2022年勾股定理全章教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 课题学习必备欢迎下载勾股定理（一）教学目标 1明白勾股定理的发觉过程,把握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股 定理；2培育在实际生活中发觉问题总结规律的意识和才能；3介绍我国古代在勾股定理争论方面所取得的成就,激发同学的爱国热忱,促其勤奋学习；教学重点勾股定理的内容及证明；争论完善教学难点勾股定理的证明；学习流程三、例题的意图分析 例 1（补充）通过对定理的证明,让同学确信定理的正确性；通过拼 图,发散同学的思维, 锤炼同学的动手实践才能；这个古老的出色的证法,出自我国古代无名数学家之手；激发同学的民族骄傲感,和爱国情怀；例 2 使同学明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积 不会转变；进一步让同学确信勾股定理的正确性；四、课堂引入 目前世界上很多科学家正在试图查找其他星球的“ 人”,为此向宇宙 发出了很多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等；我国数学家 华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,假如宇宙人是“ 文明人”,那么他们肯定会识别这种语言的；这个事实可以说明勾股定理的重大意 义；特别是在两千年前,是特别了不得的成就；让同学画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角ABC ,用刻度尺量出AB的长；以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发觉的,他说：“ 把一根直尺折成直角,两段连结得始终角三角形,勾广三,股修四,名师归纳总结 弦隅五；” 这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是ca3,长第 1 页,共 13 页的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的C长是 5；D再画一个两直角边为5 和 12 的直角BABC ,用刻度尺量 AB 的长；你是否发觉 3 2+4 2 与 5 2 的关系, 5 2+12 2 和13 2 的关系,即 32+4 2=5 2,52+12 2=13 2,那么就有勾2+股2=弦2；b对于任意的直角三角形也有这个性质吗？A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、例习题分析例 1（补充）已知：在边为 a、b、c；求证： a 2b2=c2；ABC 中, C=90° , A、 B、 C 的对分析：让同学预备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让同学拼 摆不同的外形,利用面积相等进行证明；拼成如下列图,其等量关系为：4S +S 小正=S 大正4×1 ab（ ba）2=c 2,化简可证；2 发挥同学的想象才能拼出不同的图形,进行证明； 勾股定理的证明方法,达300 余种；这个古老的出色的证法,出自我国古代无名数学家之手；激发同学的民族骄傲感,和爱国情怀；例 2 已知：在ABC 中, C=90° , A、 B、C 的对边为 a、b、c；求 证 ： a2aabcccabaabab2=c2；c分析：左右两边的正方形 边 长 相bcbabcbb等,就两个正方形的面a积相等；左边S=4×21abc22右边 S=（a+b）左边和右边面积相等,即4×1abc2=（a+b）22化简可证；六、课堂练习名师归纳总结 1勾股定理的具体D内容第 2 页,共 13 页是：A；B2如图,直角ABC的主要性质是：C=90° ,（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；C 如D为 斜 边 中 点 , 就 斜 边 中线； 如 B=30 °, 就 B的 对 边 和 斜边：；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三边之间的关系：学习必备欢迎下载；3 ABC 的三边 a、b、 c,如满意 b2= a2c2,就=90° ； 如满意 b 2 c 2a 2,就 B 是角； 如满意 b 2AaDc 2a2,就 B 是角；4依据如下列图,利用面积法证明勾股定理；cbE七、课后练习BcbaC1已知在 Rt ABC 中,B=90 ° ,a、b、c 是 ABC的三边,就c= ；（已知 a、b,求 c）a= ；（已知 b、c,求 a）b= ；（已知 a、c,求 b）2如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有 a bc,试依据表中已有数的规律,写出当a=19 时, b,c 的值,并把b、c 用含 a 的代数式表示出来；3、4、5 3 2+4 2=5 25、12、13 5 2+12 2=13 27、24、25 7 2+24 2=25 29、40、41 9 