2022年2022年集合与简易逻辑复习与小结 .pdf

集合与简易逻辑复习与小结一、基础知识总结基础知识框图表解二、重点知识归纳、总结1、集合部分解决集合问题时，首先要明确集合元素的意义，弄清集合由哪些元素组成，需要对集合的文字语言、符号语言、图形语言进行相互转化其次，由于集合知识概念多、符号多，所以要注意集合的特性，空集的特殊性，符号的表示的特殊性三是注意知识间的内在联系，注意集合思想与函数思想的联系，集合与不等式、解析几何、三角函数等知识的联系（1）集合中元素的三大特征（2）集合的分类名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - （3）集合的三种表示方法（4）集合的运算n 元集合共有2n个子集，其中有2n1 个真子集， 2n1 个非空子集；AB=x|x A 且 xB AB=x|x A 或 xB A=x|x S 且 xA ，其中 AS. 2、不等式的解法（1）含有绝对值的不等式的解法|x|0)axa(a0) xa，或 xa. |f(x)|g(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g(x) 或 f(x) g(x). |f(x)|g(x)| f(x)2g(x)2f(x) g(x)f(x) g(x)0. 对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用 “ 零点分段讨论法 ” 去绝对值 . 如解不等式： |x3|2x1|0 （a0） ，或 ax2bxc0（a0）的形式，再根据“ 大于取两边，小于夹中间” 得解集（若判别式0 ，则利用配方法求解较方便）详细解集见下表：判别式=b24ac 0 =0 0）的图象一元二次方程ax2bxc=0 （a0）的根有两相异实根x1,x2(x10 （a0）的解集x|xx2 R ax2bxc0）的解集x|x1xx2 （3）分式不等式的解法分类讨论去分母法：转整式不等式法：运用时，必须使不等式一边为0，转化为0 形式，则：（4）高次不等式的解法3、简易逻辑知识名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 逻辑联结词“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 是判断简单合题与复合命题的依据；真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤（1）命题简单命题：不含逻辑联结词的命题复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题（2）复合命题的真值表非 p 形式复合命题的真假可以用下表表示. p 非 p 真假假真p 且 q 形式复合命题的真假可以用下表表示. p q p且 q 真真真真假假假真假假假假p 或 q 形式复合命题的真假可以用下表表示. p q p 或 q 真真真真假真假真真假假假（3）四种命题及其相互之间的关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 一个命题与它的逆否命题是等价的（4）充分、必要条件的判定若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充分不必要条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. （5）反证法反证法是 “ 命题与其逆否命题等价” 这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般步骤是：假设命题的结论不成立. 经过推理论证，得出矛盾. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题（1）正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的（2）在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“ 确定性 ” ，在表示一个集合时，要特别注意它的“ 互异性 ” 、“ 无序性 ” （3）在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质（4）对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么， 是什么范围 用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 观性帮助思维判断 空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，易漏掉的情况（5）若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之（6）若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏（7）解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论，同解变形是解不等式的理论依据（8）学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 的含义，掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础（9）基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力重点是正确使用逻辑联结词 “ 或” 、“ 且” 、“ 非” ，是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性注意区别一些易错的逻辑关系，如“ 都是” 、“ 都不是 ” 、“ 不都是 ” 5、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用（1）把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素例如，方程（或方程组）的解集，不等式（或不等式组）的解集，具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集（以后会学）等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性（2）使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题例如，运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等三、学法指导（一）要注意理解、正确运用集合概念例 1、若 P=y|y=x2,xR ，Q=y|y=x21,xR，则 PQ 等于（）APBQCD不知道分析 ：类似上题知P集合是 y=x2（xR）的值域集合，同样Q集合是 y= x21（xR）的值域集合，这样PQ意义就明确了名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解：事实上， P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x21 的值域，由 P=y|y 0,Q=y|y1，知 QP，即 PQ=Q 应选 B例 2、若 P=y|y=x2,xR ，Q=(x ，y)|y=x2,xR，则必有（）APQ=BPQ CP=QDPQ 分析 ：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q ，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是 y=x2,x R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物解： 正确解法应为：P表示函数 y=x2的值域， Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此PQ=应选 A（二）要充分注意集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识例 3、若 A=2 ，4,a32a2a7,B=1,a 1,a22a2,(a23a8),a3a23a7，且 AB=2 ，5 ，试求实数a的值解： AB=2，5 ，a32a2a7=5, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 由此求得 a=2 或 a=1至此不少学生认为大功告成，事实上，这只是保证A=2,4,5，集合 B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查当 a=1 时， a22a2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1当 a=1 时，B=1,0,5,2,4，与 AB=2，5 相矛盾，故又舍去a=1当 a=2 时， A=2，4，5,B=1,3,2,5,25，此时 AB=2，5，满足题设故 a=2 为所求例 4、已知集合 A=x|x23x2=0,B=x|x2axa1=0 ，且 AB=A ，则 a的值为_分析 ：由 AB=A而推出 B 有四种可能，进而求出a 的值解： AB=A ， A=1 ，2， B=或 B=1 或 B=2 或 B=1，2 若 B=，则令 0得 aR且 a2，把 x=1 代入方程得 aR，把 x=2 代入方程得 a=3，综上 a 的值为 2 或 3点评： 本题不能直接写出B=1，a1，因为 a1 可能等于 