2022年初二数学上应知应会的知识点3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 初二数学（上）应知应会的学问点 因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解；留意：因式分解与乘法 是相反的两个转化. 2因式分解的方法：常用“ 提取公因式法” 、“ 公式法” 、“ 分组分解法” 、“ 十字相乘法” . 3公因式的确定：系数的最大公约数· 相同因式的最低次幂 . 留意公式：a+b=b+a； a-b=-b-a； a-b2=b-a2； a-b3=-b-a3. 4因式分解的公式：1 平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b ）；2-2ab+b 2=a-b2. 2 完全平方公式： a2+2ab+b 2=a+b2, a5因式分解的留意事项：（1）挑选因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特殊留意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最终结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最终结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最终结果要求加以整理；（6）因式分解的最终结果要求相同因式写成乘方的形式 . 6因式分解的解题技巧：（1）换位整理,加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）敏捷分组；（8）提取分数系数；（9）绽开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项. 7完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式 x 2+px+q, 有“ x 2+px+q是完全平 2 p q” . 方式 2 分式 叫 1分式：一般地,用 A、B表示两个整式,A÷ B就可以表示为 A 的形式,假如 B中含有字母,式子 A B B 做分式. 整式 2有理式：整式与分式统称有理式；即 有理式 . 分式 3对于分式的两个重要判定：（1）如分式的分母为零,就分式无意义,反之有意义；（2）如分式的分子为零,而分母不为零,就分式的值为零；留意：如分式的分子为零,而分母也为零,就分式无意义 .4分式的基本性质与应用：（1）如分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式,分式的值不变；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）留意：在分式中,分子、分母、分式本身的符号,转变其中任何两个,分式的值不变；分子 分子 分子 分子即分母 分母 分母 分母（3）繁分式化简时,采纳分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简洁 . 5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去, 叫做分式的约分；留意：分式约分前常常需要先因式分解. 6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式, 这个分式叫做最简分式；留意：分式运算的最终结果要求化为最简分式. 7分式的乘除法法就：n8分式的乘方：ab 9负整指数运算法就：ac.ac , a cbd b d（n 为正整数）. adad. ba dbcbcbn（1）公式： a 0=1a 0, a-n= 1 a 0；na（2）正整指数的运算法就都可用于负整指数运算；n n n m（3）公式：a b,am bn；b a b a（4）公式： （-1）-2=1, （-1 ）-3=-1. 10分式的通分：依据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原先的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分；留意：分式的通分前要先确定最简公分母 . 11最简公分母的确定：系数的最小公倍数· 相同因式的最高次幂 . 12同分母与异分母的分式加减法法就：a b a b ; a c ad bc ad bc. c c c b d bd bd bd13含有字母系数的一元一次方程：在方程 ax+b=0a 0中,x 是未知数,a 和 b 是用字母表示的已知数,对 x来说,字母 a 是 x 的系数,叫做字母系数,字母 b 是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程 .留意：在字母方程中, 一般用 a、b、c 等表示已知数,用 x、y、z 等表示未知数. 14公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形；留意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程 . 特殊要留意： 字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为 0. 15分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；留意：以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程. 16分式方程的增根：在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必需验增根；留意：在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,由于可能丢根. 17分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母）,如值为零,求名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 出的根是增根,这时原方程无解；如值不为零,求出的根是原方程的解；留意：由此可判定,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根 . 18分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“ 验增根” 的程 序.数的开方 1平方根的定义：如 x 2=a,那么 x 叫 a 的平方根,（即 a 的平方根是 x）；留意：（1）a 叫 x 的平方数,（2）已 知 x 求 a 叫乘方,已知 a 求 x 叫开方,乘方与开方互为逆运算 . 2平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0 的平方根仍是 0；（3）负数没有平方根. 3平方根的表示方法：a 的平方根表示为a 和a . 