2022年复数代数形式的加减运算及其几何意义.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载教学目标新授课 :3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义重点 : 复数代数形式的加法、减法的运算法就难点 : 复数加法、减法的几何意义 . 学问点 : 1. 把握复数代数形式的加、减运算法就 ; 2 . 懂得复数代数形式的加、减运算的几何意义 . 才能点 : 培育同学渗透转化、数形结合的数学思想方法, 提高同学分析问题、解决问题以及运算的才能训练点 : 通过探究学习 , 培育同学互助合作的学习习惯 , 培育同学对数学探究和渴求的思想 . 在把握学问的同时 , 形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神 . 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题 . 考试点：会运算复数的和与差 ; 能用复数加、减法的几何意义解决简洁问题 . 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用 . 拓展点：复数与其他学问的综合 . 一、 引入新课复习引入1. 虚数单位 i ：它的平方等于1, 即2i1;RC . 2 . 对于复数zab ia bR：Q当且仅当b0时 , z 是实数a; 当b0时, z 为虚数 ; 当a0且b0时, z 为纯虚数 ; 当且仅当ab0时, z 就是实数 0 . 3.复数集与其它数集之间的关系：NZ4 .复数几何意义：复数zab ia bR一一对应复平面内的点Za b复数zab ia bR一一对应复平面内的向量OZ=a b我们把实数系扩充到了复数系, 那么复数之间是否存在运算呢.答案是确定的, 这节课我们就来讨论复数的加减运算 . 【设计意图】 通过复习回忆复数概念、几何意义等相关学问, 使同学对这一学问结构有个清醒的初步认知,逐步过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境, 为探究本节课的新学问作铺垫. 二、探究新知名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载探究一 : 复数的加法1. 复数的加法法就我们规定 , 复数的加法法就如下: R 是任意两个复数, 那么：设z 1ab ,z 2cd a b c dcdiz 1z 2abid i ac b提出问题： 1 两个复数的和是个什么数 , 它的值唯独确定吗 . 2 当 b =0, d 0 时,与实数加法法就一样吗 . 3 它的实质是什么 .类似于实数的哪种运算方法 . 同学明确 : 1 仍旧是个复数 , 且是一个确定的复数 ; 2 一样 ; 3 实质是实部与实部相加 , 虚部与虚部相加, 类似于实数运算中的合并同类项【设计意图】加深对复数加法法就的懂得, 且与实数类比 , 明白规定的合理性: 将实数的运算通性、通法扩充到复数 , 有利于培育同学的学习爱好和创新精神2 . 复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律, 复数的加法满意这些运算律吗. , 同学先独立摸索, 然对任意的z z 2,z 3C , 有z 1z 2z 2z（交换律） , z 1z 2z 3z 1z 2z 3（结合律） . 【设计意图】引导同学依据实数加法满意的运算律, 大胆尝试推导复数加法的运算律后小组沟通 . 提高同学的建构才能及主动发觉问题, 探究问题的才能3. 复数加法的几何意义复数与复平面内的向量有一一对应关系 , 那么请同学们猜想一下 , 复数的加法也有这种对应关系吗 . 设 OZ OZ分别与复数 a b c d 对应 , 就有 OZ 1 , , a b OZ 2 , c d , 由平面对量的坐标运算有OZ 1 OZ 2 a c b d . 这说明两个向量 OZ 1 与 OZ 2 的和就是与复数 a c + b d i 对应的向量 . 因此 , 复数的加法可以依据向量加法的平行四边形法就来进行 . 这就是复数加法的几何意义 . 