2022年初中圆的知识点归纳.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点圆章节学问点复习 一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；2、垂直平分线： 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；ABrddO2、点在圆上dr点 B 在圆上；3、点在圆外drC点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系名师归纳总结 1、直线与圆相离dr无交点；第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、直线与圆相切dr名师总结优秀学问点有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdrdd=r四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr ；Rr ；d外切（图 2）有一个交点dRr ；相交（图 3）有两个交点Rrd内切（图 4）有一个交点dRr ；内含（图 5）无交点dRr ；ddR图 1rdRrR图 2rdrRr图 3R图4 图 5五、垂径定理名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中A2 个即可推出其它3 个结论,即：弧 AD AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC中任意 2 个条件推出其他3 个结论；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；CDBO即：在 O 中, AB CDAOBCED弧AC弧 BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对OEF的弧相等,弦心距相等；此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论D中,3 个结论,ACB只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的即：AOBDOE ； ABDE； OCOF ；弧 BA弧 BD七、圆周角定理CB O名师归纳总结 A第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和2ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOBACB2、圆周角定理的推论：D C推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；BOCA即：在 O中,C 、D都是所对的圆周角 CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径；BOCA即：在 O中, AB 是直径或C90C90AB 是直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；C90BOA即：在 ABC 中,OCOAOBABC 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：的逆定理；在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,CD四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180BAEDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即：MNOA 且 MN 过半径 OA外端MONMN 是O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）A推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理 切线长定理：的夹角；从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线BOPA名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点即：PA 、 PB是的两条切线PA PBPO 平分 BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交, 交点分得的两条线段的乘积相等；BAOECD即：在 O中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,CPAPA PBPC PD（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；BODA即：在 O中,直径 ABCD ,CE2AE BEDOE（3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；PCB即：在 O中,PA 是切线, PB 是割线PA2PC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） ；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点即：在 O中,PB 、 PE 是割线PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理A圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆O1O2的的公共弦；B名师归纳总结 如图：O O 垂直平分 AB ；ACB第 7 页,共 8 页即：O 、O 相交于 A 、 B 两点 1 O O 垂直平分 AB十三、圆的公切线CO1两圆公切线长的运算公式：O2（1）公切线长：Rt O O C 中,2 ABCO 12O O2CO 22；2（2）外公切线长：CO 是半径之差；内公切线长：CO 是半径之和十四、 圆内正多边形的运算（1）正三角形BOA在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在Rt BOD 中进行：DOD:BD OB1:3 : 2；BOC（2）正四边形同理,四边形的有关运算在Rt OAE 中进行,OE:AE OA1:1:2：AED- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（3）正六边形同理,六边形的有关运算在Rt OAB中进行,AB OB OA1:3 : 2.AOA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式B1、扇形：（1）弧长公式：ln R；21 2lRS ：扇形面积OSBlD1180（2）扇形面积公式：Sn R360n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长2、圆柱：AD（1）圆柱侧面绽开图2rh2r2BC底面圆周长母线长S 表S 侧2S 底=C1（2）圆柱的体积：V2 r hB1（2）圆锥侧面绽开图 O名师归纳总结 （1） S 表S 侧S 底=Rrr2ACrRB第 8 页,共 8 页（2）圆锥的体积：V12 r h3- - - - - - -
