2022年八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点金老师复习（ 2） 一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1懂得并把握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式ax2bxc0（a>0）；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数a0时,整式方程ax2bxc0才是一元二次方程；（2）各项的确定 包括各项的系数及各项的未知数. 3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2依据方程系数的特点,娴熟地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3值得留意的几个问题：1开平方法：对于形如 x 2n 或 ax b 2n a 0 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解 . 形如 x 2 n 的方程的解法：当 n 0 时,x n ;当 n 0 时,x 1 x 2 0 ;当 n 0 时,方程无实数根；（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 x m 2 n 的方程,再运用开平方法求解；配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边；“ 系数化1” ：依据等式的性质把二次项的系数化为1；n的形式；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为xm 2b；求解：如n0时,方程的解为xmn,如n0时,方程无实数解；（3）公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0 的根xbb24ac2 a当b24ac0时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当b24ac0时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为x 1x 22a当b24ac0时,方程无实数根. b24ac中运算其值,判定方程是公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a,b,c的值；代入否有实数根；如b24ac0代入求根公式求值,否就,原方程无实数根；（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤：如方程的右边不是零,就先移项,使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零,得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解；（三）、根的判别式1明白一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情形,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备精品学问点0（a0）数取值范畴； （1）=b24acax2bxc（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程当a0方程有实数根；当a0方程无实数根；0 时0 时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理；例：求证：方程a21 x22axa240无实数根；（4）分类争论思想的应用：假如方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那肯定要对方程进行分类争论,假如二次系数为0,方程有可能是一元一次方程；假如二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根；（四）、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式；2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特点、定理或法就来查找等量关系,构建方程,对结果要结合几何学问检验；3.增长率问题（下降率） ：在此类问题中,一般有变化前的基数（a ）,增长率（ x ）,变化的次数（n ）,变化后的基数（ b ）,这四者之间的关系可以用公式 a 1 x n b 表示；4.其它实际问题（都要留意检验解的实际意义,如不符合实际意义,就舍去）；（五）新题型与代几综合题（1）有 100 米长的篱笆材料, 想围成一矩形仓库,要求面积不小于 600 平方米, 在场地的北面有一堵 50 米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库,但面积只有 400 平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜？3已知：a,b,c分别是ABC的三边长, 当m0时,关于 x 的一元二次方程acx2m 0bx2m 2max02xc2没有实数根；有两个相等的实数根,求证：ABC 是直角三角形；（4）已知：a,b,c分别是ABC 的三边长,求证：方程b2x2b2c224m50的根都是整（5）当 m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程mx24x40与x24mx4m数？（6）已知关于 x 的方程x22xx2m2x12m0,其中 m 为实数,（1）当 m 为何值时, 方程没有实数根？ （2）2当 m 为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根；答案：（1）m2（2）x,112. （六）相关练习（一）一元二次方程的概念1一元二次方程的项与各项系数把以下方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项：（1）5x223x第 2 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）5a1 24a32学习必备精品学问点2应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值1 m 为何值时,关于x 的方程m2x2 mm3 x4 m是一元二次方程；（2）如分式x2x7 x80,就 x13由方程的根的定义求字母或代数式值1关于 x 的一元二次方程a1 x2xa21a0有一个根为0,就 a1,就abc,abc2已知关于 x 的一元二次方程ax2bxc00有一个根为1,一个根为（二）一元二次方程的解法 1开平方法解以下方程：（1）169x3 22892 13m202配方法解方程：（1）x22x5022y24y3 3公式法解以下方程：（1）3x26x2（ 2）p2323p4因式分解法解以下方程：（1）y24y4502 x522x51（3）7x221x05解法的敏捷运用（用适当方法解以下方程）：16x x2 x2x3 2 81 2x5 2144x3 2（三）一元二次方程的根的判别式 1不解方程判别方程根的情形：（1）4x2x37xk（ 2）3 x224x34x2545x2 k 为何值时,关于x 的二次方程kx26x90（ 3）无实数根（1）有两个不等的实数根（2）有两个相等的实数根3.k 为何值时,方程k1 x223 xk3 0有实数根 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点（四）一元二次方程的应用1已知直角三角形三边长为三个连续整数,求它的三边长和面积. 500 万册, 假如以后两年的增2.某印刷厂在四年中共印刷1997 万册书, 已知第一年印刷了342 万册, 其次年印刷了长率相同,那么这两年各印刷了多少万册？3某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20 件,每件盈利40 元,为了扩大销售增加盈利,尽快削减库存,商场打算实行适当降价措施,经调查发觉,假如每件衬衫每降价1 元,商场每天可多售出 2 件,如商场平均每天要盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元？名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
