题： 如 a 且 b ,就 a b； 如 a 且 b ,就 a b； 如 a 且 a ,就 ； 如 a 且 a ,就 .上面命题中,全部真命题的序号为 _8. 设函数 fx x 3x,x1,1,就不等式 f1 af1 a 2>0 的解集是 _9. 在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P,就PBC 的面积大于 S4 的概率是_4 n10. 已知正项等比数列a n满意 a6a72a5,如存在两项am,an 使得aman2a2,就1 m的最小值为 _11. 13tan1 °13tan2 °13tan3 ° 13tan60 °_. 12. 假如对于区间D 内任意的 x1,x2, ,xn,有f x1 f x2 f xn nf x 1x 2 x n n成立,就称函数 fx 在区间 D 上是“ 凸函数” 已知函数 ysinx 在区间 0, 上是“ 凸函数” ,就在 ABC 中, sinA sinBsinC 的最大值是 _名师归纳总结 13. 如图,在ABC 和 AEF 中, B 是 EF 的中点, AB 1,如 AB·AE AC·AF 2,就第 1 页,共 26 页AF 与 BC 的夹角等于 _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载14. 已知 l1和 l2是平面内相互垂直的两条直线,它们的交点为A ,动点 B,C 分别在 l 1和 l 2 上,且 BC3 2,就过 A ,B,C 三点的动圆所形成的区域的面积为 _二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤15. 本小题满分 14 分 设 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别为 1 求角 A 的大小；2 如 a1,求 ABC 面积的最小值16. 本小题满分 14 分 a,b,c,且 acosC1 2cb. 如图,ABEDFC 为多面体, 平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, 点 O 在线段 AD 上,OA 1,OD 2, OAB , OAC , ODE , ODF 都是正三角形1 求证：直线 BC 平面 OEF；2 求点 O 到平面 DEF 的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17. 本小题满分15 分 优秀学习资料欢迎下载草原某地, 丛林的边界 L 是一条直线, 兔子和狼分别位于 A、B 处AC L,B 在 AC 上,AB BCa,如图,现兔子欲沿 AD 或 AD 以速度 2v 逃入丛林, D 和 D 在 L 上,且关于 C 点对称, 同时狼沿线段 BM 或 BM 以速度 v 拦截,M 和 M 分别在线段 AD 和 AD 上,且 |AM| |AM |,如狼比兔子早或同时到达 M 或 M 处,兔子就会被狼捕捉1 求狼捕捉到兔子的区域；2 如兔子沿着 CAD 15°的方向逃入丛林,问：狼捕捉兔子的最短路程是多少？3 兔子要想逃命,角 应满意什么条件？18. 本小题满分 15 分 设动圆 P 过点 A 1,0,且与圆 C：x 2y 22x70 相切1 求动圆圆心 P 的轨迹 E 的方程；2 设点 Qm,n在曲线 E 上,求证：直线 l：mx2ny10 与曲线 E 有唯独的公共点；3 在2条件下,设直线l 与圆 C 交于 E、F 两点,判定满意AM AE AF 的点 M 与圆C 的位置关系名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19. 本小题满分16 分 优秀学习资料欢迎下载设首项为a1 的正项数列 a n 的前 n 项为 Sn,q 为非零常数,已知对任意正整数n,m,当n>m 时, SnSmqmSnm 总成立1 证明：数列 a n 是等比数列；2 如正整数 m,k,h 成等差数列,证明：Sm 1 Sh 2 Sk. 20. 本小题满分 16 分 设 a1,函数 fx 4x 272x,x0,1 和 gxx33a2x2a,x 0,1 1 求 fx 的值域；名师归纳总结 2 如存在 x 1,x20,1 ,使得 fx1gx 2成立,求实数a 的取值范畴；第 4 页,共 26 页3 是否存在实数a,使得对任意的x 1, x2 0,1 ,|fx1gx 2|<1 都成立,如存在,求出 a 的值；如不存在,请说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载南京一中高三数学综合练习题 二一、 填空题 本大题共 14 小题,每道题 5 分,共 70 分 1. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计, 将样本中的每个数据除以 100 后进行分析,得出新样本的方差为 3,就估量总体的标准差为 _2. 