2022年大纲版高二数学下不等式的解法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - * § 6 ·4 不等式的解法 * 磨法石 核心学问归纳：（1）一元一次不等式的解法：一元一次不等式axb 的解集情形是：当 a0 时,解集为； x| xb2+bx+c =0 的两实根,且a当 a0 时,解集为 x| xb aa 0,x1,x2 是方程 ax （2）一元二次不等式的解法：设x1x2,一元二次不等式的解集如下表所示：类型ax2+bx+c 0 ax2+bx+c 0 ax2+bx+c 0 ax 2+bx+c 0 解集a0 a0 a 0 a0 0 x| x x1 或 xx2 x| xx1或 xx2 x| x1xx2 x| x1xx2 =0 x| x -b,xR R x| x=-b 2 a2 a 0 R R （3）简洁的一元高次不等式的解法：一元高次不等式f x 0 用根轴法 （或称区间法、穿根法）求解,其步骤是：将 f x的最高次项的系数化为正数；将 f x分解成如干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线；依据曲线显现出的 f x值的符号变化规律,写出不等式的解集；（4）分式不等式：fx 0f x· g x0 0gx fx 0fxgxgx 0gx （5）含肯定值的不等式：| f x|aa0- a f xa | f x|aa0 f xa 或 f x - a找捷径 难点疑点突破：1二次不等式ax2+bx+c 0 与 ax2+bx+c 0 的解集规律, 需留意都是以a0 为前提的；名师归纳总结 例 1：如不等式ax2- 2x+ 3=0 的解集为 x|- 3x1 ,求 ax 2+2x- 30 的解集；第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由已知可得：x1=- 3, x2=1 是 ax2- 2x+ 3=0 的两根, - 3× 1=3a=- 1 a就 ax2+2x- 30- x 2+2x-30x2- 2x+ 30 解集为 x| x3 或 x- 1 点评 ：如 x 2 的系数为负数时,必需转化为正数,才能使用二次不等式解集结论；2解高次不等式时,怎样处理 x- a k符号问题；50 例 2：解不等式 x- 1x+ 2x- 3 4 x+ 4x- 5 解： x- 3 40,x- 5 5与x- 5同号,原不等式可化为：x1 x2 x4 x5 0- 4 - 2 135k 0；x3由根轴法可得不等式的解集为 x| x- 4 或- 2x1 或 x=3 或 x5 点评 ：对 x- a k 的处理,可对如 k=2n+1,x- a k 与x- a同号；k 为奇数与k 为偶数进行争论,如k=2n,就 x-a3解分式不等式时,不能任凭去分母；例 3：解不等式x2x121 x28x12 0,7x解：移项,得x2x12-10,通分,得7xx27x12即x28x120,亦即x2 x60,x27x123 4 6 x3 x4x2x6的符号如下列图：2 x3 x4 原不等式的解集是 x|2x3 或 4x6 2- 8x+120,错解 ：将原不等式去分母得,x x 2- 7x+ 12,x解得： 2x6 点评 ：错解中实际上是添加了一个条件 金钥匙 解题方法技巧：例 1：解不等式 1+x1- |x|0 解法 1：原不等式等价于下面不等式组x 2- 7x+ 120,从而丢失了部分解；x0x10或x020解题规律 ：x1 x1 解含肯定值的不等式,第一应考虑去0x1,或 x0 且 x - 1 原不等式的解为 x| x1 且 x - 1 肯定值,而争论去肯定值是一种最常用、最基本的方法,留意最终解集应合并；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2：原不等式等价于 1+x1- |x|1+|x|0 1+x1- x 20 x+1 2x- 1 0 原不等式的解为 x| x1 且 x - 1 解题规律 ：利用 |x| 2=x 2 来去肯定值也是一种解肯定 值不等式的有效方法,如 x 2- 2|x|- 30：亦可 将其转化为 |x| 2- 