如下列图：y Z 2 , c d ZZ 1 , 名师归纳总结 Ox第 2 页,共 8 页由图可以看出, 以OZ 、OZ 为邻边画平行四边形OZ ZZ , 其对角线OZ 所表示的向量OZ 就是复数 ac +bdi对应的向量 . 【设计意图】 通过向量的学问, 让同学体会从数形结合的角度来熟悉复数的加减法法就, 训练同学的形象思- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载维才能 , 也培育了同学的数形结合思想 . 另外 , 当两复数的对应向量共线时 , 可直接运算 ; 当不共线时 , 可类比向量加法的平行四边形 , 也培育了同学的类比思想 . 探究二 : 复数的减法类比复数的加法法就, 你能试着推导复数减法法就吗. ab i. 依据复数相等的定义, 有1. 复数的减法法就我们规定 , 复数的减法是加法的逆运算, 即把满意 cd ixy i的复数xy 叫做复数ab 减去cd 的差 , 记作 ab icd icxa dyb, 因此xac ybd , 所以xy i ac bdi, 即 a b i c d i a c b d i . 这就是复数的减法法就 , 所以两个复数的差是一个确定的复数 . 【设计意图】 复数的减法运算法就是通过转化为加法运算而得到的 , 渗透了转化的数学思想方法 , 是同学体会数学思想的素材 . 让同学自己动手推导减法法就 , 有利于培育同学的创新才能和互助合作的学习习惯 . 考查同学的类比思想 , 提高同学主动发觉问题 , 探究问题的才能2 . 复数减法的几何意义设OZ OZ分别与复数ab cd对应 , 就这两个复数的差z 1z 2与向量OZ1OZ2（即Z Z）对应 ,这就是复数减法的几何意义. 如下列图 . yZ1Z2O x【设计意图】两个复数的差 z 1z 2（即 OZ 1OZ 2）与连接两个终点 Z , Z , 且指向被减数的向量对应 , 这与平面对量的几何说明是一样的 ; 它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能 , 也使数和形得到了有机的结合 留意 ：只有将差向量平移至以原点为起点时 , 其终点才能对应当复数 . 三、懂得新知名师归纳总结 1. 复数的加减法法就: R 是任意两个复数, 规定：第 3 页,共 8 页d a b c d设z 1ab ,z 2c; z 1z 2ac bdi.z 1z 2ac bdi- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 . 复数加、减法的几何意义：1复数的加法依据向量加法的平行四边形法就 ; 2 复数的减法依据向量减法的三角形法就 . 3. 几点说明 : 1 复数的加 减法法就规定的合理性 : 它既与实数运算法就 , 运算律相同 , 又与向量完善地结合起来 ; 2 复数的加 减 法实质是 : 复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减 ; 3 多个复数相加减 : 可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减 4 复平面内的两点间距离公式 : d z 1z 2 . 其中 z z 是复平面内的两点 Z 和 Z 所对应的复数 , d 为点 Z 和点 Z 间的距离 . 即两个复数差的模的几何意义是 : 两个复数所对应的两个点之间的距离【设计意图】 加深对复数加 减 法法就的懂得 , 从不同的角度总结 , 既学到学问 , 又学到了数学方法 , 使学问更加系统化 , 同学的思维将上升到一个更高的层面 , 为精确地运用新知 , 作必要的铺垫 . 培育同学的归纳概括才能 , 使同学对所学的学问有一个整体的熟悉 , 解决问题时可以信手拈来 . 四、运用新知例 1. 运算：1 2 3i 5 i ; 2 1 2i 1 2i; 3 2 3i 5 2i ; 4 5 6i 2 i 3 4i ; 解: 1 2 3i 5 i 2 5 3 1i 3 2i ; 2 1 2i 1 2i 1 1 2 2i 0 ; 3 2 3i 5 2i 2 5 3 2i 3 5i ; 4 5 6i 2 i 3 4i 5 2 3 6 1 4i 11i. 【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法就进行 ,就是将它们的实部、虚部分别相加、减 ,实数范畴的运算律在复数范畴内仍旧成立 .