2022年四年级奥数-教师版-第三讲方阵问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三讲 方阵问题学问导航同学排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列；假如行数与列数都相等,就正好排成一个正方形,这种图形就叫 核心公式：方队, 也叫做 方阵（ 亦叫 乘方问题） ；1方阵总人数 =最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2方阵最外层每边人数 =（方阵最外层总人数÷4） 1 3方阵外一层总人数比内一层总人数多 2 4去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数×21 例 1: 学校同学排成一个方阵,最外层的人数是 人. 解析： 方阵问题的核心是求最外层每边人数；依据四周人数和每边人数的关系可以知：60 人,问这个方阵共有同学多少每边人数 =四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了；方阵最外层每边人数：60÷ 4+1=16（人）60人.问方整个方阵共有同学人数：16× 16=256（人）；【 巩 固 1 】 某校五年级同学排成一个方阵,最外一层的人数为阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级同学多少人？解析： 依据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了；解： 方阵最外层每边人数：60÷ 41=16（人）256人；整个方阵共有同学人数：16× 16=256（人）答：方阵最外层每边有16人,此方阵中共有【 巩 固 2 】 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？2个.知道最外面一层每边解析：方阵每向里面一层,每边的个数就削减放14个,就可以求其次层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数；解法 1：最外边一层棋子个数：（14-1 ）× 4=52（个）其次层棋子个数：（第三层棋子个数：（14-2-1 ）× 4=44（个）14-2 × 2-1 ）× 4=36（个） . 名师归纳总结 摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载×层数 ×4进行解法 2：仍可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）运算；（14-3 ）× 3× 4=132（个）答：摆这个方阵共需 132个围棋子；【巩固 3】一个正方形的队列横竖各削减一排共 少人？27 人,求这个正方形队列原先有多解析： 依据：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数×21 可知每边的人数是：271 214（人）原人数是：1414196（人）答：略；【巩固 4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子 少枚棋子？100 枚,最外边的一层共多解析： 这要用到方阵的公式逆运算,100 必定是一个数的平方数由于 10 10 100（人）,并且是实心的方阵,所以最外层有 10 人；例 2：参与中同学运动会团体操竞赛的运动员排成了一个正方形队列；假如要使这个正方形队列削减一行和一列,就要削减 有多少人？33 人；问参与团体操表演的运动员解析： 如下图表示的是一个五行五列的正方形队列；从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5,去一行、一列就一共要去9 人,因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数×2 1 ·····解 ： 方阵问题的核心是求最外层每边人数；·····原题中去掉一行、一列的人数是33,·····就去掉的一行（或一列）·····人数 331217人·····方阵的总人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为 17 17 289（人）【巩固】参与军训的同学进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,假如去掉一行一列,请问：要去掉多少名同学？仍剩下多少名同学？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析： 如上图表示的是一个 列的特点：4 行 4 列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队（1）正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数每行人数× 每列人数；（2）去掉横竖各一排时,有且只有1 人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点 A 所示；因此去掉的总人数原每行人数×2 1,或去掉的总人数削减后每行人数×21；此题中所求,即去掉的人数7× 2113（人）或去掉的人数（71）× 2113（人）仍剩的人数（71）× （ 71） 36（人）或仍剩的人数7× 713491336（人）答：假如去掉一行一列,要去掉 13 名同学,仍剩下 36 名同学；例 3：解放军战士排成一个每边12 人的中空方阵,共四层,求总人数？解法 1：这样想：把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数；（1）中实方阵总人数：12× 12=144（人）（2）第四层每边人数：12-2 × （ 4-1 ）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2 ）× （ 6-2 ）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128 （人）答：总人数是 128 人；小结： 中空方阵总人数 =外边人数× 外边人数- （内边人数 -2 ）× （内边人数-2 ）解法 2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形；（1）每个长方形的长 =外边人数 - 层数 12-4=8 （人）（2）每个长方形的宽是层数：4 人（3）总人数： 8× 4× 4=128（人）答：总人数是128 人；=（每边人数 - 层数）× 层数×4 小结： 中空方阵总人数【巩固 】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗；四个角上都插一面,每边插 7 面；一共要预备多少面旗子？解析： 依据求外层个数的公式：（边数-1 ）× 4 7 1 4 24（面）答：略；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例4： 一个街心花园如右图所示.