留意：a 可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算. 4算术平方根：正数 a 的正的平方根叫 a的算术平方根,表示为a . 留意：0 的算术平方根仍是 0. 5三个重要非负数： a20 ,|a|0 ,a 0 . 留意：非负数之和为 0,说明它们都是 0. 6两个重要公式：2（1）a a ; a 0 2 a a 0 （2）a a . a a 0 7立方根的定义：如 x 3=a, 那么 x 叫 a 的立方根,（即 a的立方根是 x）. 留意：（1）a 叫 x 的立方数；（2）a的立方根表示为3a ；即把 a 开三次方.8立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根仍是 0；（3）负数的立方根是一个负数. 9立方根的特性：3 a 3 a . 10无理数：无限不循环小数叫做无理数 . 留意： 和开方开不尽的数是无理数. 正有理数11实数：有理数和无理数统称实数 . 有理数 0 有限小数与无限循环小 数 正实数12实数的分类：（1）实数 负有理数（2）实数 0 . 13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应 . 正无理数 负实数无理数 无限不循环小数14无理数的近似值：实数运算的结果中如含有无理数且题目无近似要求,就结果应当用无理数表示；假如 负无理数名师归纳总结 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题目有近似要求,就结果应当用无理数的近似值表示 . 留意：（1）近似运算时,中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：21. 41431. 73252. A 236.三角形几何 A级概念：（要求深刻懂得、娴熟运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：BDC几何表达式举例：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相1 AD平分BAC 交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角ABAD=CAD 形的角平分线. （如图）2 BAD=CAD AD是角平分线2三角形的中线定义：BDC几何表达式举例：在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点1 AD是三角形的中线的线段叫做三角形的中线 . （如图） BD = CD 2 BD = CD 3三角形的高线定义：BACAD是三角形的中线几何表达式举例：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,D1 AD是 ABC的高顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 . BACADB=90°（如图）2 ADB=90°AD是 ABC的高 4三角形的三边关系定理：几何表达式举例：三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边1 AB+BCAC 之差小于第三边. （如图） 2 AB-BCAC 5等腰三角形的定义：BAC 第 4 页,共 11 页几何表达式举例：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 . 1 ABC是等腰三角形（如图） AB = AC 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 AB = AC 6等边三角形的定义：BAC ABC是等腰三角形几何表达式举例：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 . 1 ABC是等边三角形（如图）AB=BC=AC 2 AB=BC=AC ABC是等边三角形 7三角形的内角和定理及推论：几何表达式举例：（1）三角形的内角和 180° ；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图） （4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 1 A+B+C=180° 2 C=90°A+B=90°AAA3 ACD=A+B BCCBB A（3）（4）CDB4 ACD A （1）（2） 8直角三角形的定义：.C几何表达式举例：有一个角是直角的三角形叫直角三角形1 C=90°（如图） ABC是直角三角形2 ABC是直角三角形C=90°9等腰直角三角形的定义：A几何表达式举例：两条直角边相等的直角三角形叫等腰1 C=90° CA=CB 直角三角形. （如图）CB ABC是等腰直角三角形2 ABC是等腰直角三角形C=90° CA=CB 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10全等三角形的性质：几何表达式举例：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等 . （如图）1 ABC EFG AB = EF 2 ABC EFG AEGA=E BCF几何表达式举例：11全等三角形的判定：“ SAS”“ ASA”“ AAS”“ SSS” “ HL” . （如图）1 AB = EF AE B=F 又 BC = FG BCF（1）（2） ABC EFG 2 AE3 在 Rt ABC和 Rt EFG中 AB=EF CBGF（3）又 AC = EG Rt ABCRt EFG A12角平分线的性质定理及逆定理：DC几何表达式举例：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相1 OC平分AOB 等；（如图）OEB又CDOA CEOB （2）到角的两边距离相等的点在角平分线 CD = CE 上. （如图）2 CDOA CEOB 又CD = CE 13线段垂直平分线的定义：AOEBOC是角平分线几何表达式举例：垂直于一条线段且平分这条线段的直线,F1 EF垂直平分 AB 叫做这条线段的垂直平分线 . （如图）EFAB OA=OB 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 EFAB OA=OB 14线段垂直平分线的性质定理及逆定理：AMPBEF是 AB的垂直平分线NC几何表达式举例：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的1 MN是线段 AB的垂直平分线两个端点的距离相等；（如图） PA = PB （2）和一条线段的两个端点的距离相等的2 PA = PB 点,在这条线段的垂直平分线上. （如图）15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）点 P在线段 AB的垂直平分线上几何表达式举例：1 AB = AC （2）等腰三角形的“ 