2022年初中数学复习第四讲整式与分式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中学数学复习 一、学问结构第四讲整式与分式代数式整数分式分式分式因式整式整式的分式的整式的运运算的基的意算（加、有关概指数分解幂的（加、本性义减、乘、念运算减、乘、质除、乘方）除）说明：在本部分,代数式分为整式和分式争论；在实数范畴内,代数式分为有理 式和无理式,有理式分为整式和分式,整式分为单项式和多项式；二、学问点梳理1.代数式 ：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式；用数值代替代数式里的字母,根据代数式中的运算关系运算得出的结 果叫做 代数式的值 ；2.单项式 ：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（单独 一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的 系数（包 括符号）；一个单项式中,全部字母的指数的和叫做这个单项式的 次数 ；3.多项式 ：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项 式叫做多项式的 项,不含字母的项叫做 常数项 ；次数最高项的次数就 是这个多项式的 次数 ；4.整式 ：单项式、多项式统称为整式；5.分式 ：两个整式 A、B 相除,即 A÷ B 时,可以表示为 A .假如 B 中含有字母,B 那么A 叫做分式, A 叫做分式的分子, B 叫做分式的分母；B 6.同类项 ：所含的字母相同,且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项；把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项 ；一个多项式 合并后含有几项,这个多项式就叫做几项式；合并同类项的法就：把同类 项的系数相加的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变（合并同类项,法就不能忘,只求系数代数和,字母指数不变样）；7.整式的加减 ：整式的加减就是单项式、多项式的加减,可利用去括号法就和合并同类项来完成整式的加减运算；去括号法就 ：括号前面是“+”号,去掉“ +” 号和括号, 括号里的各项不变号； 括号前面是 “ ”号,去掉“ ” 号和括号,括号里的各项都变号；（括号前面是 “ +”名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载）号,去掉括号不变号；括号前面是“ ” 号,去掉括号都变号；8.同底数幂的乘法 ：同底数的幂相乘,底数不变,指数相加；amn a =am+n.（m、n 都是正整数）9.幂的乘方 ：幂的乘方,底数不变,指数相乘,即amnm n = a .（m、n 都是正整数）10.积的乘方 ：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即abnn n=a b .（n 为正整数）11.整式的乘法 ：（1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘,把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式,其余字母连同它 的指数不变,也作为积的因式；（2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘,用单项式乘 以多项式的每一项,再把所得的积相加；（3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘,先用一个多 项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得到的积相加；12.同底数幂的除法 ：同底数幂相除,底数不变,指数相减；即a m a n a m .（m、n 是正整数且 mn,a 0）. n任何不等于零的数的零次幂为 1,即0 a 1 a 013.整式的除法 ：（1）单项式除以单项式：两个单项式相除,把系数、同底数幂 分别相除作为商的因式, 对于只在被除式里含有的字母, 就 连同它的指数作为商的一个因式；（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式,先把多项式的每 一项除以单项式,再把所得的商相加；14.分式的基本性质 ：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式,分式的值不变,即AAMANBBMAN其中 M、N 为整式,且 B 0,M 0,N 0. 15.约分 ：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程,叫做约分；假如一个分式的分子与分母没有相同的因式（叫做最简分式 ；1 除外）,那么这个分式化简分式时, 假如分式的分子和分母都是单项式,约分时约去它们系数 的最大公因数、相同因式的最低次幂；假如分子、分母是多项式,先分 解因式,再约分；化简分式时要将分式化成最简分式或整式；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载16.通分 ：将几个异分母的分式分别化为与原先分式的值相等的同分母分式的过 程叫做通分；17.分式的运算 ：（1分式的乘除 ：两个分式相乘,将分子相乘的积作分子,分母 相乘的积作分母；分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒 位置后,再与被除式相乘；用式子表示为：ACA C ,B DDA D .B CBDACABDBC2分式的加减 ：同分母分式相加减,分母不变,分子相加减；异分母分式相加减,先将它们通分,然后进行加减；18.