2022年同济版第四章向量组的线性相关性的教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一节名师精编优秀教案向量组及其线性组合一.教学重点 ：线性表示,向量组等价的充要条件二.教学目标 ：娴熟把握相关定义,定理；三.教学过程 ：1.定义 1： n 个有次序的数1n所组成的数组称为n 维向量说明几个问题：11列向量,T1n行向量；n2n 维向量的全体所组成的集合R nxx x 12x nTx x 1 2x nnR1 维超平面；称为 维向量空间；n3n 维向量的集合xx x 2xnTa x 1a x2a x nb叫n R的4如干个同维数的列向量组成的集合叫列向量组a11a 1n例如 A=1n称为 个 nm 维列向量的全体；am1amn定义 2：给定向量组A:111m,2k 1kmR k 11k mm称为 的一个线性组合；k i称为系数；如bk 1k 2mk mm称b能被1m线性表示；Th1.b 能由A:线性表示R A R 1m, 证明：b能由 A:1m线性表示2k mm就存在k 1k m 使得bk 11k2即 AX=b有解RA=RA,b定义 3：如向量组 A 与 B 能相互表示就称向量组A 与 B 等价；如 B 的每一个向量都可以由A 表示,就称向量组B 能由 A 线性表示；线性表示的系数矩阵名师归纳总结 令A:1mB:1L如 能由 线性表示第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案k 1jbjk 1jij1k2j2kmjm1mj1,2LK m L=k 称为线性表示的系数矩阵k 2j即 B=AK 由此可得名师归纳总结 Th2.B:1L能由A:1m线性表示RA=RA,BR A B证明： 能由 线性表示就存在K使B=AK即AX=B有解 , 由P 78,Th 7 可得R A 推论：A B 等价R A R B R A B1111例1 设11,22,31,b021433 线性表示2301证明：向量 b能由1,2,3 线性表示,并求出表达式；分析：只要证 A=1,2,3与B , 的秩相等即可；11111032证明：B1210r0121R A R Bb能由1,2,2143000023010000323 c2xc212c1,c可取任意值；10c从而得表示式 b=1,2,3x 3 c212c12c313213例 211,21,b10,b 21,b 3111102第 2 页,共 12 页13120证明：向量组1,2和b 1,b b 3 等价；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1名师精编优秀教案132133213证明： A,B=11011r02111RB=211102000001312000000可见R A 2,R A B . 22, 又RBRA,B=2,简单看出矩阵B 中有不等于 的 子阶故 RB线性表示,就 R1L因此R A R B R A BTh 3. 设向量组B:1L能由A:1mR 1m说明几个问题1. 向量组B bb2b L能由向量组A:12m线性表示有矩阵 K, 使B=AK有解；2.以上的各定理之间的对应是向量组与矩阵的对应；例3 设n维的向量组 A: 1 2 m 构成的 n m的矩阵 A= 1 2 m ,n 阶单位矩阵 E= ee 2 e n 的列向量叫做 n 维单位坐标向量；证明： 维单位坐标向量组 e e 1 2 e n 能由向量组 A 线性表示 R A n .证明：由定理 2 向量组 ee 2 e 能由向量组 A 线性表示的 RA=RA,E 而 RA,E RE=n. 又矩阵 A,E 含 n 行,知 RA,E n,合起来有RA,E=n, 因此 RA=RA,E 就有 RA=n. 说明几个问题1. 本例用方程的语言可表达为 A n m X E n 有解 RA=n.2. 本例用矩阵的语言可表达为,对矩阵 A n m,存在矩阵 Q n m ,使AQ=E m R A m对矩阵 A n m,存在矩阵 P n m , 使PA=En R A n3. 当 m n 时, P,Q就是 A的逆矩阵,上述结论可看作是逆矩阵概念的推广；5.本课小结：本节课的定义定理较多,要求同学们娴熟把握并学会应用6.作业： 108, 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案其次节 向量组的线性相关性一.教学重点 ：线性相关的定义,性判定向量组的线性相关性；二.教学目标 ：用矩阵的语言说明线性相关性,懂得线性表示与线性相关的联系和区分,能够判定向量组的线性相关性TH5 1 如向量组 A: 1 2 m 线性相关,就 B: 1 2 m m 1也线性相关,反之,如 B 无关,就 A 也无关；2）m 个 维的向量组成的向量组,当维数 n 小于向量个数 m 时肯定线性相关,特殊地n+1个n维的向量肯定线性相关；3）设向量组 A:12m线性无关；而向量组 B:12mb 线性相关,就向量 b必能由向量组 A线性表示；且表示式是唯独的；证明：略例4. 设向量组 1 2 3 线性相关 , 向量组 4 2 3 线性无关证明： 1）1 能由 2 3 线性表示； 2）4 不能由 1 2 3 线性表示 .证明： 1）4 2 3 线性无关 2 3 线性无关 1 2 3 线性相关由 Th 5 1 能由 2 3 线性表示 .2 假设 4 能由 1 2 3 线性表示 . 又 1 能由 2 3 线性表示就 4 能由 2 3 线性表示,4 2 3 线性相关；冲突；5.课堂小节用矩阵的语言说明线性相关性,懂得线性表示与线性相关的联系和区分,能够判定向量组的线性相关性第三节 向量组的秩一.教学重点 ：极大无关组的定义和它的等价定义,向量组的秩,矩阵的秩；二.