2022年复变函数期末试卷3.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 复变函数期末试卷一、单项挑选题（每题 2 分,共 20 分）1 以下命题正确选项A1 z iizi y3B零的辐角为零z1 A Ci3 iD对任意复数z 有 sin2如x11i,就53iBx1,y11 D Ax1,y11Cx1,y11Dx1,y113设f z u x y , iv x y , 在区域 D 内解析,就uivBf uivAf xyxx B Cf uivDf uivyyyx4以下说法正确选项A假如fz 0存在,就f z 在0z 处解析iv x y , 在区域D内解析B假如u x y 和v x y 在区域 D 内可微,就f u x y , C假如 C f z 在区域 D 内到处可导,就f z 在区域 D 内解析D假如f z 在区域 D 内解析,就f z 在区域 D 内肯定不解析5以下等式中不正确选项名师归纳总结 ALn 12k1i（k为整数）yBLnzLnz2Lnz B 第 1 页,共 4 页Cez2k iez（ k 为整数）Dsin2icos2i1a b为常数）,就6设f z x2axyy2i bx2xy2 在复平面内到处解析（其中Aa2,b1Ba1,b2 C Ca2,b1Da1, b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7设为单位圆周z1,就积分Im zdz的值为AiBi D CD8级数n1n n z nn .的收敛圆为B ze A Az1eDzeCz129z0是函数f z 2 z e z1的B二级零点 C A一级零点C三级零点D四级零点10设f z 1sinz,就 Res f z ,0B1 5. D 5 zA1C1D 0二、填空题（每空2 分,共 10 分）2 i 或 0 22k11Arg123i3n 为整数,就z1ndz12设为包围 a 的任一简洁闭曲线,a13 1ii的主值等于e4l n 2 c o s2il n 2 si n21,112114函数e 在z0处的主要部分为z2.zn zn在 z处的主要部分为0 二、解答题名师归纳总结 15争论函数f z Re 1z在原点的连续性与可导性；v0第 2 页,共 4 页z解：令f z uiv zxiy ,就u1x2, yx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因u v 在 0,0 处连续,故f z 在 0,0 处连续；又u x0,0lim x 0ux ,0xu 0,0lim x 0x 1xx21vy0,0,故f z 在 0,0 处不行导；名师归纳总结 16设f z u x y , iv x y 在区域 D 内解析,且u2v ；试证f z 在 D 内必为常数；第 3 页,共 4 页证：因f z 在 D 内解析,故uxv uyv x已知等式两边分别对,x y 求偏导,并用上式得：2 uuxvx2 uuxuuy14u2u x0ux02 uuyvy2 uuyx同理可得uy0v xvy0,故u v 均为常数,进一步有f z 在 D 内必为常数；17运算积分I1i1z edz,其中为不过 0 和1的任一简洁闭曲线；23 z z解：z0,z1均在的外部,f z 1z e在所围的闭区域上解析,故I0.3 z zz0在内部,z1在外部,由高阶导数公式I12.izez1zdz1d21ezzz05,其中充分小；2. 2z322 dz2z0在外部,z1在内部,就I1iz1ez3 zdzezz1e2z1z3z0,z1均在的内部,由多连通区域上的复合闭路定理得I5e218（1）将函数f z z2z1在圆环 1z内展为 Laurent 级数；z1解：1z11zf z z2z13 zz1z 11n0112n013z11 12 z3 zznz2n z或f z 12z21z1221z2 z2zzz1 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 122n0112n0z132 zzzn zz2n（2）求出函数 f z sin z3 z的奇点并判别它们的类型（包含无穷远点）；z1 1 3 1 5 1 1 2f z 3 z z z z zz 3. 5. 3. 5.所以 z 0 为 f z 的可去奇点（不含负幂项）, z 为 f z 的的本性奇点 （含无穷多正幂项）；名师归纳总结 19利用留数运算实积分xsin 2 x dx xf z 在 D 内解析,且第 4 页,共 4 页1解：xe ixdx2iRe sze iz,zi2ize izz ii12 x12 z2ze故xsinxdxReie.12 xe20设 C 区域 D 内一条正向简洁闭曲线,0z 为 C 内一点,假如f z 00,fz 00,在D内f z 无其它零点,试证：0, z 在0z 解析,1iCzf z dzf z z 02证：因f z 以0z 为一级极点,故f z zz 0 z ,z 0zf z zzz0 zzz 0z f z z 0 z 0故1iCzf dz1iCzzz 0dz1iCz dzz 002f z 22 - - - - - - -