设 a, bR,已知命题 P： ab；命题 Q：ab 2a 2b2 2,就 Q 是 P 成立的_条件 填“ 充分不必要” “ 必要不充分” “ 充要” 或“ 即不充分也不必要” 3. 阅读右图的伪代码,就运行后输出的结果是 _a1b1i2While i 5aabbabii1End whilePrint a第 3 题 4. 定义在 0, 上的函数 fx 的导函数 fx<0 恒成立,且 f4 1,如 fx y1,就 x 2 y 2 的最小值是 _ 5. 已知函数 fx sin x3 sin x,其中 1< <1,如直线 x3是函数 fx 图象的一条对称轴,就 _. 6. 已知点 P3,6和圆 C：x1 2y2 2r 2,其中 r 是变量,过 P 作圆 C 的两条切线,切点分别为 M 、N,就弦 MN 的最大值为 _7. 如不等式 t 22a t2 2 ,在 t0,2上恒成立,就 a 的取值范畴是 _8. 在等差数列 a n中, Sn表示其前 n 项和,如 Sn n m,Smmn,m n,就 Smn4 的符号是 _填“ 正” “ 负” “ 零” “ 非正” 或“ 非负” 9. 已知两定点 A1,1 、B1,1和圆 O：x 2y21 上两动点 C、D,就由这四点构成的梯形面积的取值范畴为 _10. 将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m、 n,就函数 y2 3mx 3nx1 在1, 上为增函数的概率是 _lnx a11. 如函数 fx x 的图象与函数 gx 1 的图象在区间 0,e上有公共点,就实数 a的取值范畴是 _名师归纳总结 12. 已知集合22n 1 Ax|x cos m ,n Z ,当 m 4 022 时,集合A 中元素的个数为第 5 页,共 26 页_2 2a 4的切线,切点2 13. 过双曲线x a 2y b22y21a>0,b>0的左焦点 Fc,0c>0 ,作圆 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为 E,延长 FE 交双曲线右支于点优秀学习资料欢迎下载_P,如 OE 1 2OF OP,就双曲线的离心率为14. 在长方形 ABCD 中,AB 2,BC 1,E 为 CD 中点,F 为线段 EC端点外 上一动点,现将 AFD 沿 AF 折起,使得平面 ABD 与平面 ABC 垂直,在平面 ABD 内过点 D 作 DK AB ,垂足为 K,设 AK t,就 t 的取值范畴是 _二、解答题：本大题共6 小题,共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. 本小题满分14 分 SABCD 中, ABC 60°,SAAB a,SBSD2SA,如图,在底面为菱形的四棱锥点 P 在 SD 上,且 SD3PD. 1 证明：平面 SAC平面 SBD；度2 如过点 B 的平面与 SC、SD 分别交于点 E、F,且平面 BEF 平面 APC,求 SE 的长16. 本小题满分 14 分 如图,梯形 ABCD 中, AD BC,AD AB ,AD 1,BC2,AB 3,P 是 AB 上的一个动点, CPB, DPA .名师归纳总结 1 当PD·PC 最小时,求tanDPC 的值；第 6 页,共 26 页2 当 DPC 时,求 PD·PC 的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17. 本小题满分15 分 优秀学习资料欢迎下载如图,所示是某水产养殖场的养殖大网的平面图,四周的实线为网衣,为防止混养,用筛网 图中虚线 把大网箱隔成大小一样的小网箱1 如大网箱的面积为108 平方米,每个小网箱的长、宽分别设计为多少米时,才能使围成的网箱中筛网总长度最小；2 如大网箱的面积为160 平方米,网衣的造价为112 元/米,筛网的造价为96 元/米,且大网箱的长与宽都不超过15 米,就小网箱的长、宽各为多少米时,可使总造价最低？18. 本小题满分 15 分 已知数列 a n 的首项 a14,前 n 项的和为 Sn,且 Sn13Sn2n40. 1 求数列 a n 的通项公式；2 a1xn,fx 是函数 fx 的导函数,令bnf1,求2 设函数 fx anxan1x数列 b n 的通项公式,并讨论其单调性名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 19. 本小题满分16 分 优秀学习资料欢迎下载如图,已知椭圆：2 xa 22 yb 21a>0, b>0和圆 O：x2 y 2 b 2,过椭圆上一点P 引圆 O 的两条切线,切点分别为A 、B. 1 如椭圆上存在点P,使得 PA·PB 0,求椭圆离心率e 的取值范畴；2 设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点M 、 N,求证：2 a22 b2为定值ONOM20. 