2+40 2=41 2 19,b、c 19 2+b 2=c 23在 ABC 中, BAC=120 ° , AB=AC= 10 3 cm,一动点 P 从 B 向C 以每秒 2cm 的速度移动,问当 P 点移动多少秒时,PA 与腰垂直；4已知：如图,在ABC 中, AB=AC ,D 在 CB 的延长线上；求证： AD 2AB 2=BD ·CD 如 D 在 CB 上,结论如何, 试 A证明你的结论；DBC课后反思名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题学习必备欢迎下载勾股定理（四）1会用勾股定懂得决较综合的问题；教学目标2树立数形结合的思想；教学重点勾股定理的综合应用；争论完善教学难点勾股定理的综合应用；学习流程三、例题的意图分析例 1（补充）“ 双垂图” 是中考重要的考点,娴熟把握“ 双垂图” 的图形结构和图形性质,通过争论、运算等使同学能够敏捷应用；目前“ 双垂图” 需要把握的学问点有：3 个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30° 或 45° 特别角的特别性质等；例 2（补充）让同学留意所求结论的开放性,依据已知条件,作适当 帮助线求出三角形中的边和角；让同学把握解一般三角形的问题常常通过 作高转化为直角三角形的问题；使同学清晰作帮助线不能破坏已知角；例 3（补充）让同学把握不规章图形的面积,可转化为特别图形求解,此题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面 积之差；在转化的过程中留意条件的合理运用；让同学把前面学过的学问和新学问综合运用,提高解题的综合才能；例 4（教材 P76 页探究 3）让同学利用尺规作图和勾股定理画出数轴 上的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论；四、课堂引入 复习勾股定理的内容；本节课探究勾股定理的综合应用；五、例习题分析例 1（补充） 1已知：在A=60 ° , CD= 3 ,求线段 AB 的长；Rt ABC 中, C=90° , CDBC 于 D,分析：此题是“ 双垂图” 的运算题,“ 双垂图” 是中考重要的考点,所以要求同学对图形及性质把握特别娴熟,能够敏捷应用；目前“ 双垂图” 需要把握的学问点有：3 个直角三角形,三个勾股C定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角, 及 30° 或 45° 特别角的特别性质等；要求同学能够自己画图,并正确标图；引导BDA同学分析：欲求AB ,可由 AB=BD+CD ,分别在两个三角形中利用勾股定理和特别角,求出BD=3 和 AD=1 ；或欲求 AB ,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可由ABAC2BC2学习必备欢迎下载,分别在两个三角形中利用勾股定理和特别角,求出 AC=2 和 BC=6 ；例 2（补充）已知：如图, ABC 中,AC=4 ,ACBB=45 ° , A=60 ° ,依据题设可知什么？分析：由于此题中的ABC 不是直角三角形,D所以依据题设只能直接求得ACB=75 ° ；在同学充分摸索和争论后,发觉添置AB 边上的高这条帮助线,就可以求得AD ,CD ,BD ,AB ,BC 及 S ABC；让同学充分争论仍可以作其它帮助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问 题；并指出如何作帮助线？解略；例 3（补充）已知：如图,B=AD=90 ° , A=60 ° , AB=4 ,CD=2；求：四边形 ABCD 的面积；D 分析：如何构造直角三角形是解此题的关键,可以连结AC ,或延长 AB 、DC 交于BCEF,或延长 AD 、BC 交于 E,依据此题给定的角应选后两种,进一步依据此题给定的边选第三种较为简洁；教学中要逐层展现给同学,让同学深化体会；解：延长 AD 、BC 交于 E； A= 60° , B=90 ° , E=30° ； AE=2AB=8 ,CE=2CD=4 , BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=48 =43；63 DE2= CE2-CD2=42-22=12, DE=12 =23DE= S 四边形 ABCD =S ABE -S CDE=1AB ·BE-1CD·22小结：不规章图形的面积,可转化为特别图形求解,此题通过将图形 转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差；例 4（教材 P76 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴 上的点与实数一一对应的理论；变式训练：在数轴上画出表示31 2,2的点；六、课堂练习名师归纳总结 1 ABC中, AB=AC=25cm ,高AD=20cm, 就 BC= ,S第 5 页,共 13 页ABC= ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备3欢迎下载度,2 ABC 中,如 A=2 B=3C,AC=2cm,就 A= B= 度 , C= 度 ,ACBC= ,SABC = ；3 ABC中, C=90 ° , AB=4 ,BC=23,CD AB 于 D,就 AC= ,CD= ,BBD= ,AD= ,SABC = ；4已知：如图,ABC 中, AB=26 ,BC=25 ,AC=17 ,求 S ABC ；七、课后练习1在 Rt ABC 中, C=90° , CD BC 于 D, A=60 ° , CD=3 ,CAB= ；2在 Rt ABC 中,C=90° ,S ABC =30,c=13,且 a b,就 a= b= ；3已知：如图,在ABC 中, B=30 ° ,C=45 ° , AC=22,A求（ 1）AB 的长；（2）S ABC ；B4在数轴上画出表示5,25的点；课后反思名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题学习必备欢迎下载勾股定理的逆定理（一）1体会勾股定理的逆定理得出过程,把握勾股定理的逆定理；教学目标2探究勾股定理的逆定理的证明方法；3懂得原命题、逆命题、逆定理的概念及关系；教学重点1重点：把握勾股定理的逆定理及证明；争论完善教学难点2难点：勾股定理的逆定理的证明；学习流程三、例题的意图分析 例 1（补充）使同学明白命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间 的关系；例 2（ P82 探究）通过让同学动手操作,画好图形后剪下放到一起观 察能否重合,激发同学的爱好和求知欲,锤炼同学的动手操作才能,再通 过探究理论证明方法,使实践上升到理论,提高同学的理性思维；例 3（补充）使同学明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否 是直角三角形的一般步骤：先判定那条边最大；分别用代数方法运算 出 a 2+b 2 和 c 2 的值；判定 a 2+b 2 和 c 2 是否相等,如相等,就是直角三角 形；如不相等,就不是直角三角形；四、课堂引入 创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定 进行对比,从勾股定理的逆命题进行猜想；五、例习题分析 例 1（补充）说出以下命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补,两条直线平行；假如两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；直角三角形中30° 角所对的直角边等于斜边的一半；分析：每个命题都有逆命题,说逆命题时留意将题设和结论调换即 可,但要分清题设和结论,并留意语言的运用；理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能 都真,也可能一真一假,仍可能都假；解略；名师归纳总结 例 2（P82 探究）证明：假如三2,BcaAbB1aA1第 7 页,共 13 页角形的三边长a,b,c 满意 a 2+b2=cb那么这个三角形是直角三角形；分析：留意命题证明的格式,首先要依据题意画出图形,然后写已CC1知求证；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如何判定一个三角形是直角三角形,现在只知道如有一个角是直角 的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判定一个角是直角；利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题 得以解决；先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理运算斜边 A 1B1=c,就通过三边对应相等的两个三角形全等可证；先让同学动手操作,画好图形后剪下放到一起观看能否重合,激发 同学的爱好和求知欲,再探究理论证明方法；充分利用这道题锤炼同学的 动手操作才能,由实践到理论同学更简洁接受；证明略；例 3（补充）已知：在ABC 中, A、 B、 C 的对边分别是 a、21（n1）b、c,a=n 2 1,b=2n,c=n 求证： C=90° ；分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的 一般步骤：先判定那条边最大；分别用代数方法运算出 a2+b 2 和 c2 的 值；判定 a 2+b 2 和 c 2 是否相等,如相等,就是直角三角形；如不相等,就不是直角三角形；要证 C=90° ,只要证ABC 是直角三角形, 并且 c 边最大； 依据 2+b 2=c 2 即可；勾股定理的逆定理只要证明 a 由于 a2+b 2= （n 21） 2（ 2n） 2=n 42n21, c2=（n 21）2= n 42n 21,从而 a 2+b 2=c 2,故命题获证；六、课堂练习1判定题；在一个三角形中,假如一边上的中线等于这条边的一半,那么这条 边所对的角是直角；命题：“ 在一个三角形中,有一个角是 一边的一半；” 