2022年2022年空间距离与空间角的求法 .pdf

空间距离与角的向量求法举例浙江省上虞市春晖中学张黎庆312353 用向量方法探求立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革特点，高中数学新课程标准 指出：立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合，以向量法为主， 这充分体现向量的工具作用。本文就立体几何中距离与角的的向量求法举例说明，供参考。一、 求距离11 求异面直线间的距离用向量法求异面直线间的距离的理论依据是：如图1，设 AC 是异面直线 AB 与 CD 的公垂线，则AB 与 CD 间的距离，就是向量BD在公垂线方向向量AC上的射影长度，即ACACBDd图 1 例 1 如图 2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是棱 CD 的中点，求异面直线A1C1和 B1E的距离。解：以 DA 、DC、DD1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2） ，C1（0，2，2） ，B1（ 2， 2，2） ，E（0， 1，0） ，)0,2,2(11CA，)2, 1,2(1EB图 2 )0,2,0(11BA， 设),(zyxn是异面直线A1C1和 B1E 的公垂线的一个方向向量，则011CAn，01EBn022022zyxyx，令1x，得)23,1, 1(n，异面直线 A1C1和 B1E的距离171744911211nBAnd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 12 求点到平面的距离利用向量方法求点到平面的距离的理论依据：设平面的一个法向量为n，点P 是平面外一点，且0P。则点P 到平面的距离为nnPPd0。例 2、 长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=2 ，AD=1 ，AA1=3，E、F 分别是棱 B1B、DC 的中点，求点E 到平面 A1FD1的距离。解：如图 3，以 D 点为坐标原点， DA 、DC、DD1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，则 A1（1，0，3） ，D1（0，0，3） ，F（0，1，0） ，E)23,2,1()0,0,1(11DA，)3, 1,0(1FD， 设 平 面A1FD1的法向量为),(zyxn由011DAn，01FDn，得030zyx，图 3 令 z=1 得)1 ,3,0(n又)23,2,0(1EA，点 E 到平面 A1FD1的距离为nnEAd1=1029=20109二、 求角21求异面直线所成的角名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 用向量法求异面直线所成的角的理论依据：设ba,是异面直线，CDAB,分别是直线ba,上的向量，则异面直线ba,所成的角CDABCDABCDABCDAB,2,2,0,例3 、 如 图4 ， 直 棱 柱111CBAABC中 ， 已 知090ABC，AB=a，BC=b ，BB1=c，M 、N 分别为B1C1和 AC 的中点。求异面直线AB1与 BC1所成的角。解：以 B 为原点， BA 、BC、BB1所在的直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则A（a，0，0） ， B1（0，0，c） ，C1（0，b，c）),0(),0,(11cbBCcaAB图 4 )(,cos22222111111cbbacBCABBCABBCAB所以，异面直线AB1与 BC1所成的角为)(arccos22222cbbac22 求直线与平面所成的角用向量法求直线与平面所成的角的理论依据：设 平 面的 一 个 法 向 量 为n，0PP与 平 面所 成 的 角 为， 则0,c o ssi nPPn00PPnnPP。例 4、如图5，直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 090ABCBAD，4,8,2ABADBC，异面直线AC1与 A1D互相垂直，求：A1D 与面 ADC1B1所成的角。解：以 A 为原点， AB 、AD 、AA1 所在的直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设aAA1则)0,0,0(A，),0,0(aB，)0,8,0(D，),2,4(1aC，),2,4(1aAC，),8,0(1aDA，由DAAC11得0162a，即4a图 5 设平面 ABC1B1的法向量),(zyxn，则0ADn，01ABn，又)0,8,0(AD，)4,0,4(1AB因此04408zxy， 取1x， 得)1,0, 1(n又)4,8,0(1DA， 设A1D与 面ADC1B1所 成 的 角 为， 则DAn1,c o ss i nDAnnDA11=1010，1010arcsin即 A1D 与面 ADC1B1所成的角为1010arcsin例 5（2003 年全国高考理科18 题）如图 6，在直棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ABC，侧棱21AA，ED 、分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G（）求BA1与平面ABD所成角的大小 (结果用图反三角函数值表示)；（）求点1A到平面AED的距离名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解：以 C 为原点， CA、CB、CC1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设CA=2a，则A（2a，0，0） ，B（0，2a，0） ，D（0，0，1）A1（ 2a，0， 2） ，E（a，a，1） ，G)31,32,32(aa)32,3,3(aaGE，)1 ,2,0(aBD032322aBDGE，解得 a=1，因此，平面ABD的法向量为)32,31,31(GE，)2,2,2(1BA图 6 设BA1与平面ABD所成角为，则1,cossinBAGE11BAGEGEBA=363234=32，所以，BA1与平面ABD所成角为32arcsin又设平面AED 的法向量为),(zyxn，)1 ,0,2(AD，)0,1, 1(ED由0,0EDnADn得002yxzx，令 x=1，得)2,1, 1(n) 1, 1 ,1(1EA则点1A到平面AED的距离nnEAd1=64=362名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 22求二面角用向量法求二面角的理论依据：已知二面角l，21,nn分别是平面和平面的一个法向量， 设二面角l的大小为，规定 0，则21,nn（这里若平面的法向量是指向平面内的一点，则平面的法向量必须是由平面内的一点指向二面角的内部，如图 7，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角21, nn，如图 8）图 7 图 8 例 6（2001 年高考题改编）如图 9，四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形，090ABCBAD，,2,1 ADABBCSASA底面 ABCD 。求面 SCD 与面 SAB 所成二面角余弦值的大小；解：以 A 为原点， AB、AD 、AS 所在的直线为x，y， z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(A，)0,0, 1(B，)0,1 ,1(C，)0,2,0(D，)1 ,0,0(S，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 因ABADADSA,，故 AD面 SAB，设)0,2,0(AD为面SAB 的法向量，设面SCD 的法向量为),(zyxn，则0CDn，0SCn，图 9 又)0,1 ,1(CD，)1, 1 ,1(SC， 所 以00zyxyx， 令1x， 则)2,1 ,1(n，所求二面角的余弦值为66,cosADnADnADn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -