2022年双曲线的定义及其标准方程教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线教案 双曲线的定义及其标准方程教案教学目标 1通过教学, 使同学熟记双曲线的定义及其标准方程,懂得双曲线的定义,双曲线的标准方程的探究推导过程2在与椭圆的类比中获得双曲线的学问,培育同学会合情猜想,进一步提 高分析、归纳、推理的才能3培育同学深厚的学习爱好,独立摸索、勇于探究精神及实事求是的科学 态度教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探究推导过程是本课的重点定义中的“ 差的 肯定值” , a 与 c 的关系的懂得是难点教学过程 师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 同学口述椭圆的两个定义,标准方程,老师利用投影仪把椭圆的定义、标 准方程和图象放出来 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的,但所采纳的方法是不同的定义二是在熟悉上已经把椭圆和方程统一起来,在把握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程这是通过方程去熟悉轨迹曲线定义中设定的常数2a,|F1F2|=2c ,它们之间的变化对椭圆有什么影响？生：当 a=c 时,相应的轨迹是线段F1F2当 ac 时,轨迹不存在这是因为 a、c 的关系违反了三角形中边与边之间的关系师：假如把椭圆定义中的 “ 平面内与两个定点F1、F2 的距离的和”改写为“ 平面内与两个定点 F1、F2的距离的差” ,那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样 的呢？ 师生共同做一个简洁的试验,请同学们把预备好的试验用具拿出来,一起 做试验老师把教具挂在黑板上,同时板书：平面内与两个定点 F1、F2的距离之 差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明 师：做法是：适当选取两定点F1、F2,将拉锁拉开一段,其中一边的端点固名师归纳总结 定在 F1处,在另一边上截取一段AF2 F1F2 ,作为动点 M到两定点 F1和 F2距离之第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载差而后把它固定在 F2处这时将铅笔 粉笔 置于 P处,于是随着拉锁的逐步打 开铅笔就渐渐画出一条曲线；同理可画出另一支如图 2-36 师：通过这个试验,你们发觉了什么？生：所画的曲线不是椭圆,是两条相同的曲线,只是位置不同其缘由都是应用“ 平面内与两个定点的距离之差|MF1|-|MF2| 或|MF2|-|MF1| 是同一常数的条件画图的师：所画出图象与椭圆完全不同,能说出属于哪一类曲线吗？生：属于双曲型曲线师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线我们摸索以下几个问题：1|MF1| 和|MF2| 哪个大？生：不肯定当点 支时, |MF1| |MF2| M在双曲线右支时,有 |MF1| |MF2| ,当点 M在双曲线左师： 2点 M与点 F1、F2距离之差是否就应是 |MF1|-|MF 2| ？生：未必是也可以是 |MF2|-|MF 1| 师：如何表示这两种情形？生：如要同时表示这两种情形,正确的表示是应|MF1|-|MF2| 无论哪种情况总是成立的师： 3点 M与点 F1、F2的距离之差的肯定值与 |F1F2| 的大小关系怎样？形生：由三角形的两边之差小于第三边可知,应是小于 |F1F2| 否就作不出图在上述争论的基础上,引导同学概括出双曲线的定义,老师板书课题名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 同学试表达,老师帮助完成 一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的肯定值是常数2aa 0 且小于 |F1F2|的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点,做焦距,记作 2cc 0 这两个焦点间的距离叫通过同学自己动手画图, 得到了双曲线定义, 同时进一步让同学在试验中观 察定义中两个常数间大小关系对于动点 M的轨迹的影响激发同学探求学问的兴趣,调动同学的求知的希望师生共同归纳：师：由定义知 |MF1|-|MF 几个问题：2|=2a ,|F 1F2|=2c ,并设动点为 M,请大家争论以下1 当 0ac 时,动点 M的轨迹是什么？同学略摸索一下,回答出是双曲线2 当 a=c 时,动点 M的轨迹是什么？分析 如 a=c,也就是 |MF1|-|MF 2|=2a=2c ,如图 2-37 所示：可以看出,动点 M的轨迹是分别以点 F1、F2为端点,方向指向 F1F2外侧的两条射线3 当 ac0 时,动点 M的轨迹是什么？由前面归纳已知动点M的轨迹不存在这是由于a、c 的关系违反了三角形中两边之差小于第三边的性质二、双曲线的标准方程师：现在来争论双曲线的方程 我们可以参照求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程 第一建立直角坐标系, 即以两定点连线为 x 轴,两定点的垂直平分线为 y 轴然后,观看双曲线的特点, 推测双曲线方程的结构与椭圆方程的结构是否有类似之处？ 如图 2-38 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当点 M移动到 x 轴上点 A1、A2时,如何求点 A1、A2的坐标？