2022年反比例函数中面积问题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载反比例函数中的面积问题一、以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的图 形面积例 1 反比例函数 y=的图像如图 1 所示,点 M 是该函数图像上一点, MN垂直于 x 轴,垂足是点 N,假如 S MON=2,就 k 的值为 .分析 图中 MON 是以图像上一点和过这点作x 轴或 y 轴的垂线所得的垂足及坐标原点围成的,只需依据三角形面积公式就可以求出 k 的值 .解 设 M 点的坐标为（ x, y）,就 S MON= |xy|= |k|=2,得 |k|=4,k=± 4（k=4 不合题意,舍去）,即 k=-4.变式 1：如图 2,已知点 P 在函数 y=（x0）的图像上, PAx 轴、PBy 轴,垂足分别为 A 、B,就矩形 OAPB 的面积为 .分析 只是把图中的三角形变为矩形,所以 S 矩形 OAPB=|xy|=2.二、以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特别点所围成的图形面积例 2 如图 3,反比例函数 y=的图像与直线 y=kx（k0）相交于 A、B 两名师归纳总结 点, AC y 轴, BC x 轴,就 ABC 的面积等于个面积单位 .第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析精品资料欢迎下载分Rt ABC 的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点,别在反比例函数图像的两个分支上,且知道反比例函数图像上的 A、B 两点关于原点成中心对称, S ABC= |2x× 2y|=2|xy|=10.变式 1. 如图 4,直线 y=mx 与双曲线 y=交于点 A、B. 过点 A 作 AM x轴,垂足为点 M 连接 BM. 如 S ABM =1,就 k 的值是（）.A1 B. m-1C2 D. m分析 图形变为反比例函数图像上的A、B 两点和其中一点与坐标轴的交点所围成的 AMB ,底为 |y|,高为 |2x|,就 S ABM = |y× 2x|=|xy|=|k|=1,得 k=± 1（依据图形知 k0）,所以 k=1.变式 2. 如图 5,直线 y=mx 与双曲线 y=交于点 A、B 过点 A、B 分别作名师归纳总结 AM x 轴、BNx 轴,垂足分别为 M、N,连接 BM 、AN. 如 SAMBN =1,就 k第 2 页,共 4 页的值是 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 图形变成精品资料欢迎下载ABM面积的 2 倍,就AMBN ,它的面积实际上就是SAMBN =2|xy|=2|k|=1,结合图像可知 k=.三、以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面积例 3 如图 6,在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=k1x+b 的图像与反比例函数 y= 的图像交于 A（1,4）、 B（3、m）两点 .（1）求一次函数的解析式；（2）求 AOB 的面积 .分析 （1）略；（2） AOB 是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形, AOB 面积直接比较难求,可看作 S COD- S COA- S BOD. 先求出一次函数的解析式, 然后求出一次函数 y=k 1x+6 的图像与 x 轴和 y 轴的交点坐标,就可求出 S COD、S COA、S BOD,即可求出 S AOB=4××-×1×-4××= .变式 1. 如图 7,一次函数 y=kx+b 的图像与反比例函数 y= 的图像交于 A（-2,1）,B（1,n）两点 .（1）试确定上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求 AOB 的面积 .分析 （1）略：（2） AOB 也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围名师归纳总结 成的图形,只是把AOB 的面积看作 S COD+ S COA+ S BOD,即可求得 S AOB=1第 3 页,共 4 页× 1×+1× 1×+1×1×=.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载四、以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积例 4 如图 8,已知双曲线 y=（x0）经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F,交 BC 于点 E,且四边形 OEBF 的面积为 2,就 k= .分析 这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积. 四边形 OEBF 的面积可看作S矩形 OABC - S COE- S AOF,设 F 点的坐标为（x, y）,就 E 点的坐标为（x, 2y）, S矩 形 OABC=x× 2y=2xy=2k, S COE=x × 2y×=xy=k, S AOF=xy=k,所以 S 四边形 OEBF=k=2.五、以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标轴 围成的图形和面积例 5 如图 9,D 是反比例函数y=（k0）的图像上一点,过D 作 DEx 轴于 E,DCy 轴于 C,一次函数 y=-x+m 与 y=-x+2 的图像都经过点 C,与 x 轴分别交于 A、B 两点,四边形 DCAE 的面积为 4,求 k 的值 .分析 先求出 C（0,2）,D（,2）和 m=2,再求出 A（2,0）,得 S矩形OCDE=-k,S COA=2,所以 -k+2=4,得 k=-2.名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
