2022年反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式显现,这类试题不仅 能考查两个函数的基本性质,而且能考查同学们综合分析问题的才能；现以以下 典型 例题 为例,浅谈这类问题的解法,供参考；一. 探求同一坐标系下的图象例 1. 已知函数ymx与yn x在同始终角坐标系中的图象大致如图01,就以下结论正确的是（）B. m0,n0；反比例函数ynA. m0,n0C. m0,n0D. m0,n0分析：由图知,一次函数ymx中,y 随 x 的增大而增大, 所以mx在其次、四象限,所以n0；观看各选项知,应选B；评注：此题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质,方能作出正确挑选；例 2.在同始终角坐标系中,函数yB. kxk与ykk0的图象大致是（）xA. C. D. 图 2 名师归纳总结 分析： 此题可采纳排除法；由选项A、B 的一次函数图象知,k0即k0,就一次第 1 页,共 10 页函数ykxk图象与 y 轴交点应在y 轴负半轴,而选项A 、B 都不符合要求,故都排- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 除；由选项D 的一次图象知,学习必备k欢迎下载ykk0 图象应在第k0即0,就反比例函数x一、三象限,而选项D 不符合要求,故也排除；所以此题应选C；评注： 此题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出,有较强的综合性,解决这类问题常用排除法；二. 探求函数解析式例 3.如图 3,直线 y k 1 x b 与双曲线 y k 2 只有一个交点 A（ 1,2）,且与 x 轴, yx轴分别交于 B,C 两点, AD 垂直平分 OB ,垂足为 D,求直线与双曲线的解析式；解析： 由于双曲线 y k 2 过点 A（ 1,2）,x所以2k2,k22y2；1得双曲线的解析式为x由于 AD 垂直平分 OB ,A 点的坐标为（ 1,2）；所以 B 点的坐标为（ 2,0）；名师归纳总结 由于yk1xb过点 A（1,2）和 B（2,0）,第 2 页,共 10 页所以k11b202kb解得k 142b所以直线的解析式为y2x4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载评注： 解决此题的关键是确定点B 的坐标, 由 AD 垂直 OB 知,点 D 和点 A 的横坐标应相同,所以点D 的坐标为（ 1,0）,又 AD 平分 OB 知,OB2OD2,所以点B 坐标为（ 2,0）,进而求出一次函数解析式；三. 探求三角形面积例 4.如图 4,反比例函数y4的图象与直线y1x的交点为 A,B,过点 A 作 y 轴x3的平行线与过点B 作 x 轴的平行线相交于点C,就ABC 的面积为（）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析： 把y4代入y1x,得x3名师归纳总结 41x223第 3 页,共 10 页x3整理得x212解得x123,x2把x123,x23分别代入y4,23x得y123,y2333,23所以点 A 的坐标为23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 B 的坐标为23,23学习必备欢迎下载3由题意知,点C 的横坐标与点A 的横坐标相同,点C 的纵坐标与点B 的纵坐标相同,所以点 C 的坐标为（23,23）；3由于AC232343,333BC2323438所以ABC 的面积为1ACBC14343223故应选 A ；例 5.如图 5,已知点 A 是一次函数yx的图象与反比例函数y2的图象在第一象限内x的交点,点B 在 x 轴的负半轴上,且OA=OB ,那么AOB 的面积为（）A. 2 B. 2C. 2D. 222名师归纳总结 析解：把2yx代入y2,得,x22,第 4 页,共 10 页xx整理得x22,解得x12xx2得x1,x22分别代入y得y12,y22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又点 A 在第一象限内,所以点学习必备欢迎下载A 的坐标为2,2在AOC 中AC2,OC2由勾股定理,得OA2,所以 OB=2 ；所以AOB 的面积为22,1OBAC1222故应选（ C）评注： 例 4 和例 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标,这是求两函数图象交点坐标的常用方法,包蕴着转化思想；四. 探求点的坐标例 6.如图 6,直线y1x1分别交 x 轴、y 轴于点 A ,C,点 P 是直线 AC 与双曲线yk2x在第一象限内的交点,PBx轴,垂足为点B,APB的面积为 4；（1）求点 P 的坐标；（ 2）略；析解：在y1x1中,令x0,就y1；令y0,就x2；2所以点 A 的坐标为（ -2,0）,点 C 的坐标为（ 0,1）；名师归纳总结 由于点 P 的直线y1x1上,第 5 页,共 10 页2不妨设点 P 的坐标为m,1m12所以ABm,2PB1m1；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于S APB1ABPB4学习必备欢迎下载2所以1m21m1 4m2；22整理得m24m120即m2m6 0解得m12,m26由于点 P 在第一象限,所以故点 P 的坐标为（ 2,2）；评注： 此题的解答过程包蕴着设元思想、方程思想和转换思想；五、综合运用例 6已知关于 x 的一次函数 ymx3n 和反比例函数y2mx5n的图象都经过点1, 2求：1一次函数和反比例函数的解析式；2两个函数图象的另一个交点的坐标解析： 1两函数图象都过点1, 2,m4,m3n2,解之,得2m5n2n2一次函数的解析式为y4x6,反比例函数的解析式为y2x2 依据题意,列出方程组y4x6,4y2x解之,得x ,1,x1 2y24y两函数图象的另一个交点为1 2评注：一次函数ymx3n与反比例函数y2mx5n的图象都经过点1,2,就该点坐标满意两解析式；要求两图象交点,就应由两图象的解析名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载式组成方程组求解例7 已知一次函数y 和反比例函数ykk0x1k 满意什么条件时, 这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？2 设1中的两个公共点为 A,B,试判定 AOB 是锐角仍是钝角？yx ,61 依据题意,得 kyx消去 y,得 x26xk0 364k0, k9当 k9 且 k 0 时,方程 x26xk0 有两个不相等的非零实数解k9 且 k 0 时,两函数图象有两个公共点2 y x6 的图象过第一,二,四象限,0k9 时,双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A ,B 在第一象限,此时AOB 是锐角k0 时,双曲线两支分别在其次,四象限,两公共点 象限,此时 AOB 是钝角A ,B 分别在其次、四例8 已知Am,2是直线 与双曲线y3的交点x1 求 m 的值；2 如直线 l 分别与 x 轴、y 轴相交于 E,F 两点,并且 Rt OEFO 是坐标原点 名师归纳总结 的外心为点A ,试确定直线l 的解析式；第 7 页,共 10 页3在双曲线y3上另取一点B作BK 轴于K；将2中的直线xl 绕点 A 旋转后所得的直线记为l ,如 l 与 y 轴的正半轴相交于点C,且OC1OF试问在y轴上是否存在点P,使得SPCASBOK,4如存在,恳求出点P 的坐标？如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：学习必备3欢迎下载Am,2,直线 与双曲线 的一个交点为x32,即m3m2 3 2,2A点坐标为2 作 AM x 轴于 M A 点是 Rt OEF 的外心,EA FA 由 AM y 轴有 OM ME OF2OM MA 2, OF4F 点的坐标为 0,4设 l：ykxb,就有3k b2,k4,23b 4b 4直线 的解析式为y4x 33OC1OF,OC 4C 点坐标为 0,1设 B 点坐标为 x1,y1,就x1y13SBOK1|x |·|y |322设 P 点坐标为 0,y,满意 S PCAS BOK 当点 P 在 C 点上方时, y1,有SPCA1y1×33y132242y3当点 P 在 C 点下方时, y1,有SPCA11y322y 2综上知,在 y 轴存在点 P0,3与0, 2,使得 S PACS BOK 评注： 直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点,这是惟名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一能沟通它们的要素,应用交点时应留意：1 交点既在直线上也在双曲线上,交点坐标既满意直线的解析式也满意双曲线的解析式2 要求交点坐标时,应将两种图象对应的解析式组成方程组,通过解方程组求出交点坐标3 判定两种图象有无交点时,可用判别式确定,也可以画出草图直观地确定例 9 如图 1332,已知 C,D 是双曲线 m 在第一象限内的分支x上的两点,直线 CD 分别交 x 轴, y 轴于 A ,B 两点,设 C,D 的坐标分别是 x1,y1,x2,y2,连结 OC,OD 1求证：y1OCy1m；y 12如BOCAOD ,tan 1,OC10,求直线CD的解3析式证明 ：1如图 1333 过点 C 作 CGx 轴,垂足为点Cx1,y 1在双曲线ym上,xx1my1在 Rt OCG 中, CGOCCGOG,y1OCy1my 1G,就 CGy1,OGx1名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解2 ：在 Rt GCO 中, GCO BOC ,tan OG1,即x11,y13x1CG3y13OC2OG2CG2,OC10,10x2y2,即10x23x 12111解之,得x1± 1负值不合题意,x11,y13点 C 的坐标为 1,3,点C在双曲线ym上,3x m,即m 1所以,双曲线的解析式为yx过点 D 作 DH x 轴,垂足为H就 DH y2, OHx2在RtODH中,tan DHy21,即x23y2OHx3又23,就3y2 ,y2x22解之得 y2± 1负值不合题意,y21,x23点 D 的坐标为 3, 1名师归纳总结 设直线 CD 的解析式为y kxb第 10 页,共 10 页就有3 ,k b解得k ,113kbb4直线 CD 的解析式为y x4- - - - - - -