1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - （三）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去例 5、设集合 A=a|a=n21,nN*，集合 B=b|b=k24k5,kN*，试证： AB证明： 任设 aA，则 a=n21=(n 2)24(n 2) 5(n N*), n N*， n 2N* a B 故显然，而由B=b|b=k24k5,k N*=b|b=(k2)21, k N* 知 1B，于是 AB 由、得 AB点评： （1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义（3）两个集合A、B相等，之所以不以“A、B 所含元素完全相同”来定义，而是用子集来定义，显然比较科学，它具有可操作性，用起来很方便（四）要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误例 6、已知集合 A=x|x2(m2)x1=0,xR，若 AR=，则实数 m 的取值范围是_分析 ：从方程观点看，集合A 是关于 x 的实系数一元二次方程x2(m2)x1=0 的解集，而 x=0 不是方程的解，所以由AR=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围解： 由 AR=又方程 x2(m2)x1=0 无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即或=(m2)240解得 m 0或4m4点评： 此题容易发生的错误是由AR=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为 1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言例 7、已知集合 A=x|x23x100 ，集合 B=x|p 1x2p 1若 BA，求实数 p的取值范围解：由 x23x100 得2x5欲使 BA，只须 p 的取值范围是 3p3上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即B=时，符合题设应有：当 B时，即 p12p1p2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 由 BA得： 2p1 且 2p15由3p3 2 p3 当 B=时，即 p12p1p2由、得： p3点评： 从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题（五）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性事实上， 各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言例 8、已知集合有唯一元素，用列举法表示a 的值构成的集合A解： 集合 B表示方程即方程 x2xa2=0 有等根时 a 的取值集合方程有等根的条件是=( 1)24(a2)=0, 解得 a=因此 A=以上解法对吗？不难看出，将A 译为方程有等根时a 的取值集合是不准确的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 转译时忽视了x220，即这一隐含条件可见，与方程等价的应是混合组：（）因此，在讨论方程有唯一实根时，须照顾到：由于方程为分式方程，可能有增根，当条件的二实根中有一个是方程的增根或时，方程也只有一个实根，正确解法是：方程等价于混合组（）（1）当有等根时，同上解得a=，此时，适合；（2）当有两个不等的实根时，由0 可得 a当为的增根时，由得；当为的增根时，由得 由（ 1）、（ 2）得点评：（1）集合语言转译成其它语言，转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败（2）集合语言与其它语言转译过程中，根据问题的需要也可能转译成图形语言，利用数形结合解题根据解题需要，有时也可能将其它语言转译为集合语言名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - （六）要注意数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解例 9、设 A=x| 2x1 ，B=x|x2axb0，已知 AB=x|x 2，AB=x|1x3，试求 a、b 的值分析 ：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答解： 如图所示，设想集合B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B 覆盖住集合 x| 1x 2，且 AB=x|1x 3根据二次不等式与二次方程的关系，可知 1 与 3 是方程 x2axb=0 的两根， a=(13)=2， b=(1) 3=3点评： 类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果例 10、若关于 x 的不等式 |x2|1x|a 有解，求实数a的取值范围 . 分析： 可利用补集思想解题，先求不等式|x 2| |1-x|a无解的 a 的取值范围 . 即对任意实数x，总有 |x 1| |x 2| a. a |x 2| |1-x|的最小值 . 由知： 3|x 2| |1-x|3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - |x 2| |1 x|a 无解时， a3. 故 |x 2| |1 x|3. （七）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用对于一些比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是“ 正难则反 ” 的解题策略，是补集思想的具体应用有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理例 11、已知集合 A=x|x24mx2m6=0,xR ，若 AR，求实数 m 的取值范围分析 ：集合 A 是方程 x24mx 2m 6=0 的实数解组成的非空集合，AR意味着方程的根有：（1）两负根，（2）一负根一零根，（3）一负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程的较小根, 但在目前的知识范围内求解存在困难，如果考虑题设AR的反面：AR=，则可先求方程的两根x1、x2均非负时 m的取值范围用补集思想求解尤为简便解： 设全集 U=m|=( 4m)24(2m6) 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - =m|m 1 或 m 若方程 x24mx 2m 6=0 的二根为 x1、x2均非负，则因此， m|m 关于 U补集 m|m 1 即为所求点评： 采用“正难则反”的解题策略具体地说，就是将所研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，即便为所求例 12、命题甲： 方程 x2mx1=0 有两个相异负根； 命题乙： 方程 4x24(m2)x1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m 的取值范围分析 ：使命题甲成立的m的集合为 A，使命题乙成立的m的集合为 B，有且只有一个命题成立是求A与B的并集解： 使命题甲成立的条件是： 集合 A=m|m2使命题乙成立的条件是：2=16(m2)2160， 1m 3 集合 B=m|1m2m|m1 或 m 3=m|m3；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 若为（ 2），则有： B=m|1m3m|m2=m|1m2, 综合（ 1）、（ 2）可知所求m的取值范围是 m|10 和 a2x2b2xc20 的解集分别为集合M 和 N，那么 “” 是“ M=N” 的什么条件？分析： 利用二次函数与一元二次不等式的关系. 如果，则 “ M=N” ，如果则“ M N” ，“”“ M=N” ；反之若 M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零因此，“ M=N”“” ，因此既非充分也非必要条件答案： 即非充分又非必要条件2、 （高考试题） 设 a,b 是两个实数， 集合 A=(x,y)|x=n,y=na b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3m215,mZ,C=(x,y)|x2y2144 是 xoy 平面内的点集，讨论是否存在a 与 b，使是AB和(a,b)C 同时成立？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 分析：解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来解法：假设存在实数a与 b，同时满足题设中的两个条件，即有：从中消去 b 得 a2(3n215na)2144,即： (1n2)a22n(3n215)a(3n215)21440.此时判别式 =4n2(3n215)24(1n2)(3n215)2144 =36(n46n29）=36(n23)2nZ, 0, 上述关于a的二次不等式无解，因此同时满足题意中两个条件的实数a 与 b 是不存在的 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -