2022年多元函数微分学复习题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 第八章精品资料欢迎下载复习题及解答多元函数微分法及其应用一、挑选题1.极限 lim x 0x2 x y2= 等于1；D 存在且不等于0 或1 2（ B ）4yy0A 等于 0；B 不存在； C2（提示：令y2 2k x ）1xy0,就极限 lim x 0f x y , = （ C ）2、设函数f , xsin1ysinyx0xy0y0等于 2 A 不存在； B等于 1； C等于 0； D（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）3、设函数 f x y , xxyy2x2y20,就f x y（ A ）2A 到处连续；0x2y20B 到处有极限,但不连续；C 仅在（ 0,0）点连续；D 除（ 0,0）点外到处连续名师归纳总结 （提示：在x2y20,f x y 到处连续；在x0,y0,令 ykx ,第 1 页,共 6 页lim x 0y 0x22 kx2lim x 0kx20f0,0,故在x2y20,函数亦连续；所以,2 k x1kf x y 在整个定义域内到处连续；）处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）4、函数 zf x y , 在点 x 0,y0A 必要而非充分条件；B 充分而非必要条件；C充分必要条件；D 既非充分又非必要条件5、设 uarctany,就u= （ B ）xxA x2xy2；B x2yy2；C x2yy2；D x2xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6、设 f x yarcsiny精品资料欢迎下载（ A ）,就 f x ' , x（A ）1；（B）1 4；（C）1；（D）1 2（C）427、如zlnxy,就xzyzxy（A）xy；（B）xy；（C）1 ；2（ D）1（C）28、设zarctanx,xuv,yuv,就zuz vy（A）uv2；（B）vu2；（C）uv2；（D）uvu2u2vu2vu2v2v9、如 f x ,2x x23 x f , 2x6x1,就 fy ' , 2x= （ D ）xA x3；B x3；C 2x1；D 2x12210、设 zyx ,就 zz , C 0 ；D 1 （ A ）xyA 2 ；B 1+ln2 ；11、设函数 z1x2y2 ,就点 , 0 0是函数z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点；（C）微小值点但非最小值点；（B）极大值点且是最大值点；（D）微小值点且是最小值点；12、设函数 zf , 具有二阶连续偏导数,在P 0x0,y0 处,有2（ C ）fxP 0,0fyP 0,0fxxP 0fyyP 00 ,fxyP 0fyxP 0,就（A ）点 P0 是函数 z 的极大值点；（C）点 P0 非函数 z 的极值点；二、填空题（B）点 P0 是函数 z 的微小值点；（D）条件不够,无法判定；名师归纳总结 1、极限 lim sin y x 0 x xy = =；答：第 2 页,共 6 页2、极限 lim ln x 0yex 2；答： ln2x2y2y1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、函数 zlnxy 的定义域为精品资料欢迎下载y1；答： x4、函数 zarcsinx的定义域为；答：1x1, y02f , y5、设函数f x y , x2y2xylny,就 f kx ky = ；答： kx6、设函数f , xxyy,就 f xy xy = ；答：2 x2y2x（f xy xyxyyxyx22y2）xxyx9、设7、设 zsin3xyy,就zx2_ ；答： 3cos5 xy18、函数 zz x y , 由方程 xyzexy z 所确定,就2z0 x2uxlnxy,就2u= _ ；答：1 yx y9、函数 z2x23 y24x6y1的驻点是 _；答：（1, 1）三、运算题名师归纳总结 1、求以下二元函数的定义域,并绘出定义域的图形. 第 3 页,共 6 页1z12 xy2 2zlnxy3zln1y 4zlnxy1x解： 1 要使函数z12 xy2有意义,必需有1x2y20,即有x2y21. 故所求函数的定义域为Dx y , |x2y21, 图形为图 3.1 2 要 使 函 数zlnxy有 意 义 , 必 须 有xy0. 故 所 有 函 数 的 定 义 域 为D , |xy0,图形为图3.2 3 要使函数zln1y有意义,必需有lnxy0,即xy0且xy1. x故该函数的定义域为D , |xy0,xy1,图形为图3.3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 要使函数zlnxy1精品资料欢迎下载0. 故该函数的定义域为有意义,必需有xy1Dx y |xyy1,图形为图3.4 yx+y=0O1xO1x图 3.1 图 3.2 yy1x+y=0O1x11y=1/x-1Ox图 3.3 x+y=1-1图 3.4 2、求极限 lim x 0y 04xyexxy；16解： lim x 0y 04xyexxyxy16lim x 0x xye416xyy0= - 8 3、设函数 z2 z x y , 由方程 xy zxyz所确定,求z；答：2 xyz1 xy1y24、设 zyx lnxy ,求z,z；xy名师归纳总结 解： z xyxlnylnxy1yx第 4 页,共 6 页x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - zyxyx1lnxy1yx精品资料欢迎下载y四、应用题；1、某工厂生产两种产品甲和乙,出售单价分别为10 元与 9 元,生产 x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是4002x3y0. 01 3 x2xy3y2元,求取得最大利润时,两种产品的产量各为多少？解：Lx,y表示获得的总利润,就总利润等于总收益与总费用之差,即有,3y2利润目标函数Lx,y 10x9y4002x3y0.01 3x2xyy0,8x6y0. 01 3 x2xy3y2400,x0令Lx80 . 01 6 x6y 0,解得唯独驻点（120,80）. Ly60 . 01 xy 0120 单位产又因ALxx0. 060 ,BLxy0.01 ,CLyy0. 06,得ACB23.51030. 得极大值L 120,80320. 依据实际情形,此极大值就是最大值故生产品甲与 80 单位产品乙时所得利润最大320 元. 五、证明题1、设ze11求证x 2zy2z2 z1所以xyxy证明：由于ze111 x 2ze111 y 2xyxyxyx2z xy 2z ye11e112zxyxy2设 2sinx 2y 3z x 2y 3z证明zzxy证明：设 Fx y z 2sinx 2y 3z x 2y 3z就Fx 2cosx 2y 3z 1 Fy 2cosx 2y 3z 2 2 2Fx名师归纳总结 Fz 2cosx 2y 3z 3 33Fx2F x2第 5 页,共 6 页FyzF xF x1zxF z3 x3yF z3F x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是zzF xF z1精品资料欢迎下载2 31xyFzF z33、设 x xy z y yx z z zx y都是由方程 Fx y z 0 所确定的具有连续偏导数的函数 证明 x y z 1y z x解：由于名师归纳总结 所以xyFyyF zzF xF x1第 6 页,共 6 页yF xzFyxF zxF yzF zyzxF xF yF z- - - - - - -