教学目标 ：会求矩阵的秩和列（行）向量组的一个极大无关组；1. 定义：设在向量组A中,选取 r 个向量1A 0r. 满意1）A 0:1r线性无关；为 的一个最大无关组；A2）向量组A 中任意 r+1 个向量线性相关,称说明几个问题名师归纳总结 1）向量组 A 的秩,就是最大无关组所含向量的个数即RA=r第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案2最大无关组不是唯独的102102A 0线性表示例124011R123215700012,23,13A 中的任意向量都可由3 定义中的第2 条等价于从而得最大无关组的等价定义；2. 等价定义：设在向量组A中选取 r 个向量1r,满意n 就它们可以构成1）A 0:1r线性无关2） 中的任意向量都可由 A1r线性表示称A 0为 的极大无关组；A3.向量组的秩,矩阵的秩如A中向量的个数是有限个1矩阵（1n）很简单得到；Th6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩（行也一样）；例1. 全体 n维向量构成的向量组记为n n nR 求R 的一个极大无关组及 R的秩；解： E:e1e n线性无关的,由n Th 52 知R 中的任意n1 个向量都线性相关,由定义 ,e 1n e n 即是 R 的一个极大无关组秩为 n例 2. 设齐次线性方程组x12x2x 32x 402x 13 x2x40的全体解向量构成的向量组为s, 求R sx 1x25x37x4012121034x 13x 34x 44解：A23010123x 22x 33 x11570000令 x 3c x 4c 2x 134得通解x 2c 12c 23即x=c 11c22x 310知s= x x=c 1 1x 401c22,c c2R而1,2不成比例线性无关由等价定义R s2说明几个问题1 R sn n 是自由未知量的个数）2）自由未知量的个数 = R s未知量的个数 -RA名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案3.向量组的秩和矩阵的秩由 Th 6 可以把上一节的 Th 1 Th 4 推广过来 p Th 85 2 与p 93 Th 2 ' 等价例10 B能由 A线性表示,且 R A R B , 证明 与 等价；证明：B 能由 线性表示 R A R（A B , 而R A R B,所以 R A R B R（A B R c , 从而 A B 等价；2-1-1 1 21 1 2 1 4例 11 设矩阵 A= 求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组,4 6 2 2 43 6 9 7 9并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组表示；名师归纳总结 解： A11-214R A3 方法：取三个非零行的非零首元所在列124011100001300000（12111243124线性无关；R 14）0 011010003k 12 k 1k2k 4k 41k 111k22k 4412 k 1k2k 42k 1k2k4k 1k2k42k2124k 16 k22k44k 16k222k4093k 16k27 k4413 k 16k27k 49第 6 页,共 12 页2 同理5323431- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案第四节 线性方程组的解结构一.教学重点 ：用向量组线性相关的理论来争论线性方程组的解二.教学目标 ：娴熟把握求齐次,非齐次线性方程组的通解的一般方法和步骤三.1 n 个未知数的齐次线性方程组AX0 有非零解RA<n.rn 有唯独解2n 个未知数的非齐次线性方程组AXb 有解R A R Ab . n 有无限多解2.用线性相关的理论争论线性方程组的解1）齐次的a x n01 设A=a ijXx 1x nT 1AX02a 11x 1a x 2a x 1 1a x 2a x n011名师归纳总结 如x 111 ,x 221x nn1 为 1 的解；x21为 2 的解向量；S, 由性质 1.2第 7 页,共 12 页n 1性质 1. 如 x=1,x2为2的解,就x12也是2的解；证明：AXA 12A1A20性质 2. 如 x=1 为2的解,kR ,就x=k1 也是2的解；证明： Ak1=kA1k00结论：把AX0 的全体解所成的集合记为S,可用 S的极大无关组表示= k11k22kttx这就是2的通解；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案定义 1. 基础解系 齐次线性方程组解集的极大无关组结论：要求通解只需求基础解系（不是唯独的）2）齐次方程组 AX=0基础解系的求法0 1 对 作初等变换化为阶梯形（最好最简形）名师归纳总结 20确定R A 从而确定基础解系中的解向量个数n-RA2nr第 8 页,共 12 页3 确定自由未知量（个数 n-RA ）00 4 每次给一个自由未知量赋值1, 其余为0；Th 7 设m n矩阵 A的秩 RA=r ,就n元齐次线性方程组 AX=0的解集 S的秩, R sx1x2x 3x40例 122x 15x23 x32x 40的基础解系,通解；7x 17x 23x 3x40解：A11111023R A 2,nR A4277542532017777340000x 12x 33x4x31及0对应有x 12及37777x25x 34x4x401x 25477772377x 1即得基础解系15,24x 2c 11c 2277x 310x 401例 13. 设A m nB n l=0, 证明： RA+RBn.