2022年完整word版,量子力学知识点小结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章玻尔的量子化条件,索末菲的量子化条件；黑体：能吸取射到其上的全部辐射的物体,这种物体就称为肯定黑体,简称黑体；普朗克量子假说：表述 1：对于肯定频率 的辐射,物体只能以h 为能量单位吸取或发射电磁辐射；表述 2：物体吸取或发射电磁辐射时,只能以量子的方式进行,每个量子的能量为： =h ；表述 3：物体吸取或发射电磁辐射时,只能以能量 的整数倍来实现,即 , 2 ,3 , ；光电效应：光照耀到金属上,有电子从金属上逸出的现象；这种电子称之为光电子；光电效应有两个突出的特点：存在临界频率0 ：只有当光的频率大于肯定值v0 时,才有光电子发射出来；如光频率小于该值时,就不论光强度多大,照耀时间多长,都没有光电子产生；光电子的能量只与光的频率有关,爱因斯坦光量子假说：与光的强度无关； 光的强度只打算光电子数目的多少；光电磁辐射 不仅在发射和吸取时以能量 E= h 的微粒形式显现, 而且以这种形式在空间以光速 C 传播,这种粒子叫做光量子,或光子；爱因斯坦方程光电效应机理：当光射到金属表面上时,能量为E= h的光子马上被电子所吸取,电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引,另一部分就是电子离开金属表面后的动能；说明光电效应的两个典型特点：存在临界频率v0：由上式明显看出,当h - W 0 0 时,即 0 = W 0 / h 时,电子不能脱出金属表面,从而没有光电子产生；光电子动能只打算于光子的频率：上式说明光电子的能量只与光的频率 有关,而与光的强度无关；康普顿效应：高频率的 X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后显现的效应；康普顿效应的试验规律：散射光中,除了原先X 光的波长 外,增加了一个新的波长为'的 X 光,且' > ；波长增量 = - 随散射角增大而增大；量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象光具有微粒和波动的双重性质,这种性质称为光的波粒二象性名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波；Eh会在底片上留下如干条线,每个线条就是一条Phnkh,k2n2光谱线： 光经过一系列光学透镜及棱镜后,光谱线；全部光谱线的总和称为光谱；线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的；21.标识线状光谱：对于确定的原子,在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的,也就 是说,可以表征原子特点的线状光谱；其次章 量子力学中,原子的轨道半径的含义；波函数的物理意义：某时刻 t 在空间某一点 x,y,z波函数模的平方与该时刻 t 该地点 x,y,z邻近单位体积内发觉粒子的几率密度 通常称为几率 dwx,y,z,t 成正比； 根据这种说明, 描写粒子的波是几率波；波函数的特性： 波函数乘上一个常数后,并不转变在空间各点找到粒子的几率,即不转变波函数所描写的状态；波函数的归一化条件x ,y,z ,t2d1.21-7态叠加原理：如体系具有一系列不同的可能状态1, 2, n,就这些可能状态的任意线性组合,也肯定是该体系的一个可能的状态；也可以说, 当体系处于态 时,体系部分地处于态1, 2, n 中；波函数的标准条件：单值性,有限性和连续性,波函数归一化；定态： 微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态；称为定态波函数； ；定态的性质： 由定态波函数给出的几率密度不随时间转变；转变；任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间转变；定态波函数： 描述定态的波函数粒子几率流密度不随时间本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中,如一个算符作用在一个波函数上,等于一个常数乘以该波函数, 就称此方程为该算符的本征方程；常数 fn 为该算符的第 n 个本征值；波函数 n为 fn 相应的本征波函数；束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态；基态：体系能量最低的态；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 宇称： 在一维问题中, 凡波函数x 为 x 的偶函数的态称为偶正宇称态； 凡波函数x为 x 的奇函数的态称为奇 负宇称态；在一维空间内运动的粒子的势能为 2x 2/2, 是常数,这种粒子构成的体系称为线性谐振子；线性谐振子的能级为：En n1 2,n0 , 1 , 2 , 3 ,透射系数： 透射波几率流密度与入射波几率流密度之比；入射波几率流密度之比；反射系数： 反射波几率流密度与隧道效应：粒子在能量 E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象；16量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区分？