顶角平分线、底边中线、底边上的高” 三线合一；B=C （如图）A A 2 AB = AC A（3）等边三角形的各角都相等,并且都是 60° . （如图）又BAD=CAD BD = CD BC （1）BDC（2）BC（3）ADBC 3 ABC是等边三角形A=B=C =60°名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16等腰三角形的判定定理及推论：几何表达式举例：（1）假如一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等；（即1 B=C 等角对等边）（如图） AB = AC （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形；（如图）A A（4）在直角三角形中,假如有一个角等于 30° ,那么它所对的直角边2 A=B=C ABC是等边三角形 3 A=60°是斜边的一半. （如图）C（2）（3）CB（4）又AB = AC BC （1）B ABC是等边三角形4 C=90° B=30°17关于轴对称的定理BAACMFEGAC =1 AB 2几何表达式举例：（1）关于某条直线对称的两个图形是全1 ABC、 EGF关于 MN轴等形；（如图）O对称（2）假如两个图形关于某条直线对称,N ABC EGF 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 .2 ABC、 EGF关于 MN轴（如图）对称18勾股定理及逆定理：OA=OE MNAE 几何表达式举例：（1）直角三角形的两直角边 a、b 的平方1 ABC是直角三角形和等于斜边 c 的平方,即 a 2+b 2=c 2；（如图）CBa2 2+b 2=c（2）假如三角形的三边长有下面关系: 2 a2+b 2=c 2a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形 . ABC是直角三角形（如图）ADB几何表达式举例：19Rt 斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中,斜边上的中线是斜C1 ABC是直角三角形边的一半；（如图）D是 AB的中点（2）假如三角形一边上的中线是这边的 一半,那么这个三角形是直角三角形 .（如CD = 1 AB 22 CD=AD=BD 图） ABC是直角三角形第 8 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 几何 B级概念：（要求懂得、会讲、会用,主要用于填空和挑选题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、帮助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：1三角形中,第三边长的判定：另两边之差第三边另两边之和 . 2三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外 . 留意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段 . 3如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即：如 CDAB,BECA,就 CD·AB=BE· CA. DABEC4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和 . B5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和 . 6分别含 30° 、45° 、60° 的直角三角形是特殊的直角三角形 . 7如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即：AD（1） AC· CB=CD· AB ；（2）1=B ,2=A . 128三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角 . C9全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边 . 10等边三角形是特殊的等腰三角形 . 11几何习题中,“ 文字表达题” 需要自己画图,写已知、求证、证明 . 12符合“ AAA”“ SSA” 条件的三角形不能判定全等 . 13几何习题常常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观 察法. 14几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过 已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线 . 15会用尺规完成“ SAS”、“ ASA” 、“ AAS” 、“ SSS”、“ HL”、“ 等腰三角形” 、“ 等边三角形” 、“ 等腰直角三角形”的作图. 16作图题在分析过程中,第一要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么；留意：每步作图都 应当是几何基本作图 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 17几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. 18几何重要图形和帮助线：（1）选取和作帮助线的原就： 构造特殊图形,使可用的定理增加； 一举多得；聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角； 作帮助线必需符合几何基本作图 .（2）已知角平分线. （如 BD是角平分线） 在 BA上截取 BE=BC构造全等,转移线段和过 D点作 DE BC交 AB于 E,构造等腰三角形 . 角；EAADEDBCBC（3）已知三角形中线（如 AD是 BC的中线） 过 D点作 DE AC交 AB于 E, 延长 AD到 E,使 DE=AD AD是中线构造中位线 ；连结 CE构造全等,转移线段和角；S ABD= S ADC AA（等底等高的三角形等面EBDC积）ABDCBDCE4 已知等腰三角形 ABC中,AB=AC 作等腰三角形 ABC底边的中线 AD 作等腰三角形 ABC一边的平行线 DE,构造（顶角的平分线或底边的高）构造全新的等腰三角形. A等三角形；AAE名师归纳总结 BDCBDCBDEC第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （5）其它作等边三角形 ABC 作 CE AB,转移角；延长 BD与 AC交于 E,不规一边 的平行线 DE,构造新就图形转化为规章图形；的等边三角形；CAACEAEBCDDEBD 延长 BC到 D,使 CD=BC,连B 如 a b,AC,BC是角平 多边形转化为三角形；AB C名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页