的逆命题是真命题；30° ,那么它所对的边是另勾股定理的逆定理是：假如两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么这个三角形是直角三角形； ABC 的三边之比是1：1：2 ,就 ABC 是直角三角形；2 ABC 中 A、 B、 C 的对边分别是 命题是（）a、b、c,以下命题中的假A假如 C B=A,就 ABC 是直角三角形；B假如 c 2= b 2a 2,就 ABC 是直角三角形,且C=90° ；ABC 是直角三角形；C假如（ ca）（ ca）=b 2,就D假如 A ： B： C=5：2：3,就 ABC 是直角三角形；3以下四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8,b=15,c=17 Ba=9,b=12, c=15 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - Ca=5 , b=3 ,c=2学习必备欢迎下载Da：b：c=2： 3：4 4已知：在ABC 中, A、 B、 C 的对边分别是a、b、 c,分别为以下长度,判定该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3 , b=22,c=5 ；a=5,b=7,c=9； a=5,b=26, c=1；a=2,b=3 , c=7 ；七、课后练习,1表达以下命题的逆命题,并判定逆命题是否正确；假如 a 30,那么 a 20；假如三角形有一个角小于90° ,那么这个三角形是锐角三角形；假如两个三角形全等,那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段肯定相等；2填空题；任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有；三角形,；“ 两直线平行,内错角相等；在ABC 中,如 a 2=b 2 c” 的逆定理是是2,就ABC是直角；如 a 2b 2c 2,就 B 是；2 n 2,就ABC是如在ABC中, a=m 2 n2, b=2mn , c= m三角形；3如三角形的三边是1、3 、2；1,1,1；32,42,523459,40,41；（ mn）21,2（mn）,（mn）（）21；就构成的是直角三角形的有A2 个B个个个4已知：在ABC 中, A、 B、 C 的对边分别是a、b、c,分别为以下长度,判定该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a=9,b=41,c=40；a=15, b=16,c=6； a=2,b=23,c=4；a=5k,b=12k,c=13k（k0）；课后反思：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题学习必备欢迎下载勾股定理的逆定理（二）1敏捷应用勾股定理及逆定懂得决实际问题；教学目标2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的熟悉；教学重点敏捷应用勾股定理及逆定懂得决实际问题；争论完善教学难点敏捷应用勾股定理及逆定懂得决实际问题；学习流程三、例题的意图分析 例 1（P83 例 2）让同学养成利用勾股定理的逆定懂得决实际问题的意 识；例 2（补充）培育同学利用方程思想解决问题,进一步养成利用勾股 定理的逆定懂得决实际问题的意识；四、课堂引入QSNRE创设情境：在军事和航海上常常要确定方向和位置,从而使用一些数学学问和数学方法；五、例习题分析P例 1（P83 例 2）分析：明白方位角,及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=12× 1.5=18,PQ=16× 1.5=24,QR=30；由于 242+182=302,PQ2+PR2=QR2,依据勾股定理的逆定理,知 QPR=90° ； PRS=QPR-QPS=45° ；小结： 让同学养成 “ 已知三边求角,利用勾股定理的逆定理”的意识；例 2（补充）一根 30 米长的细绳折成 3 段,围成一个三角形,其中一 条边的长度比较短边长 7 米,比较长边短 1 米,请你试判定这个三角形的 外形；分析：如判定三角形的外形,先求三角形的三边长；设未知数列方程,求出三角形的三边长 5、12、13；依据勾股定理的逆定理,由 5 2+12 2=13 2,知三角形为直角三角形；解略；名师归纳总结 六、课堂练习ABNCCBE A第 10 页,共 13 页1小强在操场上向东走80m 后,又走了60m,再走100m 回到原地；小强在操场上D向 东 走 了80m后 , 又 走60m的 方 向是；2如图,在操场上竖直立着一根长为2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 米的测影竿, 早晨测得它的影长为学习必备欢迎下载1 米,就 A 、4 米,中午测得它的影长为B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？