本小题满分16 分 已知函数 fx lnx x1. 1 求函数 fx 的单调区间；2 设 m>0,求 fx 在m,2m 上的最大值；名师归纳总结 3 试证明：对任意的nN*,不等式 elnn1 n<1n恒成立 . 第 8 页,共 26 页n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载南京一中高三数学综合练习题 三 一、填空题 本大题共14 小题,每道题5 分,共 70 分 1. 如全集 U 1,2,3,4 ,集合 A 1,2 ,B1,4 ,就 A 2. 已知 1i ·z 2i,那么复数 |z|_. UB_. 3. “ 直线：xa1y10 与直线：ax2y20 平行” 的充要条件是a_. 4. 设 s 为 1、2、4、 5 的标准差,就s_. 2 5. 双曲线y 122x 1 的焦点到它的渐近线的距离为 4_6. 函数 fx |lgx|x2 的零点个数是 _7. 运行下面的一个流程图,就输出的S 值是 _8. 同时抛掷两枚骰子,所得点数之和为3 的倍数的概率等于9. 已知函数 fx 2cos2xsin 2x4cosx,就函数 fx 的值域为 _10. 已知 Sn是等差数列 an 的前 n 项和,如 S24,S416,就 a5的最大值是 _11. 直线 y kx 与曲线 ye |lnx|x2|有 3 个公共点时, 实数 k 的取值范畴是 _12. 在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD ,如四边形 ABCD 是菱形, BAD 60°,就以下说法正确选项_填全部正确命题的序号 平面 PAB平面 PAD； 平面 PAC平面 PBD； 平面 PCD平面 PAD； 平面 PAC平面 ACD. 13. 函数 fx 22x 22x 22x1的最小值为 _14. 设函数 fx ax 3 bx 2cxd 的图象 C 上有两个极值点 P、Q,其中 P 为坐标原点,当点 Q 在圆 D：x2 2y3 21 上时,曲线 C 的切线斜率的最大值为 _二、解答题：本大题共 6 小题,共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. 本小题满分 14 分 已知 a1 2,1 2sinx2 cosx , b1,y,且 a b.设函数 yfx 31 求函数 yfx 的解析式；名师归纳总结 2 如在锐角ABC 中, f A 33,边 BC3,求 ABC 周长的最大值第 9 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16. 本小题满分14 分 优秀学习资料欢迎下载如图甲,在直角梯形 PBCD 中, PB CD ,CDBC,BCPB2CD,A 是 PB 的中点,现沿 AD 把平面 PAD 折起,使得PAAB 如图乙 ,E、F 分别为 BC、AB 边的中点1 求证：平面 PAE平面 PDE；2 在 PA 上找一点 G,设 AG AP,试求当 为何值时可使17. 本小题满分 15 分 FG 平面 PDE. 某销售商销售某品牌手机,该品牌手机进价为每部 1 580 元,零售价为每部 1 880 元为促进销售, 拟采纳买一部手机赠送肯定数量礼物的方法,且赠送礼物的价值不超过 180 元统计说明：在促销期间,礼物价值每增加 15 元礼物的价值都是 15 元的整数倍,如礼物价值为30 元,可视为两次增加 15 元,其余类推 ,销售量都增加 11%. 1 当赠送礼物的价值为 30 元时,销售的总利润变为原先不赠送礼物时的多少倍？精确到 0.1 2 试问赠送礼物的价值为多少元时,商家可获得最大利润？名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18. 本小题满分15 分 优秀学习资料欢迎下载P 满意 PF1·PF22 已知 F1,F2 是椭圆 C：x m12y m1m>0 的左、右焦点,且椭圆上存在一点1. 1 求椭圆离心率 e 的取值范畴；2 如直线 PF2与椭圆的右准线19. 本小题满分 16 分 l 相交于点 Q,且 PF2 2F2Q ,求直线 PF2 的方程已知分别以 d1 和 d2为公差的等差数列 a n 和b n 满意 a118,b1436. 1 如 d118,d22 917,且 a 2 m bm1445,求 m 的取值范畴；2 如 akbk0,且数列 a1,a2, , ak, bk,bk1, , b14 的前 n 项和 Sn满意 S142Sk, 求数列 a n 和b n 的通项公式； 令 Anaan,B nabn,a>0 且 a 1,探究不等式 n 恒成立？A nBn1<A nB n 是否对一切正整数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20. 