证明：记 B=b1,b 2bABA b1,b 2b l0 即Abi0i1,2l从而B 的列向量全是AX=0的解设AX=0的解集 S,就b iS 从而Rb 1,b 2b lR s 即R B R R AR snR AR B n .例14. 证明矩阵 A m n与B L n 的行向量组等价AX0 与BX0 同解；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：明显名师精编优秀教案AX0 与BX0 同解AX=0 即 BX=0AX0 同解TBR A R BRAR A TR B TR A T,BBT A,T B列向量组等价；从而 A,B行向量组等价；结论： AX=0与BX=0可相互推它们同解；T 例15. 证明： RAA R A 证明：设 A为m n的如AX=0A TAXA T00ATA X00AX0 例6P 510如A TAX0X A AX T TAX TAXAXT 0 与AAX0 同解T RAA R A 2.争论非齐次线性方程组a11x1a12x2a1nxnnb1n4它可以写成AX=b5am1x 1xaam2xb2mn向量方程 5 的解就是 4 的解向量,它具有性质 3. 设 x= 1 , x= 2 是 5 的解,就 x= 1 2 是导出组的解（ ）6性质 4. 设 x= 是方程 5 的解, x= 是方程 6 的解,就 x= 是方程（ 5）的解；结论：（ 5）的通解, x= *,其中 是导出组的解,* 是特解；求非齐次线性方程组的步骤1 化增广阵求特解 00 2 求导出组的通解0 3 取和名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x 2名师精编0优秀教案x 3x 4例16求解方程组x 1x 1x 2x 22x 33x411x 33x 421解：1111011012R A R B 2,故方程有解；11113100122112310000021x 1x 2x41令x 2x 40得*12对应的齐次线性方程组x 1x 2xx 420x 32x 41及1x 324220 1,x 110取x 2x 41及0x 302基础解系11,21于是得通解x 1c 11c 211c c 2R210x 210002x 302101x 401205.课堂小节： 6.作业：第五节 向量空间一.教学重点 ：构成向量空间的条件,向量组的一个极大无关组与向量空间的一个基有什么区分,联系？二.教学目标 ：判定集合是否为向量空间,坐标变换；三.教学过程 1.定义 1 设 v 为 n 维向量的集合,假如 封闭,那么 V 就是向量空间；V 非空且对加法及数乘符号语言：1 0V20s tR ,V有stV说明几个问题0 1 零向量存在V,-V,-V20负向量唯独能够作成空间的例子名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例1. 集合 V= X=0,x2x nx 2名师精编优秀教案x nR不能作成空间的例子例2. 集合 V= X AX=0例 3.V= X=x1,x 2xnTx 1xnR ,x1x2x n1111m所生成的向量空间；例 4.V= X=x1,1,x 3xnTx2xnR定义2. LXmR记为由向量组11mm1例5. 设向量组11m与向量组 b 1b s 等价,记L 1Xmm1mRL 2X1R,证明：L 1L2ss1s证明：（略）定义 3. 设向量空间 V及V,如V 1V,称V是V的子空间；定义 4. 设V为向量空间,假如 r 个向量 1 r V,且满意i）1 r 线性无关ii）V中任一向量都可由 1 r 线性表示那么向量 1 r 就是称为向量空间 V 的一个基,r 称为向量空间 V的维数并称 V为r 维向量空间；说明几个问题01 0 维向量空间只含有一个零向量；02 由定义除了零空间外,V都是无限集,基用来生成无限集,而向量组可以是有限的,极大无关组可以生成有限的；0 3V1L1s,那么a:s 的任一极大无关组是 V的一个基；b:V的维数等于向量组 A的秩.名师归纳总结 定义5. V中取定一个基1r,那么 中任一向量X可唯独的表示为第 11 页,共 12 页X11rr,数组称为X在基下的坐标；22114例 6.A=123212,Bb b 20312242验证：123 是R3 的一个基,并求b b 2在这个基下的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：要证123是名师精编优秀教案R 3 的一个基,只需要证其线性无关2 2 1 1 0 0A= 2 1 2 0 1 0 R A 3, 从而 1 2 3 线性无关1 2 2 0 0 1令 b 1 x 1 1 x 2 2 x 3 3 , b 2 y 1 1 y 2 2 y 3 3x 1 y 1-1就 b b 2 1 2 3 x 2 y 2 记B=AK K=BAx 3 y 3242 2 1 1 4 1 0 0 33A B E , BA-12 1 2 0 3 0 1 0 2131 2 2 4 2 0 0 1 1 23b 1 在 1 2 3 基下坐标为 2,2, ,1 b 2 在 1 2 3 基下坐标为 4,1,23 3 3 3定义 6. 设 1 2 n , b b 2 b n 是 R n 中的两个基,存在矩阵 T使b b 2 b n（1 2 n） ,称 T为（1 2 n）到 b b 2 b n 的过渡矩阵；例7. 在R中取定 2个基,31 2 3,b b b 2 3 求用 1 2 3 表示 b b b 2 3 的表示式,并求向量在两个基中坐标之间的关系式；解: 略5.课堂小节：6.作业：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页