2|x|- 30 来解,这里的退是 为了进；例 2：解不等式x23x2x25x2x25x6x23x6分析：不等式左右两边互为倒数,辅以换元法求解；名师归纳总结 解答：令t=x23x2原不等式可化为：t1第 3 页,共 11 页x25x6t即t2t10,t+1t- 10, t1 或- 1t0 解题规律 ：一般地,分式不等式可转原不等式同解于x23x21 化为整式不等式来解,式子较为复杂的可考虑变量代换,但x25x6不管怎样转化都应当是同解变或- 1x23x2 0 形；x25x6由知x22x86 0,即 x+1x+4 x- 60, - 4x- 1 5x由知x1 x1 x2 xx606x60x1 x262x1x1 ,或26xx626,或x6, 2-6 x1 或 2x2+6,1或2故原不等式的解集为- 4, - 12-6 ,12,2+6 6,+ 例 3：设关于 x 的不等式xk2 x23kR,k 0,k（1）如此不等式的解集为3,+,求 k 值；（2）如 x=3 属于此不等式的解集,求k 的取值范畴；解：原不等式化为k- 1 xk2- 2k-3 ,当 k1 时, xk2k2k3；当 k1 时, xk2k2 k3；当 k =1 时, xR；11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）解集为 3,+时,k212k33解题规律 ：kk对于含有参数的不等式的要找准讨1论分值点,一般地是从比较两数大小开k=5 始来确定参数的分类情形,留意最终解（2） x=3 为解集中一个元素时,x=3 满意,集仍是分类写出,不能全合并；代入得 3k- 1k 2-2k- 3 解之得 0 k5 例 4：已知关于 x 的不等式 ax 2+bx+c 0 的解集是 x|x1 或 x1 ,求关于 x 的不等式3 2ax 2- bx+c0 的解集；解：考虑二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象,可知不等式 ax 2+bx+c 0 的解集是 x|x1 或 x13 2的等价条件是 a 0,且 x1= 1 ,x2= 1 是方程 ax 2+bx+c =0 的两根；3 2ab =-5 ,6 a c= 16 解题规律 ：已知一元二次不等式的解集,求另一个一元二次又 a0,不等式 ax 2- bx+c 0 不等式的解集可利用与二次函数、一元二次方程的关同解于 x 2-ax+ c 0 系,找到该一元二次不等式同解的不等式,对于二次不等式的解的端点值是相应二次方程的两根,一般地b a解之得 -1 x-2 13 含参数的二次不等式,常常用到韦达定理来分析根与系数的关系；不等式 ax 2- bx+c0 的解集是 x|-1 x -1 2 3点金术 思维拓展发散：例 1：解不等式 2+log1 5x +log 210； 3 x-3-x80x92解法 1：原不等式等价于log 2 5x +log2x 2 5x x4思维互动 ：生：这是一个对数不等式,如何脱去对数符号？师：我们只能利用函数单调性来分析（如：0x5x25x40x00x5log1xlog1x2x20）转化为不等式组；x1 或x422x2x0x50x1 或 4x5,故不等式的解集为 x|0x1 或 4x5 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2：原不等式等价于5x105x 0x1 或x4x0x 0x5log142所以原不等式的解集为 x|0x1 x|4x5 方法规律：对于指数不等式、对数不等式,一般地是先化同底,再利用函数的单调性将不等式化为最基本的一元一次或一元二次不等式求解,但其中特殊要留意是在定义域内求 解；解：设t=3x 0,3-x=1 ,原不等式可化为 tt-1t80 , 9t 92- 80t- 90 t-1 或 t9,即 3 9x-1 或 3 9x9, x或 x2,故不等式的解集是x| x2 方法规律 ：这是指数或二次式复合而成的不等式,一般地先解二次不等式,再解指数不等式,变量代换并非必要,但可优化解题过程；例 2：解不等式（ 1）|x+3|- |2x- 1|x +1；（2）2x 5 x+1 2（ 