答: 量子力学的波函数是一种概率波,没有直接可测的物理意义,它的模方表示概率,才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场,有直接可测的物理意义；17什么是量子力学中的定态？它有什么特点？答：定态是一种特别状态即能量本征态,在定态下,一切显含时间的力学量（不管是否为守恒量）的平均值和几率分布都不随时间转变,间转变；粒子在空间的几率密度和几率流密度也不随时第三章算符 : 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号,量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号；厄密算符的定义： 假如算符 F.满意以下等式F .dxF .dx,就称 F. 为厄密算符；式中 和 为任意波函数,x 代表全部的变量,积分范畴是全部变量变化的整个区域；推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符；厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数；厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交；简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情形；简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目；氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚,成为自由电子的状态；电离能：电离态与基态能量之差名师归纳总结 氢原子中在半径r 到 r+dr 的球壳内找到电子的概率是：WnlrdrR2rr2dr第 3 页,共 25 页nl- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在方向 , 邻近立体角d 内的概率是：wlm, dY lm,2 d两函数 1 和 2 正交的条件是：12d0式中积分是对变量变化的全部区域进行的,就称函数 1 和 2 相互正交；正交归一系：满意正交条件的归一化本征函数 k或 l；厄密算符本征波函数的完全性：假如 nr 是厄密算符 F.的正交归一本征波函数,n 是本征值,就任一波函数 r可以按 nr绽开为级数的性质；或者说 nr组成完全系；算符与力学量的关系：当体系处于算符 F.的本征态 时, 力学量 F 有确定值, 这个值就是算符 F.在 态中的本征值；力学量在一般的状态中没有确定的数值,而有一系列的可能值,这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值；每个可能值都以确定的几率显现；算符对易关系：A .,B .A . B .A .B .0B .A .；可对易算符：假如,就称算符A.与 B.是可对易的；不对易算符：假如A . B .0,就称算符A.与 B.是不对易的；两力学量同时有确定值的条件：定理 1：假如两个算符F . 和G .有一组共同本征函数n,而且n组成完全系,就算符对易；定理 2：假如两个算符F . 和G .对易,就这两个算符有组成完全系的共同本征函数；测不准关系：当两个算符不对易时,它们不能同时有确定值,F2G2k 24量子力学中力学量运动守恒定律形式是：d FdtF t1 iF .,H .0量子力学中的能量守恒定律形式是：d H .dti1H .,H .0空间反演：把一个波函数的全部坐标自变量转变符号 宇称算符：表示空间反演运算的算符；宇称守恒：体系状态的宇称不随时间转变；16.相关关系式：如 r r的运算；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,p.i, L . 2,L0 ,x ,y ,z x ,p .2 xfxL .x,L .yiL .zxL.,L.x 0,ix,y ,z 综合写成：L .L .iL .iizL .y,L .ziL .xL .z,L .xiL .yL .x,yiz ;L .y,xx ,y ,z L .,0 ,ixL .y,ziL .z ,yL .z ,xiy ;L .x,zx ;iyL .,p .0 ,L .x,. pyip . z ;L .y ,. px. p z,y ,z L .y ,p . zi. p x;L .z,p .yip . xfL .z,p .xip .y ;L .x,. pzip . yp2 ip . xfx ,p . xfp . xx. p xp . xfx,. pL .L .p .x,2 i第四章基底：设 e1, e2, e3 为线性无关的三个向量,空间内任何向量v 必是 e1, e2, e3 的线性组合,就 e1, e2, e3 称为空间的基底；正交规范基底：如基底的向量相互垂直,且每一向量的长度等于 1,这样的基底叫做正交规范基底；希耳伯特空间：假如把本征波函数 m 看成类似于几何学中的一个矢量 这就是波函数有时称为态矢量或态矢的缘由 ,就波函数的集合 m构成的一个线性空间；表象：量子力学中,态和力学量的详细表示方式；第五章1.斯塔克效应：在外电场中,原子光谱产生分裂的现象；2.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式；3.周期微扰产生跃迁的条件是：k态跃迁到mk或mk,说明只有当外界微扰含有频率mk时,体系才能从m态,这时体系吸取或发射的能量是mk,这说明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁；4.