变式训练 : 运算 12i 23i34i 455i19992000i 200042001i. 20002001i解：（解法一）原式1 234619992000 23561000 1000i . （解法二） 12i 23i1i ; 34i 45i1i ; 19992000i 20002001i1i . 将上列 1000个式子累加 , 得1000 1i10001000i . 【设计意图】 复数的加减法 , 相当于多项式加减中的合并同类项的过程; 假如依据给出复数求和的特点从局名师归纳总结 部入手 , 抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点, 适当地进行组合, 从而可简化运算. 进一步巩固第 4 页,共 8 页复数加减运算 , 并带有肯定的规律性. OZ , 例 2 . 1设OZ OZ分别与复数z 153i,z 214i对应 , 运算z 1z , 并在复平面内作出OZ 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：2 设OZ OZ分别与复数z 113i,z 2学习必备欢迎下载z 1+ z 2, 并在复平面内作出OZ1OZ . 2i对应 , 运算yyZZ2 Z 1Z1Z 2OxOZ Z .OZ1xZ Z , 而图14图 2OZ就是表示向量1z 1z 2=5+3i14i5134ii. （如图 1所示） ; 2z z 213i2i1231i34i. （如图 2 所示） . 【设计意图】由复数的几何意义知,复数1z ,2z 所对应的的点分别为OZ 1OZ可利用平行四边形法就作出. 变式训练 : 名师归纳总结 已知复数z 1a23a5i,z 2a1a22a1iaR 分别对应向量OZ OZ（ O 为坐标原点） , 如向第 5 页,共 8 页量Z Z对应的复数为纯虚数, 求 a 的值 . 答案：a1. 例 3. 已知关于 x 的方程：x26ix9ai0aR有实数根 b . 1求实数a b 的值 ; 2 如复数 z 满意zab i2z0, 求 z 的最小值解： 1 由题意 , 得b26ib9ai0, 即b26 b9abi0. 由复数相等的定义得b26 b090, 解得ab3. ab2 设zxy x yR , 由zab i2z0, 得 x3y3i2z , 即x32y324xy2, 整理得x2 1y2 18, 即复数 z 在复平面内所对应的点Z , x y 的轨迹是以 C1,1为圆心 , 半径长为 2 2 的圆 . 又 z 的几何意义是Z , x y 与原点 O0,0 的距离 , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 , 由平面几何学问知,zminCACO学习必备欢迎下载2. 2 22【设计意图】 在问题 1中由复数相等的概念, 列方程组求出两个参数值, 把复数问题实数化, 既复习了概念 ,又锤炼了同学的运算才能和解决问题的才能; 在问题 2 中由zx02y02, 把 z 转化为复,数 z 所对应的点与原点的距离, 解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形, 在图形中寻求答案把数转化成形 , 利用数形结合思想解决即可变式训练 : 复数 z 的模为 1, 求 z 1 i 的最大值和最小值 . 答案 : 2+1, 2 1 . 【设计意图】 通过变式训练 , 便于同学全面的熟悉利用复数差的模的几何意义解决问题 , 提高同学懂得、运用学问的才能 . 五、课堂小结 一 学问 : 1. 复数代数形式的加法、减法的运算法就 ; 2 . 复数加法、减法的几何意义 . 3. 几点说明 : 1 复数的加 减法法就规定的合理性 : 它既与实数运算法就 , 运算律相同 , 又与向量完善地结合起来 ; 2 复数的加 减 法实质是 : 复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减 ; 3 多个复数相加减 : 可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减 4 复平面内的两点间距离公式 : d z 1z 2 . 其中 z z 是复平面内的两点 Z 和 Z 所对应的复数 , d 为点 Z 和点 Z 间的距离 . 