2022年人教版八级数学分式知识点及典型例题3.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 分式的学问点及典型例题分析1、分式的定义：例：以下式子中,15y、8a 2b、-9a 、235ab、3a24b2、2-2 、a1 、m5xy1 、x1 、2x21、x2xy623xy、x3y、a1 中分式的个数为（m）（A） 2 （B）3 （C） 4 D 5 练习题：（1）以下式子中,是分式的有2x2 . 2b2；2xxyy2. 2 xx7； x1；5a2；x；523ab2（2）以下式子,哪些是分式？a ；5x234；y3；87x；xxy；1b. 5yx2y42、分式有,无意义,总有意义：（1）使分式有意义：令分母0 按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母 =0 按解方程的方法去求解；留意：（x21 0）x15有意义；例 2：分式2x1中,当x_时,分式没例 1：当 x 时,分式2x有意义例 3：当 x 时,分式x11有意义；例 4：当 x 时,分式x2x1有2意义名师归纳总结 例 5： x, y 满意关系时,分式x xy无意义；）D.x x252Cx2Dx2y例 6：无论 x 取什么数时,总是有意义的分式是（Ax2x1B.x1C.x3x122x32例 7：使分式xx2有意义的 x的取值范畴为（）AxBx第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8：要是分式xx23 没有意义,就 x 的值为（）A. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.3 1 x同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子 =0 且分母 0,留意：当分子等于 使分母 =0 了,那么要舍去；0 使,看看是否使分母 =0 了,假如例 1：当 x 时,分式12 a 的值为 01例 2：当 x 时,分式x21的ax1值为 0 例 3：假如分式a2的值为为零 ,就 a 的值为 A. 2B.2 C. 2D.以a2上全不对例 4：能使分式x2x2x的值为零的全部 x的值是 （x）B.3 C.-3 x21A x0B x1Cx0或x1Dx0或1x25）A.3 或-3 96的值为 0,就 x 的值为（例 5：要使分式xD 2 例 6：如a10,就 a 是 A.正数B.负数C.零D.任意有理数a4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于AACC0AACBBCBBC0 的整式,分式的值不变；名师归纳总结 例 1：xyaby；6xyzyz；假如5 3a15成立 ,就 a 的取值范畴是 _；a3yz 273 a17例 2：2 ab1bcbca3b3a第 2 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：假如把分式a2b中的 a 和 b 都扩大 10 倍,那么分式的值（）abA、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原先的 20 倍 D、不变012）；例 4：假如把分式10x中的 x,y 都扩大 10 倍,就分式的值（）xy A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原先的110例 5：假如把分式xxyy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍例 6：假如把分式xy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值（）xyA、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍例 7：假如把分式xxyy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小1 倍 2例 8：如把分式x23y的 x、y 同时缩小 12 倍,就分式的值（）xA扩大 12 倍B缩小 12 倍C不变D缩小 6 倍例 9：如 x、y 的值均扩大为原先的2 倍,就以下分式的值保持不变的是（A、3x B、3 x C 22 y、3 x2 D、3x32y2y2y2例 10：依据分式的基本性质,分式aa 可变形为（b）A ab B aab C aab D aaba例 11：不转变分式的值, 使分式的分子、 分母中各项系数都为整数,02.x0.x0 .05例 12：不转变分式的值, 使分子、分母最高次项的系数为正数,11x2= ；xx5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分；其次类：分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去；名师归纳总结 - - - - - - -例 