光的吸取现象：在光的照耀下,原子可能吸取光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象；5.原子的受激辐射 跃迁 现象：在光的照耀下,原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象；名师归纳总结 6.原子的自发辐射跃迁 现象：在无光照耀时,处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的第 5 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 现象；7.自发发射系数 A mk：表示原子在单位时间内,由 m 能级自发跃迁到 k 能级, 并发射出能量为 mk的光子的几率；8.受 激发 射系 数 B mk： 作用于 原 子的 光波 在 d 频 率范畴 内 的能 量密 度是I d,就在单位时间内,原子由 m 能级受激跃迁到能级 k 、并发射出能量为 mk的光子的几率是 B mkI mk ；9.吸取系数 B km：原子由低能级 k跃迁到高能级 m、并吸取能量为 mk的光子的几率是B kmI mk ；第七章斯特恩 -革拉赫试验证明电子存在自旋理由；塞曼效应：在外磁场中,每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象；简洁 正常 塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线,在磁场中将分裂为三条光谱线；产生的条件是：当外磁场足够大时,自旋和轨道运动间相互作用可以忽视；复杂 反常 塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线,在磁场中将分裂为更多条光谱线；产生的条件是：在弱外磁场中,必需考虑自旋和轨道运动间相互作用；两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量s 1S：Ss s1 ,ss 1s 2,s 21,0所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值；两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量1 ,lL：2 ,. ,l 1l2Ll l1 ,ll1l2,l1l21l2对于两个电子,就有几个可能的轨道总角动量；名师归纳总结 电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量.J1：s第 6 页,共 25 页J 1l 1s 1 ,l1s 1,s 11 2. ,l每个电子只有两个J1 值；LS 耦合总角动量J：Jjj1 ,jls ,ls1 ,ls2 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - jj 耦合总角动量 J：Jjj1 ,jj 1j2 ,j 1j21 ,j1j22 ,. ,j1j2价电子：原子最外层的电子；原子的化学性质以及光谱特性都打算于价电子；内层电子：原子中除价电子外的剩余电子；原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构；电子组态：价电子所处的各种状态；原子态：原子中电子体系的状态；原子态符号：用来描述原子状态的符号；原子态符号规章：用轨道总量子数l、自旋总量子数s 和总角动量量子数j 表示轨道总量子数l=0,1,2,· · · ,对应的原子态符号为S,P,D,F,H,I,K,L,· · ·原子态符号左上角的数码表示重数,大小为2s +1,表示能级的个数；原子态符号右下角是 j 值 ,表示能级对应的 j 值 ；形式为：2 s 1 S j , 2 s 1 P j , 2 s 1 D j , 2 s 1 F j ., . .光谱的精细结构：用辨论率足够高的仪器观看类氢原子的光谱线,会发觉每一条光谱线并不是简洁的一条线,而是由二条或三条线组成的结构,这种结构称为光谱的精细结构；原子态能级的排序洪特定就 ：L 值的能级中,那重数最高的,即S 值最大的能级1 从同一电子组态形成的、具有相同位置最低；2 从同一电子组态形成的、具有不同L 值的能级中,那具有最大L 值的位置最低；辐射跃迁的普用挑选定就：1、挑选定就：原子光谱说明,原子中电子的跃迁仅发生在满意肯定条件的状态之间,这些条件称为挑选定就；2、原子的宇称：假如原子中各电子的l 量子数相加,得到偶数,就原子处于偶宇称状态；假如是奇数,就原子处于奇宇称状态；3、普遍的挑选定就：跃迁只能发生在不同宇称的状态间,偶宇称到奇宇称,或奇宇称 到偶宇称；电子能否有跃迁第一要考虑这一条,然后根据耦合类型再有以下定就；LS 耦合挑选定就：名师归纳总结 lS0,要求单一态电子只能跃迁到单一态,三重态电子只能跃迁到三重态；第 7 页,共 25 页1,当l0时,要考虑宇称奇偶性转变的要求；0,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - j0 ,1,j0至j0的跃迁是禁止的；jj 耦合挑选定就：j 1j 20 ,10至j0的跃迁是禁止的；j0,1j全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子；全同粒子的特性：全同粒子具有不行区分性,只有当全同粒子的波函数完全不重叠时,才是可以区分的；21.