生：点 A1、A2是关于原点对称的,所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a 所以点 A1和 A2的坐标分别是 -a ,0 和a ,0 师：请同学们对比椭圆的定义及其标准方程推导过程导出双曲线的标准方 程生： 1建立直角坐标系0 2设双曲线上任意一点的坐标为Mx、y ,|F1F2|=2c ,并设 F1-c ,0 ,F2c ,3由两点间距离公式,得4由双曲线定义,得 |MF1|-|MF 2|= ± 2a,即5化简方程两边平方,得化简得：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载两边再平方,整理得c 2-a 2x 2-a 2y 2=a 2c 2-a 2 为使方程简化,更为对称和谐起见 由 2c-2a 0,即 ca,所以 c 2-a 20设 c 2-a 2=b 2b 0 ,代入上式,得b 2x 2-a 2y 2a 2b 2,也就是师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程,它同样具有方程简洁、对称,具有和谐美的特点,便于我们今后争论双曲线的有关性质这一简化的方程称为双曲线的标准方程结合图形再一次懂得方程中ab0 的条件是不行缺少的 b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐,也有实际的几何意义具有c 2=a 2+b 2与椭圆中 a 2=b 2+c 2的不同之处师：与椭圆方程一样, 假如双曲线的焦点在 形式又怎样呢？我们可以从所画的图形上观看,2-39 、图 2-40 y 轴上,这时双曲线的标准方程 对比来看一看相互间的转化 图生：从图形的对称来看,只要交换一下 x 轴、 y 轴的名称,然后逆时针翻转90° 使之 y 轴向上、下, x 轴水平放置即可得到焦点在 y 轴上的双曲线师：从方程上来分析,只要将方程1 的 x、y 互换就可以得到它的方程名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此方程也是双曲线的标准方程师：如何记忆这两个标准方程？生：双曲线的方程右边为 1,左边是两个完全平方项,符号一正一负,为正的项相应的坐标轴为实轴, 焦点在该轴上,且分母为 a 2负项相应的坐标轴为虚轴,且分母为 b 2师：用一句话概括“ 以正负定实虚” 三、举例例 1 已知两点 F1-4 ,0 和 F24 ,0 ,曲线上的点到两个焦点的距离之差为 6,求曲线方程解 由焦点坐标可知 c=4,2a=6,所以 a=3,而 b 2=c 2-a 2=16-9=7所以,所求的双曲线方程为例 2 求满意以下条件的双曲线方程1如 a=4,b=3,焦点在 x 轴上；解 1 由于 a=4,b=3,并且焦点在 x 轴上,所以所求的双曲线方程为2 由题意设双曲线的标准方程为：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所以代入双曲线方程得所以 b 2=16,所以所求的双曲线的标准方程为例 1 和例 2 可由同学自行解答,黑板上板演,并对比检查对错四、小结 师生共同参加完成 1学问方面c双曲线的定义和双曲线的标准方程；方程中的 3 个常数 a、b、c 间的关系：2=a 2+b 2懂得“ 以正负定实虚” 的意义,会确定实轴、虚轴、焦点所在位置,会求双曲线的标准方程2在教学中体会到数学学问的和谐美,几何图形的对称美五、作业：第 89 页习题七 1,2六、课后摸索题2结合图形的演示,试争论|MF1|-|MF2|=2a ,在 2a 趋近于零的过程中双曲线的变化趋势设计说明名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1关于教学目标1 由于双曲线的定义及其标准方程是本章的重点之一,因而作为本节课的 教学目标之一2MM训练方式的基本要求,其课堂教学要师生共同参加每个环节都应给 同学创设一种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会运用教具的演示,增强 了数学教学的直观性,有助于培育同学观看、比较、分析、抽象、归纳及数学语 言的运用才能对全面提高同学素养起着非常重要作用,待此制定了教学目标 2 和 32关于教学重点为实现教学目标, 把充分呈现双曲线的定义及其标准方程的探究、发觉、推 理的思维过程和学问形成过程作为本节课的重点3关于教学方法根据 MM训练方式“ 学习、教学、争论同步和谐原就” 和“ 二主方针” ,在教学中充分发挥老师的主导作用和同学的主体作用运用问题性, 给同学制造一种思维情境,一种动脑、动手、动口的机会,使同学在开放、民主、愉悦和谐的 教学氛围中猎取新学问,提高才能,促进思维进展因此,采纳争论式、启示式的教学方法4关于教学过程1 利用同学已清晰的学问,转换条件提出问题,通过自己动手和联想,为类比地探究双曲线的定义奠定基础,最终推出双曲线的定义2 在双曲线的标准方程的推导过程中,揭示科学试验的规律,奇妙地把学生从旧学问引向新学问, 使学问过渡那么自然, 同学学起来不感到困难 表达数 学发觉的本质,培育同学合情推理才能、规律思维才能、科学思维方式、实事求 是的科学态度及勇于探究的精神3 例题比较简洁,由同学自行解答,同时由同学板演,在解题过程中培育 同学合理地摸索问题, 清晰地表达思想和有条不紊的学习习惯同时随时留意纠正同学在学习过程中的偏差4 以同学为主,老师帮助的方式进行本节课的小结,充分发挥同学的主观 能动性,提高同学分析、概括、综合、抽象才能,留意把同学本节课所学到的新学问纳入同学已有学问体系中, 使同学学习解析几何内容形成一个学问结构,对 同学把握解析几何的学习是大名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页