本小题满分16 分 优秀学习资料欢迎下载fnx ,且满意f2x 1已知定义在实数集上的函数fnx xn,n N*,其导函数记为ax2x1 f 2 x 2 f2 x1,a,x1,x 2为常数, x1 x2. x 2 x11 试求 a 的值；名师归纳总结 2 记函数 Fx b·f1x lnf 3x ,x0,e,如 Fx 的最小值为6,求正实数b 的值；第 12 页,共 26 页3 对于 2中的 b,设函数gxbx,Ax 1,y1,Bx 2,y 2x 1<x 2是函数 gx图象上3两点,如 gx 0y2 y1,试判定 x 0, x1, x2 的大小,并加以证明. x2 x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高三数学综合卷参考答案 一 1. 13i 解析：42i1i2 2i 1i1i 1 i2i1 i 13i. 2. 0 或 1 解析： A 1A 2B1B 22 k0 或 1. 3. 120° 解析： a 24ab3b 233, 948cos4833,cos1 2, 120°. 2 2 2 24. 20x 51 解析：设双曲线方程为 x1 2y 4 ,将点 2,6代入得： 436 4, 5. 5. 12 解析：原式 cos43°cos77°sin43 °sin77 °cos120°1 2. x2x, 2x06. 6 解析： fx ,画出其图象易知：fx min 6. x,0<x 27. 解析：如 a 且 b 时直线 a、b 相交也有可能成立,故错误；命题是线面垂直的性质定理正确；如a 且 a ,平面 、 也可能相交,故错误；命题由线面垂直的定义和面面平行的判定定理可证其是正确的8. 0,1解析： fx 3x21>0,fx fx ,1<1a<1 函数 fx 在区间 1,1上是增函数、奇函数,1<1a 2<10<a<1. 1a>a 219. 34 解析：由已知可设ABC 的边 AB 上的高为 h.就 S1 2|AB| ·h,S PBC1 2|PB| ·h,所以 S PBC|PB| |AB|·SS 4,又 |PB|1 4|AB|的概率为 4；故 S PBCS 4的概率为 3 4. 310. 2 解析：当 q1 时, a6a62a5 a5 0 与 an 为等比数列冲突,故 q>0 且 q 1. 由 a6a72a5,知 qq 22,由 aman2a2知 a2·2 m2·a2·2 n22a2 mn6,m4 n1 m4 n mn16 5m4m3 2,当 n4,m2 时上式等号成立名师归纳总结 11. 261解析：设 AB60°,第 13 页,共 26 页就13tanA1 3tanB13tanA tanB3tanAtanB 131 tanAtanBtanA B 3tanAtanB 4,所以原式 261. 12. 323解析： fx sinx 在 0, 上是“ 凸函数” ,A ,B,C 0,f A f B f C 3f A BC 3, sinAsinB sinC3sin60 °33 2 . 13. 90° 解析： ABAB BEAB BCAB BF2,2AB 2AB ·BE AB · BF BC ·AB BC ·BF 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 B 是 EF 的中点, AB 1,AB 21,BE BF , BC ·AB BC ·BF BC ·AF 0. 14. 18 解析：分别以 l1、l2为 x 轴、 y 轴建立直角坐标系,设线段 BC 中点为 E,就过 A、B、C 三点的圆即为以 E 为圆心、32 2为半径的圆, B 、C 分别在 l 1 和 l2 上运动,圆心 E 在以 A 为圆心、 AE 32 2为半径的圆上运动,所以,过 A 、B、C 三点的动圆所形成的面积为以 A 为圆心、 3 2为半径的圆的面积为18 .115. 解： 1 由正弦定理知：sinAcosC2sinCsinB,2 分 sinAcosC 1 2sinCsinA C,1 2sinCcosAsinC, cosA12.5 分 0<A< , A 3.7 分 2 由余弦定理得 b 2 c 2 2bccos 31 2, 9 分 bcb 2c 22bc1, bc1.12 分 S ABC 1 2bcsinA 4 bc34× 134,3 当 bc1 时, ABC 的面积取得最小值 4 .14 分 316. 1 证明：分别取 AO 、BO 的中点 M 、N,连结 CM 、BN、 MN ,如右图 2 分 名师归纳总结 OAC 、 ODF 是边长分别为1、2 的正三角形,行四边形,MC第 14 页,共 26 页四边形AOMC是平- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四边形 BNMC 是平行四边形,优秀学习资料欢迎下载6 分 BC MN. 