全同性原理 : 在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互代换不引起物理状态的转变；22.对称波函数：设 qi 表示第 i 个粒子的坐标和自旋, q1, ,qi,qj, ,t表示体系的波函数；假如两粒子互换后波函数不变,就 是 q 的对称波函数； q1, ,qi,qj, ,t表示体系的波函数；23.反对称波函数：设 qi 表示第 i 个粒子的坐标和自旋,假如两粒子互换后波函数变号,就 是 q 的反对称波函数；24.对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的,它们的对称性不随时间转变；假如体系在某一时刻处于对称反对称 的状态, 就它将永久处于对称反对称 的状态上；25.费密子：自旋为2或2奇数倍的全同粒子；费密子的特点：组成体系的波函数是反对称的,听从费密狄拉克统计；26.玻色子：自旋为零、或整数倍的全同粒子；玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的,听从玻色爱因斯坦统计；27.交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并；28.泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态；29.交换能的显现,是由于全同粒子的波函数必需是对称波函数或反对称波函数的缘故；30.交换能 J 与交换密度有关,其大小打算于两个电子波函数重叠的程度；重叠程度越大,交换能就越大；31.LS 耦合引起的精细结构分析；如n=3 能级中,有一个p 电子和 d 电子所引起的能级差别原子态 ；32. 对氢原子,不考虑电子的自旋,能级的简并度,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的 耦合时,能级的简并度,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合,能级的简并度；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 33. 反常塞曼效应的特点,引起的缘由；碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂能级间距与能级有关；由于电子具有自旋； 量子力学期末试题及答案一一、（20 分）已知氢原子在t0时处于状态 1 0 ,012 121 02330313其中,nx为该氢原子的第 n 个能量本征态；求能量及自旋z 重量的取值概率（1）（2）与平均值,写出t0时的波函数；解已知氢原子的本征值为En4 e1,n,12 3, ,2 h2n2将t0时的波函数写成矩阵形式 ,012x2123x33x3利用归一化条件c21d x14*x22*x2*x12x2123x（3）33231333x2c27 9c3999于是,归一化后的波函数为名师归纳总结 12,2x23x12x4123x（4）第 9 页,共 25 页 ,093773721xx能量的可能取值为E E3,02（5）7E ,相应的取值几率为4; W E 2,01;W E 3W E 1,0777能量平均值为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E04E 11E 22 7E 311614 e（6）774 e411122h 2717479504 h 2（7）自旋 z 重量的可能取值为h 2,h ,相应的取值几率为 2Ws zh,0123;Ws zh,04277727自旋 z 重量的平均值为zs03h4hh（8）（9）a ；（1）221477t0时的波函数 , 12xexp4iE texp23xexpiE t7h7h1xiE t7h二. （ 20 分） 质量为 m 的粒子在如下一维势阱中运动V00.x0VxV0,0xa0,xa如已知该粒子在此势阱中有一个能量EV0的状态,试确定此势阱的宽度2解对于V0E0的情形,三个区域中的波函数分别为1x02xAsinkx3xBexpx其中,名师归纳总结 k2 m EV0;n2 mE2 ,；（2）第 10 页,共 25 页0 ,1,（3）利用波函数再x0处的连接条件知,n,在xa处,利用波函数及其一阶导数连续的条件2a3a' 2a' 3a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得到AsinkannBexpaa（4）AkcoskaBexp于是有tankak（5）此即能量满意的超越方程；当E1V 时,由于tanmV0amV012mV0（6）故mV0an4n1,2,3,（7）最终得到势阱的宽度an1mV04（8）三、（20 分）证明如下关系式（1）任意角动量算符 r .j 满意 r . j r . j i h；r .