1）分析：着眼如何脱掉肯定值符号,鉴于不等式中含有两个肯定值符号,可考虑分段 争论求解；解：分别由x+3=0 及 2x- 1=0 得 x1=- 3,x2=1 ,下面分段争论：21 ；2当 x- 3 时,不等式化为x- 4x+1,解得 x10,而 x- 3,故此时无解；2当 - 3x1 时,不等式化为 23x+2x+1,解得 x-2 ,这时不等式的解为 5-2 x52当 x1 时,不等式化为 2- x+4x+1,即 x2,这时不等式的解为1 x2 22综上所述,原不等式的解集为（-2 ,2）5方法规律 ：对于含多个肯定值符号的不等式,可先确定各肯定值符号内多项式的零点,然名师归纳总结 后据零点分实数集R 为如干区间后分别争论求解,然后求它们的并集；x21第 5 页,共 11 页（2）解法 1：（同解变形）2x5x+1xx1500或xx15022-2 x- 1 或 - 1x 2,原不等式的解集为 5x|-2 x 2 5解法 2：（换元法）设2x5=t（t0）,就原不等式化为t2- 3t- 3 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 它的解集为 0t3, 02x 53-2 x2 5方法规律 ：一般地无理不等式应作同解变形成有理不等式或不等式组,方法是在充分考虑定义域和不等式两边符号的情形下实施平方；例 3：设集合 M= x|x2- 7x+ 100 ,N= x|x 2- 2- mx+5- m0 ,且 NM,求实数 m 的取值范畴；解： M= x|2x5 ,令 f x= x 2- 2- mx+5- m=0,要使 N M,当 N 时,就是要方程x 2- 2- mx+5- m=0 的两根 x1,x22,5,如下列图,也就是要抛物线 y= f x与 x 轴两交点0在 2 到 5 之间,因此必需满意条件222m5,0 2 5 f20f50解此不等式得m- 5,- 4 ,- 4m4 又当 N 时, x 2- 2- mx+5- m=0 的 0m 2- 160综合,可知m 的取值范畴是 - 5,4）；方法规律 ：充分利用二次不等式、二次方程、二次函数之间的联系,将代数问题用图形来分析,即用数形结合的思想来处理较为抽象或较为复杂的不等式问题,是解决不等式问题的一种重要方法；例 4：设函数 f x= x 21 - ax,其中 a0；（ 1）解不等式 f x1；（ 2）求 a 的取值范围,使函数 f x在区间 0,+）上是单调函数；2解：（ 1）不等式 f x1,即 x 11+ax, 11+ax, a0 原不等式等价于 x 21 1 ax 2即 x2 0x 0 a 1 x 2 a 0当 0a 1 时,所给不等式的解集是 x|0x2 a2 1 a当 a1 时,所给不等式的解集是 x|x0 （2）在区间 0,+）上任取 x1,x2,使 x1x2,名师归纳总结 就： f x1- f x2=2 1x21-12 x 21- ax1- x2=x22 x 1x221- ax1- x2 第 6 页,共 11 页21x= x1- x22 x 1x 1x2- a 121x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a1 时,2 x 1x 1x2211,x2x1x221a1x1x212又 x1- x20, f x1- f x20,即 f x1f x2 当 a1 时,函数f x在区间 0,+上是单调递减函数；a2,满意 f x1= f x2=1,即 f 当 0a 1 时,在区间 0,+上存在两点x1=0,x2=12ax1= f x2,所以 f x在区间 0,+上不是单调函数；综上,当且仅当a1 时,函数为区间0,+上的单调函数；方法规律 ：（1）把简洁无理不等式转化为不等式组来处理,是解决无理不等式的一般方法,但必需留意变换不等式的等价性,当然也可用数形结合方法来分析；（ 2）利用单调函数的概念转化为作差比较法,对参数a 的分类争论是作最终结论的关键；例 5：某厂制定明年的一种新产品生产方案,人事部门提出该厂实际生产的工人数不多于130 人,每人年工时以 2400 小时计； 销售科猜测明年的销售量至少是 60000 件；技术科计算每件产品的工时定额为 4 小时,需钢材 