乘法公式 ：（1）平方差公式 ：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个 数的平方差,即ababa2b 2.（2）完全平方公式 ：两数和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或减去）它们积的两倍,即a b2a22 ab2 b,因式ab2a22 abb2.19.因式分解 ：把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解 ,也叫做把这个多项式 分解因式 ；（1）提取公因式法 ：（一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个 多项式的公因式 ；）假如一个多项式的各项含有公因式,那么 可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式,提取公因式 后的式子放在括号里, 作为另一个因式, 这种分解因式的方法 叫做提取公因式法；提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积；（2）公式法 ：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式 法；平方差公式 ：假如一个多项式能写成两个数的平方差的形式,那么就可以运用平方差公式把它因式分解,它等于这两个数 的和与这两个数的差的积；完全平方公式 ：假如一个多项式能写成两个数的平方和,加 上（或减去） 这两个数的积的两倍, 那么就可以运用完全平方 公式把它分解因式,它等于这两个数的和（或差）的平方；（3）十字相乘法 ：假如二次三项式x2pxq 中的常数项 q 能分解成两个因数 a 、b 的积,而且一次项系数 p 又恰好是 a+b,那名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 么x2px学习必备欢迎下载q 就可以进行如下的因式分解,即x2pxqx2ab xabxaxb.一般的,上式可以用十字交叉线表示：x +a x +b （4）分组分解法 ：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法；20.分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；一元方程的解也叫做方程的根,在分式方程变形时, 有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根叫做原分式方程的增根；21.整数指数幂：为了使同底数幂相除的性质在m、n 是正整数,且 mn 时仍成立,规定ap1（其中 a 0,p 是自然数）；ap整数指数幂运算性质：amn m + na = a （m、n 为整数, a 0）m aabnm n = a （m、n 为整数, a 0）nn n=a b （n 为整数, a 0,b 0）. 三、基本要求1.懂得用字母表示数的意义；懂得代数式的有关概念；2.通过列代数式,把握文字语言与数学式子的表述之间的转换,领会字母“ 代”数的数学思想；会求代数式的值；3.把握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法就,把握平方差公式、两数和（差）的平方公式；4.懂得因式分解的意义,把握提取公因式法、公式法、二次项系数为 1 时的十字 相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法；5.懂得分式的有关概念及其基本性质,把握分式的加、减、乘、除运算；6.懂得正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念,把握有关整数指数幂的 乘（除）、乘方等运算的法就；说明：在求代数式的值时,不涉及繁难的运算；不涉及繁难的整式运算,多项式除法中的除式限为单项式；在因式分解中, 被分解的多项式不超过四项, 不涉及添项、拆项等技巧；不涉及繁复的分式运算；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、重点和难点重点：整式与分式的运算,因式分解的基本方法,整数指数幂的运算；难点：挑选适当的方法因式分解及代数式的混合运算；五、中考考点考点 1：代数式的有关概念 考核要求：（1）把握代数式的概念,会判别代数式与方程、不等式的区分；（2）知道代数式的分类及各组成部分的概念,如整式、单项式、多项式；（3）知道代数式的书写格式 . 留意单项式与多项式次数的区分.例 1 （1）以下选项中是代数式的是 A 3 x8yB x29C xy4D x5y（2）1 x 32y 的系数是,次数是（3）2x2x1是次项式；（4）将xy222 x yx34y31按字母 x 的降幂排列分析： 1用运算符号 和括号 把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式； 2单项式的系数包括符号,次数是全部字母的指数的和；3次数最高项的次数就是这个多项式的次数；（4）按 x 的降幂排列,与 y 无关, y 相当于是常数；三（4）x322 x yxy24y31解：（1）A （2）13 （3）二3考点 2：列代数式和求代数式的值考核要求：（1）会用代数式表示常见的数量,会用代数式表示含有字母的简单应用题的结果；（2）通过列代数式,把握文字语言与数学式子表述之间的转换；（3）在求代数式的值的过程中,进行有理数的运算 例 2 （1）用代数式表示：. 比 a 的 3 倍仍多 2 的数；x 的立方根与 2 的和. 