学习必备欢迎下载.已知它由四个大小相等的等边三角形组成从每个小三角形的顶点开头,到下一个顶点匀称栽有 形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？9棵花 . 问大三角解 析 ： 从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的 2倍. 又知道每个小三角形的边上匀称栽数为：92117（棵）；9株,就大三角形边上栽的棵又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花： 171 348（棵）；.再运算.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上大三角形栽花棵数时已经运算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为：927（棵）3348（棵）解： 大三角形三条边上共栽花： 9211中间画斜线小三角形三条边上栽花：92 21（棵）整个花坛共栽花：482169（棵）69棵；答：大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花【巩固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第 5个,这个方阵共有多少人？解析： 如图,实心圆表示小明的位置,可以知道,这个队列每行都是 9人；解： 每行每列数：5 2 1 9（人）共有 ：9 9 81（人）例 5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了 200 枚棋子,请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析 1：利用“ 相邻两层之间,每层的总数相差 8” 的特点,可知最外层共有棋子数：（200+8+8× 2+8× 3+8× 4）÷ 5 56（个）最外层每边的棋子数：56÷ 4+1 15（个）解析 2：如练习中的图,把棋子分成相等的四部分；名师归纳总结 每一部分的棋子数：200÷ 450（个）第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载每一部分每排的棋子数：50÷ 510（个）最外层每边的棋子数：10515（个）综合列式为： 200÷ 4÷ 5515（个）答：最外边一层每边有 15 枚棋子；【巩固】 游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四四周成每边三层的方阵,最外边一层每边 12 人,请问：彩车四周的少先队员共有多少人？解析 1：请同学们自己画一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发觉,有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多 2；（2）每相邻两层之间,点的总数相差8 个；82最外层队员的总数：124444（人）三层共有队员的总数：44448 44=443628=108 （人）解析 2：如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数：（123）× 39× 327（人）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三层共有队员数：27× 4108（人）答：彩车四周的少先队员共有 108 人；这个问题仍有别的解法,请同学们自己试着做一下；课后作业1、如干名同学排成中实方阵就多12 人,如要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加 1 人的方阵就仍差 9 人排满,请问：原有同学多少人？解析： 由于纵横两个方向各增加 1 人,因此不但将剩余 12 人摆上,而且仍差 9 人,说明一横行与一竖行的人数总和是 12921 人；又由于纵横两个方向各增加 1 人,因此只有 1 人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用 21 人先加上被重复数过的 1 人,再除以2,也就得到每边人数；列式为（211）÷ 211 人；求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11× 11121 人,用 121 人减去差的9 人就是原先人数,列式为 1219112 人；也可以依据原先的方阵再加上 答：原有同学 112 人；12,请你试一试；2、 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有 100 人,请问：方阵中一共有士兵多少人？解析： 要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人；已知方阵最外一层有 100 人,用 100÷ 4 25 人,每边是不是 25 人呢？不是的,因为平均分成 4 份后,仍需要再加上 1,才正好是每边上的人数,列式应当为 100÷ 41 26 人；因此方阵中一共有 26× 26676 人；答：一共有 676 人；说明： 这道题关键是求出每边人数；在求每边人数时,不要认为和“ 知道了正方形周长,求边长” 一样,仍必需要加上 1；3、 小刚用如干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6 枚,请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？解析： 如图,最外一层每边摆 6× 636 枚棋子；6 枚,依据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 最外一层每边有6 枚,假如用学习必备欢迎下载6× 4 24 枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了；由于正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在运算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有 的结果；列式是 6× 4420 枚；4 个,需要把多数的减去,才能得到正确说明 ：这道题仍可以这样想：数每边棋子时,可以按上图先划分成 4 个相等的块,这样每边就有 5 枚了,因此用 5× 420 枚,也可以得到正确答案；依据划分块的方法不同,至少仍有两种方法,请同学们试一试；4、一队同学站成 20 行 20 列方阵,假如去掉 4 行 4 列,那么要削减多少人？