20 公斤；供应科说目前库存钢材 720 吨,而今年尚需 220 吨,明年能补充960 吨,试依据以上信息打算明年可能的生产量；分析：依据问题情形所供应的信息,从中找到数量中的不等关系,从而化为不等式模型来解决；解：设明年产量为 x 件,4x 130× 2400,（人事信息与定额）由题意得 x60000,（销售猜测）20x720- 220+960× 1000 （原材料供应）解得 60000x73000 故生产方案可在 60000 到 73000 件考虑；方法规律 ：利用不等式组模型来处理系统信息,寻求问题的解决是处理生产实际中的问题的一种有效方法；试试看 潜能挑战测试：名师归纳总结 基础知识D- 1,00,1 1如1 a,就 a 的取值范畴是（a）A - , - 11, B- 1,1 C- 1,01,+ 2设 A= x| |x- 1|2 ,B= x|xx2 0 ,就 AB 等于（）第 7 页,共 11 页A x|- 1x3 B x| x0 或 x2 Cx|- 1x0 D x|- 1x0 或 2x3 3不等式xx1x +1 的解集是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A x| x3B x|4 x32 C x|x1 D x|x-2 或 1x2 4不等式 |xlg0. 5| 5|lg0. 25|的解集是（）A x|x5 B x|- 10x10 C x|x10 D x|x10 5不等式 4 x 2+ | x | 0 的解集是（）xA - 2,2 B-3 ,0 0, 2 C- 2,0 0,2 D -3 ,0） 0,3 2 x 1 x 2 6不等式 20 的解集是；x 7 x 127不等式 1 x 32 2 x的解集是；2ax8不等式 的解集是 x|x<1 或 x>2 ,就 a；x 1思 维 拓 展9当不等式 2x 2+px+10 6 恰有一个解时,实数 p 的值是多少？10解不等式 |2x 2- x- 1|7x +9；211p 为何值时,对任意实数 x 不等式 93 x2 px 66 恒成立；x x 112a 取哪些值时,方程 x 2+a 2=4 的较小的解满意不等式 x 2+2ax- 2a- 10；应 用 创 新13已知函数 y= kx 26 kx 8 k 的定义域为 R,求实数 k 的取值范畴；214某产品总成本 c 万元与产品 x 台之间满意关系： c=3000+20 x-x,其中 x（0,240）,10如每台产品售价为 25 万元,就生产者不亏本（即销售收入不低于总成本）时的最低产品量为多少？15为加快教学手段的现代化,某校方案购置一批电脑,已知甲公司的报价为每台 5580元,优惠条件是购买 10 台以上就从第 11 台开头可按报价的 70%运算；乙公司的报价也是每台 5580 元,优惠条件是为支持训练每台均按报价的 责人,在电脑品牌、 质量、售后服务等完全相同的前提下,85%运算,假如你是学校的有关负 你将挑选购买哪个公司的电脑？名师归纳总结 16某厂家拟在2002 年举办“ 买产品,看韩日世界杯” 的促销活动,经调查测算,该产第 8 页,共 11 页品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（ m0）满意：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x=3-mk1（k 为常数）,假如不搞促销活动,该产品的年销售量只能是1 万件,已知 2002 16 万元,厂家将年,生产该产品的固定投入为8 万元,每生产1 万件该产品需要再投入每件产品的销售价格定为“ 年平每件产品成本” 的 投入两部分资金） ；1. 