名师归纳总结 （2）当 a=2,a=-3,a=1 2时,求代数式3 a a21的值；第 5 页,共 13 页解：（1）3a+2 3 x2（2） 9 9 98- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点 3：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法就 考核要求：（1）把握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法就；（2）会用同底数幂的运算性质进行单项式的乘、除、乘方及简洁 混合运算；（3）会求多项式乘以或除以单项式的积或商；（4）会求两个或三个多项式的积 . . 留意：要敏捷懂得同类项的概念 例 3 （1） 如 2 x y 3 m 与 3 x y n 2 是同类项,就 m + n _ （2）先化简,再求值：2 a abab2,其中a2022,b20073 先化简,再求值：2 a b2ab22b3xb6ab ab ,其中a1,b12（4）已知 代数式3 x4的值为 9,就x24x6的值为 _ 3分析：（1）知道同类项的概念； （2）（3）要求娴熟把握整式的运算性质；（4）巧算；解：（1）5 （2）1 （3）1 （4）7 考点 4：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其简洁运用 考核要求：（1）把握平方差、两数和（差）的平方公式；（2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算；（3）能够运用整体思想将一些比较复杂的多项式运算转化为乘法 公式的形式 . 留意：（1）熟记平方差与完全平方公式； （2）完全平方公式、平方差公式中名师归纳总结 字母,不仅表示一个数,仍可以表示单项式、多项式. 2abb；第 6 页,共 13 页例 4 1 abcd； （2）（ab）a b 3 ab2；4a b2 . . 2（5）运算： 102× 98； 2 x52x5；a2a22 a4（6）运算：2x3y2；abc2；xy2xy2. 2解：（1）ac+ad+bc+bd （2）a2b2（3）a22 ab2 b （4）a（5）9996 ；42 x25；a416（6）4x212xy92 y ；a2b2c22ab2 bc2ac ；x2y24y4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点 5：因式分解的意义考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区分；（2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解仍是整式乘法2. 例 5 在以下从左到右的变形中,是因式分解的是（）. ；（A）abab a2b2；（B）ab2a22abb（C）2 a3b4a2b2a2b2a； （D）a22 a3aa23. 分析：因式分解与整式的乘法的过程正好相反；因式分解是从多项式变为几个整式的积, 而整式的乘法, 是把整式的积化为一个多项式或单项式；解： A 考点 6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系 数为 1 的十字相乘法）考核要求：把握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1 时的十字相乘法等因式分解的基本方法. 2x3 例 6 1 以下分解因式正确选项（） A 2x2xyx2xxy1 Bxy22xy3yyxy C xxyy xy xy2 D x2x3xx1 3（2）分解因式a32 ab = 3分解因式2x212x18（4）分解因式3 ax yaxy322 ax y2（5）将1x3 x2 x 分解因式的结果是4（6）分解因式 amanbmbn=_ _；解：（1）C （2） a abab（3）2x32（4）axy xy2（5）x x12（6） abmn2考点 7：分式的有关概念及其基本性质 考核要求：（1）会求分式有无意义或分式为 0 的条件；（2）懂得分式的有关概念及其基本性质；名师归纳总结 （3）能娴熟地进行通分、约分. 第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7 （1）如分式xx2x42学习必备欢迎下载的值为零 , 就 x 的值是 2 A.2 或-2 B.2 C.-2 D.4 （2）当 a111x时,分式a1有意义2a3（3）分式有意义的条件是1分析：（1）分子为零,而分母不为零； （2）（3）分母不为零；解：（1）C （2）a3（3）x1且x2；2说明：（1）如要分式有意义,就分母不为零（每一个分母）（2）如要分式的值为零,就分子为零,且分母不能为零；考点 8：分式的加、减、乘、除运算法就考核要求：（1）把握分式的运算法就；（2）能娴熟进行分式的运算、分式的化简y.x4 x y4x2x2y2例 8 （1）运算316xx5xxxyxy2x2 x4y（2）2a22ab2a3ab3b2解：（1）8 x；xxyy（2）3b 考点 9：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念考核要求：（1）懂得正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念；（2）知道分数指数幂的意义；例 9 使（3）能够运用零指数的条件进行式子取值范畴的争论. 