解析 1：把去掉 4 行 4 列转化为一行一列的去掉,就可用例 6 的结论：去掉一行一列的总人数原每行人数×21 反复利用 4 次这个公式,只要留意“ 原每行人数” 的变化,即可列式为：去掉 4 行 4 列的总人数20× 21+（201）× 21（ 202）× 21+（203）× 21 401=38 1+361+341 144（人）解析 2：我们仍可以这样想：原先是一个 7 行 7 列的方阵,如去掉 4 行 4 列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉 4 行 4 列的总人数原正方形方阵每边人数4,即去掉的总人数20× 20（ 204）× （ 204）400256 144（人）答：去掉 4 行 4 列,要削减 144 人；5、正方形舞厅四周匀称的装彩灯,假如四个角都装一盏且每边装 12 盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？解析（ 1）： 自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为：12× 4444（盏）（2）： 仍可以把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为：（121）× 444（盏）答：这个舞厅四周共装彩灯 44 盏；6、“ 六一” 儿童节前夕,在校内雕塑的四周,用204 盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆 . 解析： 分析思路参见例 6,最外层每边人数 =总数÷ 4÷ 层数 +层数204÷ 4÷ 3+3=20 盆 名师归纳总结 答：最外面一层每边有鲜花20 盆第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7、四年级一班参与运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为 20 人,请问：方阵最外层每边的人数是多少 .这个方阵共有多少人 . 解析： 依据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数 =四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了；解： （1）方阵最外层每边的人数：20÷ 4+1=5+1=6（人）（2）整个方阵共有同学人数：6× 6=36（人）答：方阵最外层每边的人数是 6 人,这个方阵共有 36 人；8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,假如最外层每边有围棋子 15 个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子.摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？解析： （1）方阵每向里面一层,每边的个数就削减 2 个,知道最外面一层,每边放 15 个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数；（2）依据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再 乘以 4,运算出这个中空方阵共用棋子多少个；解：（ 1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1 ）× 4=40（个）（2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3 ）× 3× 4=144（个）答：这个方阵最里层一周有 40 个棋子 ; 摆这个中空方阵共用 144 个棋子；9、如干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有 数；12 人,请你求出总人解析： 我们可以采纳先求出每层人数再求总人数的方法进行；解：由于最外层每边有 12 人,因此最外层一共有（121）× 444 人,又依据方阵相邻两层,外层比内层人数多 8 的特点,因此其次层有 44836 人,第三层有36828 人,第四层有 28820 人；因此一共有 44+36+28+20128 人；仍可以这样想,把四层中空方阵划分如例5 的外形,我们发觉每个长方形可以看成四排战士,每排有8 人组成；因此一个长方形有8× 432 人,一共有4 个长方形, 32× 4128 人；当然仍可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12 人,因此一共有12× 12144 人；又由于在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此其次层每边有12210 人,第三层每边有102 8 人,第四层每边有8 26 人,第五层每边有 62 4 人；因此小的中实方阵有 战士的人数；答：一共有 128 人；4× 416 人； 14416 128 人就表示一共有名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载48 盆,最内层共摆24 盆,请10、有如干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆问：共摆了多少盆鲜花？解析： 由于方阵中相邻两个正方形每边相差 8,因此其次层应摆鲜花 48840盆,第三层有花 40832 盆,第四层有花 32824 盆；这样通过枚举方法求出一共有四层花,及中间两层花的总数；因此一共摆了 答：一共摆了 144 盆；48 403224 144 盆；11、有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成 7 行 7 列的方阵,问这个方阵最外一层 有杨树和柳树各多少棵 .方阵中共有杨树,柳树各多少棵 . 解析： 依据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示 柳树观看图（ 1）（ 2）不管是柳树种在方阵最外层的角上仍是杨树种在方阵最外层 的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的；因而杨树和柳树的棵数相等；即最外层杨,柳树分别为（7-1 ）× 4÷ 2=12（棵）；当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树 ; 当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差 1 棵；解： （1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1 ）× 4÷ 2=12（棵）（2）当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多 1 棵：杨树：（ 7× 7+1）÷ 2=25（棵）柳树： 7× 7-25=24 （棵）（3）当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多 1 树 柳树（ 7× 7+1）÷ 2=25（棵）杨树 7× 7-25=24 （棵）答：在两种方法中,方阵最外层都有杨树12 棵,柳树 12 棵,方阵中总共有杨名师归纳总结 树 25 棵,柳树 24 棵,或者有杨树24 棵,柳树 25 棵；第 9 页,共 9 页- - - - - - -