又平面 OEF,平面 OEF, BC 平面 OEF.8 分 2 取 OD 中点 H,连结 FH、EH, ODE、 ODF 是边长为 2 的正三角形, FHOD ,EHOD ,EHFH3.10 分 平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, FH平面 ODE. FHEH, EH6.11 分 设 O 到平面 DEF 的距离为 x,就1 3xS DEF1 3·FH· S ODE ,12 分 x ·1 2×6×42 6 23×4× 2 3 2. 解得 x25 15,所以 O 到平面 DEF 的距离为2 155 .14 分 17. 解： 1 以直线 L 为 x 轴,以点 C 为坐标原点建立直角坐标系,就 A0,2a ,B0 ,a,设 Mx ,y,2 分 依题意有：AM 2vBM v, AM 2BM , x2y2a24x2ya2 ,化简得 x2 y2a22a 32.5 分 G 0,2a 3为圆心、 2a 3为半径的圆及其内部7 分 3所以,狼捕捉到兔子的区域是以点2 如右图,设过 A 与 BC 成 15°角的射线与圆 G 交于点 E、F,作 BH EF,垂足为 H,9 分 就狼捕捉兔子的最短距离BH ABsin15° 62a,10 分 43 如右图,过A 作圆 G 的切线 AT,T 为切点设直线 AT 的方程为 ykx 2a,12 分 就圆心 G 到直线 AT 的距离 d02 3a2a2 3a,14 分 1k2解得 k ± 3. 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以,兔子要想逃命,角 应大于 30°.15 分 18. 1 解：圆 C： x12y2222, 点 A 在圆 C 内, 圆 P 与圆 C 相内切, APPC2 2>2.3 分 由椭圆的定义知：点 P 的轨迹 E 是以 A 1,0,C1,0 为焦点的椭圆,2所以,轨迹 E 的方程为x 2y 21.5 分 22 证明：点 Q 在曲线 E 上,m2n 21 即 2n 22m 2,6 分 mx2ny 10 2由 x2y 221 m2n 2 x 22mx2 2n 20,即 x 22mxm 20.9 分 4m2 4m2 0, 直线 l 与曲线 E 有唯独公共点10 分mx 2ny203 解：x 2y 22x 70 m 24n 2x 24m2n 2x 28n 2 40,12 分 2设 Ex 1,y 1,Fx 2, y2,就 x 1 x24 m2n m 2 4n 2 4 m1 m2,y 1y2 4m x1 x2 2n4n m2. CM CA AM CA AE AF 2OA AE AF OE OF x 1x 2,y1y 2, |CM|x 1x2 2 y1y2 24 m1m2 2m 2 4n 216 m1 28 2m2 22 2,m2所以点 M 在圆 C 上 15 分 19. 证明： 1 令 mn1 得, SnSn1q n1S1n>1 ,2 分 ana1q n1,an1 an q,4 分 数列 a n 是等比数列 6 分 2 正整数 m,k,h 成等差数列, mh2k.7 分 当 q1 时, Snna1,名师归纳总结 此时,1 Sm 1 Sh 1 m1a1mh mh·1 a1mh·2a1 2 ka1 2 Sk；10 分 第 16 页,共 26 页m h当 q>1 时, Sna1 1q 1qn2,要证：1 Sm 1 Sh 2 Sk,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 只要证：q1 m1q1 h1优秀学习资料欢迎下载2 q k1, 12 分 q1 m1q1 h1q mq n2q mhq hq m 1q2qmh2q mh 1q2q k22k2q k1q2 k1,2k2 当 q>1 时,1 Sm 1 Sh 2 Sk； 14 分 同理,当0<q<1 时,1 Sm1 Sh2 Sk. 所以1 Sm 1 Sh 2 Sk.16 分 20. 解： 1 f x72x 2x 122x,2 分 当 x 0,1 2时, fx<0 ,fx 是减函数；当 x1 2,1 时, fx>0 ,fx 是增函数 4 分 f 1 2fx maxf0 ,f1 ,所以 fx 的值域为 4, 36 分 f x max g xmin2 依题意有, 8 分 f x ming xmaxgx 3x 26a3x 2 2a, x0,1 ,a 1, gx<0 , gx 在0,1 上是减函数, 10 分 gx ming1 13a 22a, gx maxg0 2a,13a 22a 31 a2.12 分 2a 4f x max g xmin<13 依题意知：,14 分 g x maxg xmin<133a 22a1<1由12 得2a4<1aa 1名师归纳总结 所以不存在满意条件的实数a.16 分 第 17 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高三数学综合卷参考答案 二 名师归纳总结 1. 1003解析：设原方差为s 2,就 312·s 2, 原标准差 s1003. 第 18 页,共 26 页1002. 充分不必要解析：易知如P 成立,就 Q 成立反之不然3. 34解析：循环运算三次4. 8解析： fx<0 ,