1：以下式子（1）xxy2x1y；（2）baab；（3）ba1；（4）xyxyab2ycaacxyxy中正确选项（）A 、1 个B 、2 个C、 3 个D、 4 个例 2：以下约分正确选项（）A、x6x3；B、xy0；C、xxy1；D、2xy21x2xy2xyx4 x2y2例 3：以下式子正确选项 A2xy0B.ay1C.yzyzD.cadcadcdacd02xyayxxx例 4：以下运算正确选项（）A、aabaab B 、2 x41 C、a2a D、1 2m11x2b2bmm例 5：以下式子正确选项（）Abb2 Bab0 Cab1 D01. a0 .3 ba3 baa2abab0 .2 ab2ab例 6：化简m23 m的结果是（）A、m3B、m3C、m3D、3m9m2mmmm例 7：约分：4 x2y；3x = 9；3xy21；1xx1y3x5y；5362 xyx2xy6y0 .例 8：约分：a2a2444；4 xy；a ab ；xya2 16 xyb ab xy 2axay；2 x2 x16；2 x9142 a bc3_2 x2 y8 x162 x63 21 a bc92 m_5 abb_x2x2699_；m320a2x第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9：分式a2,aab2,124ab,x12中,最简分式有 a232b aA1 个 B2 个 C3 个 D4 个6、分式的乘,除,乘方：分式的乘法：乘法法测：a ·bc = dac . bda n.分式的乘方,b分式的除法：除法法就：a ÷bc = da ·bd = cadbc分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是 是把分子、分母各自乘方 .用式子表示为： a n= bann 为正整数 bn例题：运算：（1）26 x225x4（2）16x3y456x4（3）aa1 aa1156 x39y7125a10100a13a21运算：（4）aba2b2a4（5）x2x225（6）aa2ababa2x5x2424a4a2运算：（7）6x2y234x（8）6ab3 b2（9）xyxyx23xy（ 12 ）y2a计 算 ：（ 10 ）2x25y10y（ 11 ）x2x2191xx33y26x21 x26xx2xa2a214a1a24aa13a23a运算：（13）a1a2a241a11（14）42a62aa22 a24aaa6求值题：（1）已知：x3,求x2x2y2y2xyy2的值；y42 xyx2xy（2）已知：x9yy3 x,求x2y2的值；x2y2（3）已知：113,求2x3xy2y的值；xyx2xyy例题：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运算：（1）2y23（2）2a5= （3）3y323= 3xb2x运算：（4）b2232xza（5）a2yb23ab4yC 1D = 2abaa（6）a2a212a1a1a1的值；Bx2xyxyyzxz的值；求值题：（1）已知：求234x2y2z2（2）已知：25y30求x2xx2102 xy2x 2yxx2例题：运算2 xy 的结果是（）A xx2yx2yy11yxx1的结果是（）A. 1 B. xy C. yD . 例题：化简yxxx y运算：（1）2x348x4x2；（2）x2x22x122x（3）a 21 ·a2a21÷a1x2x2x41x122 a2a27、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；其次类：分母是多项式（要先把分母因式分 解）分为三种类型：“ 二、三” 型；“ 二、四” 型；“ 四、六” 型等三种类型；“ 二、三” 型：指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积；例如：x22xx2最简公分母就是x2 x2；“ 二、四” 型：指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例如：x22x2x4最简公分母就是x24x2x2“ 四、六” 型：指几个分母之间有相同的因式,同时也有特殊的因式,最简公分母要有特殊的；相同的都要有；例如：2xx2x22最简公分母是：2xx2x这些类型自己要在做题过程中认真地去明白和应用,认真的去发觉之间的区分与联系；例 1：分式m1n,m21n2,m2n的最简公分母是（）n2A mn m2n2 Bm2n22 Cmn 2mn Dm2例 2：对分式y,x2,1通分时,最简公分母是（）2x3y4xy）个；A x 2y B 例 3：下面各分式：x21,xy2,x1,x2y2,其中最简分式有（x2xx2yx1x2y2A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例 4：分式a214,2aa4的最简公分母是. 