2 a10有意义,就 a 的取值范畴是分析：0 a1a01 解：a 2 考点 10：整数指数幂,分数指数幂的运算 考核要求：（1）把握幂的运算法就；（2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算；（3）把握负整数指数式与分式的互化；（4）知道分数指数式与根式的互化；名师归纳总结 例 10 （1）运算：4x32x26x2xx12第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）先化简,再求值：a2学习必备欢迎下载4 a2b2, 其中 a=1,b=-1 2ab2 abb2ab2a2b解：（1）3x23 x4（2）1 2说明：（1）熟记整数指数幂的运算法就；（2）记住：ap1（其中 a 0,p 是自然数）；ap（3）知道分数指数幂：nm m a =a（a0）,1.n1m-m=a （a0）a其中 m、n为正整数, n六、真题再现一、挑选题名师归纳总结 1、（2007 湖北宜宾）实数 a、b 在数轴上的位置如下列图,就化简代数式| a+b a |第 9 页,共 13 页的结果是（）a0bA2a+b B2aCaDb第 1 题图 2、（2007 重庆）运算6 m33m2的结果是（）（A）3 m（B）2 m（C） m（D） m3、（2007 广州）以下运算中,正确选项（）Axx3x3Bx3xxCx3xx2Dx3x3x64、（2007 四川成都）以下运算正确选项（） 3 x2 x12 x2122xa2·a3a6a23a64、（2007 浙江嘉兴）化简： a12 a12（）（A）2（B）4（C）4a（D）2a 22 5、（2007 哈尔滨）以下运算中,正确选项（）A 3 a2 b5 abBaa4a4Ca6a2a3D3 a b26 a b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6（2007 福建晋江）对于非零实数 m ,以下式子运算正确选项（）Am32m9；Bm3m2m6；Cm2m3m5；Dm6m2xm4；7（2007 福建晋江）以下因式分解正确选项（）1A4x23x2x2x 3x；Bx23 x4x4；C14xx2 12x2；Dx2yxyx3yxxyyx2y8、（2007 湖北恩施）以下运算正确选项（） A 、a3a2a6 B 、b4b42b4 C、x55 x10 x D、y7yy89、（2007 山东淮坊） 代数式3x24x6的值为 9,就x24x6的值为（3A 7B18C12D 910、（2007 江西南昌） 以下各式中,与a12相等的是（）B Aa21Ba22a1Ca22 a1Da21二、填空题1、（200 浙江义乌）当 x=2,代数式 2 x 1 的值为 _ _2、（2007 湖北宜宾）因式分解： xy 22xy+x = .3、（2007 浙江金华）分解因式：2 x 2184、（2007 江苏盐城）分解因式：x 92；2 25、（2007 哈尔滨）分解因式：3 ax 3 ay6、（2007 湖北恩施）分解因式 a 3ab 27、（2007 山东烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式,并写出分解因式的结果3 m n 28、（2007 湖南株州）如 2 x y 与 3 x y 是同类项,就 m+n_. 9、（2007 浙江温州）运算：m 1 n . mn m 1x 3 2 x10、（2007 四川内江）化简：2x 2 x 411、（2007 山东淮坊） 在实数范畴内分解因式：4 m 28 m 4三、解答题名师归纳总结 1、（2007 浙江温州）给出三个多项式：1x2x1,1x23 x1,1x2x ,第 10 页,共 13 页222请你挑选其中两个进行加法运算,并把结果因式分解；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2aa1 ,其中a21；2、（ 2007 福建晋江）先化简,再求值：a1 3、（ 2007 重庆）先化简,再求值：x222xx12x1,其中x1；x1x124、（ 2007 江西）化简：1a244·aa25、（2007 山东烟台）有意道题： “ 先化简,再求值：x3x6 x92 x19,其x32中“x=一2007 ”小亮同学做题时把“x= 一2007 ” 错抄成了“x=2007 ” ,但他的运算结果也是正确的,请你说明这是怎么,回事6、（ 2007 江苏常州）x244x127、（ 2007 哈 尔滨 ）先化 简 , 再求 代数 式aaba2 ab2 b的 值 , 其 中a名师归纳总结 a3 t an 30,b2 cos45第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8、（2007 湖北恩施） 求代数式的值 : x2112x ÷xx1, 其中 x3 1. a2a2b24 b21,然后挑选一个xx9、（ 2007 辽宁旅顺口）先化简代数式aba2 b4 ab使原式有意义的 a 、b 值代入求值 . 答案：一： D、B、C、 D、C、D、D、C、D、A、B 名师归纳总结 二：（1）3 （2）x y12（3） 2x3x3（4）x3x3第 12 页,共 13 页（5） 3a xyxy（6） a abab（7）答案不唯独（8）5 （9）1 m（10）1 （11） 4m21m21三： 1.解：如挑选多项式：12 xx1,12 x3x122就：1x2x11x23 x1x24xx x4222.解：3a1,324；3.解：原式x11,当x1时,原式 2 24.解：原式a22444aa2aa22 aa2aa2a2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.解：原式x26x9学习必备欢迎下载2 x 9,6xx29x29名师归纳总结 x= 一2007 或 x=2007 ,x29 都是 2022；21x12第 13 页,共 13 页6.解：原式x4x2xx22x4xx22xx222x22x7.解：原式aaba22abb2aabaa2a1bab2当a3tan 30133131,b2 cos45232原式a1b31131 1338.解：原式（x212x）xx1 xx2 xx1x+2 xx1x1把 x3 1 代入原式3 3 9.解：aba2a2b24 b21=abaab2 2b 1a2b4aba2 ba=a2 bab=abba ab 2 ba ab b=ab当ab1时,原式11112- - 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