5 倍（产品的成本包括固定投入和再（1）将 2002 年该产品的利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该厂家 2002 年促销投入为多少万元时,厂家的年利润最大；标准答案与提示1C点拔：1 a a1a20aa- 1a+1 0- 1<a<0 或 a>1 02 a2D点拔： A=x|-1<x<3,B=x|x>2或 x<0, A B=x|-1<x<0或 2<x<3 3D点拔：x11x+1x210或x101x2 或 x-x102 x104B点拔：不等式可化为|xlg2|10lg2 ,即 |x|10, - 10 x10 或5B点拔：定义域为- 2 x0 或 0x2,原不等式可化为2x04x2104xx2210-3 x0 或 0 x2 6x| x-2 或 3<x<4 或 x=1点拔： 不等式可化为 x- 1 由序轴法可得结论2x+2x- 3x- 40,且 x 3 和 4,名师归纳总结 7 x|x- 3 点拔：不等式可化为3 2x22x3- x- 2x第 9 页,共 11 页8a=1 点拔：原不等式可化为 2a1 x10 a- 1x+1 x-10,x1解集是 x|x>2 或 x<1 , -a11=2a=1 29解： y=x2+px+ 10 的图象开口向上,y=x2+px+ 10 与 y= 6 有且仅有一个公共点,即x2+px+ 10=6 有两个相等的实数根；=p2- 16=0, p= ± 4 10解：由7x902 x2x17 x9得不等式的解集为x|-<x<5 7 x9 11解： x2- x+1=x1230,24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 原不等式可化为12x2p9x150 1 3 x2p6x02由（ 1）恒成立1=p- 92- 4× 12× 50 3 由（ 2）恒成立2=p+620 4 由（ 4）得 p=- 6,此时（ 3）成立, p=- 6 时,原不等式恒成立；12解：由 x 2+a 2=4 知|a|2,如 a 2=4,就 x=0,当 a=2 时, x=0 不满意 x 2+2ax- 2a- 10,当 a=- 2 时, x=0 也不满意 x 2+2ax- 2a-10,如|a|2,方程 x 2+a 2=4 较小解为 x=-4 a 2,又由 x 2+2ax-2a- 1 0,得2- a-| a+1|x- a+ | a+1|, - a-| a+1|-4 a- a+| a+1|,19 2解之得a2 513要使函数 y= kx 26 kx 8 k 的定义域为 R,必需有 kx 2- 6kx+8+k0 恒成立,k 0就 2 0k1 6 k 4 k 8 k 0k 0 k0,综合得 0k1 8 014解：由题意知销售收入为25x 万元,要使生产者不亏本,就 3000+20x-x225x,即 x 2+50x- 30000,解得 x- 200（舍去）或x150,10故所求最低产量为150 台；15设购买 x 台电脑,明显0x10,且 x 是正整数时, y甲y 乙；x 10,且 x 是正整数时,甲公司收款 y甲=5800× 10+5800x- 10·70%；乙公司收款 y 乙=5800x· 85%；令 y 甲= y 乙,得 5800× 10+5800x- 10· 70%=5800x· 85%,解得 x=20；同理 y 甲y 乙时,得 x20；y 甲y 乙时,得 x20；名师归纳总结 答：当购买19 台或 19 台以下时,就选乙公司；当购买20 台时,选甲、乙公司中任一公第 10 页,共 11 页司都一样；当购买21 台或 21 台以上时,就选甲公司；16（ 1）依题意得m=0,x=1 代入 x=3-k1得 k=2, x=3-m21m设 2002 年,生产该产品x（万件）,就年成本为8+16x=8+163-m21（万元）,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 年利润 y=1. 5-18+163 -m21 - m,即 y=28- m-161m0为所求；m（2）法 1： y=28- m-161=29- m+1+161 m+1129- 2m1 161=21mmm16 当且仅当 m+1=,即 m=3 时“m 1答：该产家 2002 年的促销费投入为=” 号成立； y 最大=21 万元 3 万元时,厂家获得的利润最大；名师归纳总结 - - - - - - -法 2：令 t= m+1, t1,函数 ut=t+16 在0,4上是减函数,在 t4,+ ）上是增函数,当t=4 时, ut可取得最小值8, y 最大=29- 8=21,当 t=4 时, y 最大=21 万元第 11 页,共 11 页