例 5：分式 a 与1 b的最简公分母为 _；例 6：分式x21y2,x21的最简公分母为；xy8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减；1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减；2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了；通分方法：先观看分母是单项式仍是多项式,假如是单项式那就连续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分；假如是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,连续通分；分类：第一类：是分式之间的加减,其次类：是整式与分式的加减；名师归纳总结 例 1：22n= 例 2：2 a23a24= 第 7 页,共 17 页mma21a21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：xyyyxx= 例 4：x2yy2yx2x22xy2= x2y2运算：（1）m43m1（2）aabbba（3）aa22 bb223xxm3b a（4）52 a b232 3 a b2582 a b.ababab2例 5：化简1 x+1 2x+1 3x等于（） A131152x B2x C6x D6x例 6：baca例 7： 2 2 aa4a12例 8：x3x2bc3 例 9：xx3xx6x1例 10：a2aa12a2例 11：a1aa123x2a24a.1例 12：x21x1x练习题：（1）abbb2ab2（2）21xx244x1（3）a129+32a2x2（4）b2ab（5）2xxyyyxa-ba例 13：运算a1aa1的结果是（）A a11B a11C a2aa1D 1例 14：请先化简：x122x4,然后挑选一个使原式有意义而又喜爱的数代入求值.2 x例 15：已知：x24x30求xx2x212x4的值；4x9、分式的混合运算：名师归纳总结 例 1：x2416242xx42x22x例 2：x114x3xx22x1第 8 页,共 17 页xx21x24x3例 3：xxx例 4：2x23x1x2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5：111xxx1例 6：1xyx2x2xyy24y2x2y4例 7x1yxxx1yx2x2y4y2xx4例 8：x1x2xx112xyx2x2x例 9：2xx21224x练习题：10、分式求值问题：例 1：已知 x 为整数,且23+32x+2x18 9为整数,求全部符合条件的x 值的和 . xx2例 2：已知 x2,y1 2,求24x242÷x1yx1y的值 . xy2 y 例 3：已知实数 x 满意 4x 2-4x+l=O,就代数式 2x+1 的值为 _2 x例 4：已知实数 a 满意 a 22a8=0,求a11a3a22 a1 3的值 . aC1D1a21a24a例 5：如x13求x4x221的值是（）A1B1 10xx824例 6：已知1 x13,求代数式2x14xy2y的值yx2xyy1a3a269例 7：先化简,再对 a 取一个合适的数,代入求值a a3a2a24练习题：（1）x2x284x,其中 x=5. （2）a2a28 a16, 其中 a=5 （3）a2a2abb2, 其中x16162aba=-3,b=2 名师归纳总结 （4）a2a214a1；其中 a=85；2（5）xx2x,x2x14xx4,其中 x= -1 224x4 aa23x÷x+2x5（6）先化简,再求值：.其中 x 2.2x4（7）aaba2a2b2aaba2a2b2,1其中a2b3第 9 页,共 17 页2ab3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （8）先化简,11x2x1,再挑选一个你喜爱的数代入求值x11、分式其他类型试题：例 1：观看下面一列有规律的数：2 ,33 ,84 ,155 ,246 ,357 , 48依据其规律可知第个数应是（ n 为正整数）例 2： 观看下面一列分式：1 2, 2x x,4,8,16,.,依据你的发觉,它的第8 项是,x3x4x5第 n 项是；例 3：按图示的程序运算,如开头输入的n 值为 4,就最终输出的结果m是（）输入 n 运算n（ n+1）n>50 Yes 输出结果m No A 10 B 20 C 55 D 50 例 4：当 x=_时,分式51x与210x互为相反数 . 