2022年完整word版,清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案清华高校其次学期期末考试模拟试卷一填空题（此题满分30 分,共有10 道小题,每道小题3 分）,请将合适的答案填在空中1. 设向量 AB 的终点坐标为 B 2 , ,1 7,它在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的投影依次为 4 、4 和 7 ,就该向量的起点 A 的坐标为 _ 2. 设 a、 b 、c都是单位向量,且满意 a b c 0,就 a b b c c a_ 2 z3. 设 z sin xy cos xy,就 _y2y z4. 设 z x,就 _x y5. 某 工 厂 的 生 产 函 数 是 Q f L , K , 已 知 . 当 L 64 K 20 时 ,Q 25000；（2）当 L 64 K 20 时,劳力的边际生产率和投资的边际生产率为 Lf 270,f K 350；假如工厂方案扩大投入到 L 69 K 24,就产量的近似增量为 _ 1 2 y y 26. 交换积分次序,有 dy f x , y dx _0 y7. 设级数 u n 收敛,且 u n u,就级数 u n u n 1 _n 1 n 1 n 18. p 级数 1p 在 p 满意 _条件下收敛n 1 n9. 微分方程 y x sin x 的通解为 y _第 1 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案解y10. 对于微分方程y3y2yex,利用待定系数法求其特解* y 时,应设其特*_ （只需列出特解形式,不必详细求出系数）答案：1. A2,3 ,0；xysinxy；2. cos3 2；2xxcosxy3. 4. xy11ylnx；5. 2750单位；0111,xydy；和y3z2平行的直线方程6. dxfx ,ydydxfx1x011x22z17. 2uu0；8. p1；C 2；9. 1x3sinxC 1x610. y*Axex二（此题满分8 分）求过点P 0,12 ,3,且与两平面解：n1所求直线 l 过点P 0x,12 ,13,设其方向向量为s,s同时垂直于向量由于 l 平行于平面2z和y3z2,所以其方向向量1 ,0 ,2与n20,1 ,3第 2 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案因此,方向向量s可取为,ijk2i3jksns102013从而所求直线方程为三（此题满分8 分）,yx1y32z132设函数uxkFz,其中 k 是常数,函数 F 具有连续的一阶偏导数试求xxxuyuzuxyz解：ukkxk1F,z,yyzxkxkF 1z,yyz2F2xkF2z,yyxxxxxx2xxx2kx1Fz,y2F 1z x,yz,yyxkxxxxxuz1xkz x,xkF21F2yxxxxuxkF 1z,y1xk1F 1z x,yzxxxx所以,xuyuzuxyz第 3 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案xk kx1Fz,zyy2zxk2F 1z,yyxk2F 2z,yxxxxxxyzxk1F 1z,yxk1F2,xxxxkxkFz,yxxx2y 2exy 2dxdy的值四（此题满分8 分）运算二重积分I4解：作极坐标变换：xrcos,eyrsin,就有Iex2y 2dxdy22r2rdrdx 2y240021er224 e120五（此题满分8 分）某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为x 台和 y 台,成本函数为cx,yx22y2xy（万元）如市场调查分析,共需两种机床 少？解：8 台,求如何支配生产,总成本最少？最小成本为多即求成本函数cx ,y在条件xy8下的最小值第 4 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案构造帮助函数Fx,yx22y2xyxy8 5台和3台时, 总成本Fx2xy0解方程组Fyx4y0Fxy80解得7,x5,y3这唯独的一组解, 即为所求, 当这两种型号的机床分别生产最小,最小成本为：c5 ,3 5222 35328（万）x2绽开为 x 的幂级数；六（此题满分10 分）xln1. 将fxxarctan. 指出该幂级数的收敛域；. 求级数n1n21n1的和n解：. 由于arctanx112dtn0n1n x2nnt2 nx1,且arctan 010,所以,xarctanxx01nt2nx1dtn021nx2 nx110n0 0n1而ln1x21ln1x21n11nx2n1x122n所以,第 5 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案fxxarctanxln1x2111 ,1xn01n2 xn11n11nx2n2 n12nn01nx2n2n021nx2n12 n1n1n01n2112n12x2n2nn02n11n2x2n21x2 n. 幂级数n02 n11n2x2n2的收敛域为2 n. 令x1,就有n1n1n12n12 n1n12 n2nln22f121arctan 1ln1122422ln2七（此题满分10 分）求微分方程x ylnxyxlnx1的通解解：该方程为一阶线性微分方程yx1xylnxx1lnln因此,第 6 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案Pxx1x,Qxlnxx1lnln代入一阶线性微分方程的求解公式,有yex1xdxlnxx1e1xdxdxClnxlnln1lnx1lnxdxClnxlnx1lnx1dxClnx1xlnxClnx所以,原方程的通解为y1xlnxCnx1Clnxlnx八（此题满分10 分）n的肯定收敛性与条件收敛性1nln争论级数n1解：. 由于级数n11nlnnn1为交叉级数,u nlnnn1由于,u n1unlnn2lnnn1lnn2nlnnn22 n10n1n1222 n所以数列un单调削减而且lim nun0lim nlnnn1因此由 Leibniz 判别法知,级数1nlnnn1收敛n1. 争论级数n11nlnnn1n1lnnn1其前 n 项部分和为第 7 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案s nkn1lnkk11lnnln2ln1ln3ln2ln4ln3lnnln n1ny满意方程所以,级数n11nlnnn1n1lnnn1发散综上所述知,级数n11nlnnn1条件收敛九（此题满分8 分）设函数fu具有二阶连续的导函数,而且zfex sin2z2z2 exz,x2y2试求函数fu解：设uex siny,就有zxffuex cosyzfuex siny,xyzfue2xsin2yfuexsiny2所以,x22zfue2xcos2yuexsinyx2代入方程2z2ze2z,x2y2第 8 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次学期高等数学期末考试试卷答案得,fue 2xsin2yefuexsiny0fue 2xcos2yfuexsinye2xz即,fu2 exfu2xfuuf由此得微分方程解此二阶线性微分方程,得其通解为fuC 1u eC2eu（C 与C 为任意常数）此即为所求函数第 9 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页