3如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆,我海军甲、乙两艘巡逻艇立刻从相距13 海里的 A、B 两个基地前去拦截,六分钟后同时到达 C 地将其拦截；已知甲巡逻艇每小时航行120 海里,乙巡逻艇每小时航行 50 海里,航向为北偏西 40° ,问：甲巡逻艇的航向？七、课后练习1一根 24 米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,就三边长分别为, 此 三 角 形 的 形 状AC爸爸为；2一根 12 米的电线杆AB ,用铁丝 AC 、AD固定,现已知用去铁丝AC=15 米, AD=13 米,又测得地面上B、C 两点之间距离是9 米,B、D两点之间距离是5 米,就电线杆和地面是否垂直,B为什么？D3如图, 小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,让小明运算一下土地的面积,以便运算一下DC产量；小明找了一卷米尺,测得AB=4 米,BBC=3 米,CD=13 米,DA=12 米,又已知B=90° ；A课后反思：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课题学习必备欢迎下载勾股定理的逆定理（三）教学目标 1应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形；2敏捷应用勾股定理及逆定懂得综合题；3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的熟悉；教学重点重点：利用勾股定理及逆定懂得综合题；争论完善教学难点利用勾股定理及逆定懂得综合题；学习流程三、例题的意图分析 例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判定三角形的外形；例 2（补充）使同学把握争论四边形的问题,通常添置帮助线把它转化为争论三角形的问题；此题帮助线作平行线间距离无法求解；制造 3、4、5 勾股数,利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离；例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用,留意条件的转化及变形；四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档,常常综合应用来解决一些难度较大的题目；五、例习题分析 例 1（补充）已知：在ABC 中, A、 B、 C 的对边分别是 a、b、c,满意 a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ；试判定ABC 的外形；A D 分析： 移项, 配成三个完全平方；三个非负数的和为 0,就都为 0；已知 a、b、c,利用 勾股定理的逆定理判定三角形的外形为直角三角 形；例 2（补充） 已知： 如图, 四边形 ABCD ,ADBEC BC,AB=4 ,BC=6, CD=5, AD=3 ；求：四边形ABCD 的面积；分析： 作 DE AB ,连结 BD,就可以证明DE=AB=4 ,BE=AD=3 , EC=EB=3 ；在ABD EDB（ASA ）；DEC 中, 3、 4、5 勾股名师归纳总结 数, DEC 为直角三角形,DEBC；利用梯形BCA第 12 页,共 13 页面积公式可解,或利用三角形的面积；D例 3（补充）已知：如图,在ABC中, CD是 AB 边上的高,且CD2=AD ·BD；求证：ABC 是直角三角形；分析： AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC2+BC2=AD2+2CD学习必备欢迎下载2+BD2 =AD2+2AD ·BD+BD2 =（AD+BD ）2=AB2六、课堂练习1如 ABC 的三边 a、b、c,满意（ ab）（ a 2 b2 c2）=0,就 ABC是（）A 等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形；2如 ABC 的三边 a、b、c,满意 a：b：c=1：1：2 ,D试判定ABC 的外形；A3已知： 如图,四边形 ABCD ,AB=1 ,BC= 3 ,CD= 13 ,4 4AD=3 ,且 AB BC；B C求：四边形 ABCD 的面积；4已知：在 ABC 中,ACB=90 ° ,CD AB 于 D,且 CD 2=AD · BD ；求证：ABC 中是直角三角形；A七、课后练习,1 如 ABC 的 三 边 a 、 b 、 c 满 足 Ea 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ,求 ABC 的面积；2在 ABC 中, AB=13cm ,AC=24cm ,中线 BD=5cm ；B D C求证：ABC 是等腰三角形；3已知：如图,1=2,AD=AE ,D 为 BC 上一点,且 BD=DC ,AC 2=AE 2+CE 2；求证： AB 2=AE 2+CE 2；4已知ABC 的三边为 a、b、c,且 a+b=4,ab=1,c= 14 ,试判定ABC 的外形；课后反思：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页