11,依据这个规章 x x1 33例 5：在正数范畴内定义一种运算,其规章为a b ab2的解为（） Ax2Bx1Cx2或 1 Dx2 3或113D.133；例 6：已知xx44 ABxC,就A_,B_,C_2xx2410,B例7： 已知y3y72yA1yB2,就（）1yAA10,B13BA10,B13CA10,B13DA例 8：已知2x3y,求x2xyy22 xy2y2的值；C.1 例 9：设mnmn,就11的值是 A.1B.0 mnmn例 10：请从以下三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式2 4422 422例 11：先填空后运算：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1n11= ；n11n12= ；n12n13= ；n（3 分）（本小题 4 分）运算：n11 n212n21n3 nn20071n2022n1 n解：n11 n111n1 n2nn3 n20072022= 12、化为一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式,并且分母中含未知数的方程分式方程；（2）解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母）,把分式方程转化为整式方程；解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为,这样就产生了增根,因此分式方程肯定要验根；名师归纳总结 - - - - - - -（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简； 2方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程； 3解整式方程； 4验根例 1：假如分式x1的值为 1,就 x 的值是；2x1例 2：要使x51与x42的值相等,就 x=_；例 3：当 m=_时,方程2 mxm1=2 的根为1 2. x例 4：假如方程a213的解是 x5,就 a；x例 5：12x31 2 2x31x1xx3例 6: 解方程：x2x164x2x22x2例 7：已知：关于 x 的方程1xa3x4无解,求 a的值；3x例 8：已知关于 x 的方程xa1的根是正数,求 a 的取值范畴；x2例 9：如分式x12与x2的 2 倍互为相反数, 就所列方程为 _；x3例 10：当 m为何值时间？关于 x 的方程x2m2xx1x1的解为负数？xx2例 11：解关于 x 的方程bax2xaba0例 12：解关于 x 的方程 :x1x1a22a2a0ababb第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 13：当 a 为何值时 , x1x2x2xa1 的解是负数 . x2x12x例 14：先化简 ,再求值 :xx2 xy22x22,其中 x,y 满意方程组x2y3x15Xy 2xyxyxy2例 15 知关于 x 的方程x x1xmx1 的解为负值,求m的取值范畴；2x1x2 练习题： 1 x14x2416 2x31xx20 311213Xx1X4xx5x2 55x42x51 6x11x11x62x43x62237 x1231x 8）x1332xx129（9）2x32112x213、分式方程的增根问题：（1）增根应满意两个条件：一是其值应使最简公分母为 方程的根；0,二是其值应是去分母后所的整式（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母,假如最简公分母的值不为 0,就整式方程的解是原分式方程的解；否就,这个解不是原分式方程的解；例 1：分式方程xx3+1=xm3有增根,就 m= 1 例 2：当 k 的值等于时,关于 x 的方程xk324x不会产生增根；x32mx3例 3：如解关于 x 的分式方程x2x24x2会产生增根,求m的值；例 4： m 取时,方程xx32xm3会产生增根；例 5：如关于 x 的分式方程xx32m23无解,就 m的值为 _；x例 6：当 k 取什么值时？分式方程xx1xk1xx10有增根 . 例 7：如方程x1xm4有增根,就 m的值是（）A4 B3 C-3 Dx4例 8：如方程x32a42有增根,就增根可能为（）xx xA、0 B、2 C、0 或 2 D、1 14、分式的求值问题：名师归纳总结 例 1：已知a1,分式abb的值为；第 12 页,共 17 页b32 a5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：如 ab=1,就a11的值为；1b1例 3：已知a11_ ；3,那么a2aa2例 4：已知 1 1 3,就 5 x xy 5 y 的值为（）A 7 B 7 C 2 D 2x y x xy y 2 2 7 72例 5：已知 2 x 3 y,求 2 xy2 2 y2 的值；x y x y2 2例 6：假如 a =2,就 a2 ab2 b = b a b例 7：已知 a 与 b 的和等于 2 4 x,就 a= , b = ；x 2 x 2 x 4例 8：如 xy x y 0,就分式 1 1（）A、1 B、y x C 、1 D 、 1 y x xy例 9：有一道题“ 先化简,再求值：（x 22 4 x）2 1,其中 x 3；” 小玲做题时把x 2 x 4 x 4“x 3” 错抄成了“x 3” ,但她的运算结果也是正确的,请你说明这是怎么回事？2例 10：有这样一道数学题 : “ 己知 :a=2005, 求代数式 a1+ 1 a 1 的值”, 王东在运算时a a 1错把“a=2005”