证明 对 x 重量有r . j r . j . . j j z . . j j y =i h . j xx同理可知,对 y 与 z 重量亦有相应的结果,故欲证之式成立；投影算符 .n n n 是一个厄米算符, 其中,n 是任意正交归一的完备本征函数系；名师归纳总结 证明在任意的两个状态与之下,投影算符p 的矩阵元为第 11 页,共 25 页p .nnn而投影算符.n p 的共軛算符p 的矩阵元为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - p . n±p . *np . n*nn*n*n*nnp .n明显,两者的矩阵元是相同的, 由与的任意性可知投影算符是厄米算符；利用k*' xkxx'x证明xp . xmnkxmkp . xkn,其中,kx为k任意正交归一完备本征函数系；证明xp . x mn d x m *x xp . x n x* ' 'd x m x x d x x x p . x n xd x m *x x d x 'x 'x p . x ' n x 'd x m *x x d x 'k *x 'k x p . x ' n x 'kd x m *x x k x d x 'k *x 'p . x ' n x 'kx mk p . x knk四、（20 分）在 L 与2L 表象中,在轨道角动量量子数 l 1 的子空间中,分别运算算符. L 、. L 与. L 的矩阵元,进而求出它们的本征值与相应的本征矢；解 在 L 与2L 表象下,当轨道角动量量子数 l 1 时,m 1,0, 1,明显,算符. L 、.y L 与. L 皆为三维矩阵；有由于在自身表象中,故L .zL 是对角矩阵,且其对角元为相应的本征值,于是 .100000（1）相应的本征解为名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1Lzh ;1000Lz0;01（2）00Lzh ;101对于算符. L 、. x L 而言,需要用到升降算符,即 y（3）L . x1L .L .2L . y1L .L .2i而名师归纳总结 L .lmhl l1m m1l m1（4）第 13 页,共 25 页当l1,m1,0,1时,明显,算符L 、. x L 的对角元皆为零,并且,y（5）1, 1L . x1,11, 1L . y1,101,1L . x1, 11,1L . y1, 10只有当量子数 m 相差1时矩阵元才不为零,即（6）1, 1L .x1,01,0L .x1, 11,0L .x1,11,1L .x1,0h21,0L . y1, 11,1L . y1,0ih21, 1L . y1,01,0L . y1,1ih2于是得到算符. L 、. L 的矩阵形式如下L . xh010L . yh0i0101 ;i0i（7）220100i0L.y满意的本征方程为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0i0c1c12i00ic2c2（8）0ic3c3相应的久期方程为i02ii2020（9）2i将其化为320（10）得到三个本征值分别为1;20;3（11）将它们分别代回本征方程,得到相应的本征矢为L . x11ii;211;31ic1（12）2022221i满意的本征方程为h010c1101c2c22010c3c3（13）相应的久期方程为h2h0202hh02（14）将其化为320（15）得到三个本征值分别为1;20;3（16）将它们分别代回本征方程,得到相应的本征矢为名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 111;211;3112（17）20222111五、（20 分）由两个质量皆为2、角频率皆为的线谐振子构成的体系,加上微扰项W .x1x2（x1 , x分别为两个线谐振子的坐标）后,用微扰论求体系基态能量至二级修正、其次激发态能量至一级修正；提示：线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为（1）mxn1nm,n1n21m,n12式中,；解体系的哈密顿算符为H .H . 0W .其中已知H 的解为 .H . 0E12 p . 112 p . 2n 11n22 x 1x2（2）222W .0x 1x 2x 12x 2（3）nnx 1,xn2其中n 1,n 2,n0 ,1,2（4）,1 2 ,3,nf将前三个能量与波函数详细写出来名师归纳总结 对于基态而言,n10 E 0h;,0,00x 10x 2（5）第 15 页,共 25 页0 E 12 h110x 11x 20 E 23 h,121x 10x 22x 10x 221n 2n220x 12x 21x 11x 2230f1,体系无简并；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利用公式mxn1nm,n1n21m,n1（6）2可知E 021 E 00fn0W .0n0nW .0（7）W .0n10 E 00 E n明显,求和号中不为零的矩阵元只有0W .231E023W .082232（8）于是得到基态能量的二级修正为2E2 00 E 0442（9）2其次激发态为三度简并,能量一级修正满意的久期方程为W 11E1WW 121W 1310（10）2W2122EW 232W 31W 32W 33E2其中W 11W 22W 33W 12W 2120（11）W 13W 31W 23W 322将上式代入（ 10）式得到整理之,1 E 2满意E1 2230121220（12）0E 222E1 222E12E0（13）242于是得到其次激发态能量的一级修正为E12;E1;0E12（14）212223量子力学期末试题及答案二名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、填空题（本大题共10 小题,每道题 3 分,共 30 分）9 101、A,B两束光, A的波长 A 3 10 m ,B的波长 B 4 10 m ,请问哪束光的能量更高？A . 2、微观粒子的波函数 应满意的三个标准条件是 单值性,连续性,有限性