即两个复数差的模的几何意义是 : 两个复数所对应的两个点之间的距离 二 思想方法 : 类比的思想、转化的思想、数形结合的思想【设计意图】 通过课堂小结 , 增强同学对复数代数形式的加法、减法的运算法就及几何意义的懂得 , 准时查缺补漏 , 从而更好地运用学问 , 解题要有目的性 , 加强对数学学问、思想方法的熟悉与自觉运用深化对知识的懂得 , 完善熟悉结构 , 领会思想方法 , 强化情感体验 , 提高熟悉才能 . 引导同学自我反馈、自我总结 , 并对所学学问进行提炼升华 , 使学问系统化 . 让同学学会学习 , 学会内化学问的方法与体会 , 促进学习目标的完成. 六、布置作业名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载必做题：1. 运算： 12 4i 3 4i ; 2 3 4 i 2 i 12 . 复数 6+5i 与 3+4i 对应的向量分别是 OA 与 OB , 其中 O 是原点 , 求向量 AB , BA 对应的复数 , 并指出其对应的复数位于第几象限 . 3. 复平面上三点 A B C 分别对应复数 1,2i,5 2i , 就由 A B C 所构成的三角形ABC是 三角形 .4 . 求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离5. 已知复数 z 满意 z + z 2 8i , 求复数 z. 6 . 已知平行四边形 OABC的三个顶点 O A C对应的复数分别为 0,3 2i, 2 4i , 试求 :1 AO 表示的复数 ; 2 CA 表示的复数 ; 3 B 点对应的复数 . 答案 : 1. 15; 2 2 2i . 2 . 9 i , 位于第三象限 ; 9 i , 位于第一象限 . 3. 直角三角形 . 4 . 5 . 5. z 15 8i .6 . 1 3 2i ; 2 5 2i ; 3 1 6 i选做题：1. 在复平面内 , 求满意方程2z+izi24的复数 z 所对应的点的轨迹2 . 复数z ,z 满意z 1z1,z +z2 , 求z 1z2.答案：1. 提示 : 方程可以变形为zizi4 |, 表示到两个定点0,1 和 0,1 距离之和等于 4 的点的轨迹 , 故满意方程的动点轨迹是椭圆2 . 提示 : 法一 : 数形结合思想 , 构造边长为 1的正方形 , 就其中一条对角线的长度为 2 , 就所求的另一条对角线的长度也等于 2 . 2法二 : 向量法 设 z ,z 所对应的向量分别是 a , b , 将 z +z 2 2 两边平方得 a b 0 , 就 z 1 z 2 ,所以 z 1 z 2 2 . 【设计意图】 设计必做题是引导同学先复习 , 再作业 , 培育同学良好的学习习惯 , 是让同学会用复数代数形式的加法、减法的运算法就进行运算 ; 设计选做题意在培育同学深刻懂得复数差的模的几何意义 , 增加问题的多样性、 趣味性 , 训练同学思维的发散性、深刻性 . 让同学懂得学问之间的联系 , 培育同学用整体的观点看问题 , 起到巩固旧知的作用七、教后反思名师归纳总结 1. 本教案的亮点是: 第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（）本节中由于复数的加法法就是规定的 , 从问题入手 , 引导同学摸索 , 让同学懂得这种规定的合理性在复数加法的运算律及几何意义的处理上 , 都是让同学自主探究 , 使同学在参加中学会学习 , 学会合作 , 突出体现以同学为主 , 老师为辅的新课程理念 2 对于复数减法的处理, 采纳了类比的数学思想方法, 让同学自主探究, 自己总结 , 且法就可以用已学的学问推导 , 使同学体会其中的思想方法, 培育同学的创新才能和运用数学思想方法解决问题的才能 3 例题和练习的设计遵循由浅入深, 循序渐进的原就, 低起点 , 多落点 , 高终点 , 尽可能地照料到各个层次的同学2 . 本节课的弱项是: 复数的几何意义的例题没能表达同学的动手才能. 八、板书设计一、复习引入二、探究新知3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 例 2变式训练例 3 三、懂得新知变式训练四、运用新知名师归纳总结 例 1五、课堂小结第 8 页,共 8 页变式训练六、作业- - - - - - -