2022年2022年计算行列式的若干基本方法 .pdf

第 1 讲计算行列式的若干基本方法计算行列式并无固定的方法其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式这一讲，我们将介绍一些常用的方法1 化为已经熟悉的行列式来计算我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如0*AB，*0AB的行列式的结果如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值为了叙述简便，仍用记号ijij表示互换行列式的第i 行（列）与第j 行（列）；用ikjikj表示将行列式第j 行（列）的k 倍加到第i 行（列）；用c ic i表示将第i 行（列）乘以非零的数c例 1计算行列式1123133795204213571464410102D解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算23 132 143 154 12342112310010202041021530022211231020410010202153002221-12-310204-100-10-2001-120022-2D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4352 352 4112310304100102000100002611231020410010200010000061 211612 .例2计算 n 阶行列式1231231231231111nnnnaaaaaaaaDaaaaaaaa解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同将第2，3， n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是112231223122312232323231231112,2,11111111111111111nnnnnnnnnnnininniiiiininaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2311010000100001111 .nnniiiiaaaaa例3计算1n阶行列式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1221111111 11122122222222122111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaabababbaababa bbDaabababb其中1210na aa解这个行列式的每一行元素的形状都是nkkiiab，k0，1，2， n即ia按降幂排列，ib按升幂排列，且次数之和都是n，又因0ia，若在第 i 行（i1，2， n）提出公因子nia，则 D 可化为一个转置的范德蒙行列式，即211111122221212222111111111111111 .nnnnnnnnnnnnnnjniiij inijijijj inbbbaaabbbDa aaaaabbbaaabbaaabaa b2 降阶法当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0 时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算例4计算 n（n 2）阶行列式0001000000001000aaDaa解按第一行展开，得100000000000010000001000naaaaDaaa再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 1112222111nnnnnnnDaaaaaa3 拆项法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6 将它表成一些比较容易计算的行列式的和例5计算 n（n 2）阶行列式111212122212121212nnnnnnnx yx ynx yx yx ynx yDx yx ynx y解将nD按第一列拆成两个行列式的和，即1211112122221222212122122122nnnnnnnnnnnnx ynx yx yx ynx yx ynx yx yx ynx yDx ynx yx yx ynx y再将上式等号右端的第一个行列式第i 列（2i，3， n）减去第一列的i 倍；第二个行列式提出第一列的公因子1y，则可得到12111212222222122111222211212121212 .12nnnnnnnnnnnnnnnnx yx yxx ynx yx yx yxx ynx yDyx yx yxx ynx yxxxnxxxnyyyxxxn当 n3 时，0nD当2n时，221212Dxxyy例6计算 n 阶行列式nxaaaaxaaDaaxaaaax， （0a） 解将第一行的元素都表成两项的和，使nD变成两个行列式的和，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 000000 .nxaaaaaaxaaDaaxaaaaxxaaaaaaxaaaxaaaaxaaaxaaaaxaaax将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：1000nxaaxaaxa Daaxaaaax这里1nD是一个与nD有相同结构的1n阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：1022002000 .naaaaaaaaaxaaxaaaaaxaxaaaaaxxaa xa于是有11nnnDxa Da xa（1）另一方面，如果将nD的第一行元素用另一方式表成两项之和： 0 0 0 xaaaaa仿上可得：11nnnDxa Da xa（2）将（ 1）式两边乘以xa， （2）式两边乘以xa，然后相减以消去1nD，得：2nnnxaxaD4 加边法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式，建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果例7计算 n（n 2）阶行列式1231111111111111111nnaaDaa，其中120na aa解先将nD添上一行一列，变成下面的1n阶行列式：1121111011101110111nnaDaa显然，1nnDD将1nD的第一行乘以1后加到其余各行，得11211111000110100nnaDaa因0ia，将上面这个行列式第一列加第i（2i，1n）列的11ia倍，得：111221211211111111111000001000001000000000110011niinnniinnniiaaaaaaaaaaaa aaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 故12111nnniiDaaaa5 递推法递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确这是一种颇常使用的方法，在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式，本讲的例6 也利用了递推关系式使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确例8计算 n 阶行列式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax解首先建立递推关系式按第一列展开，得：1123211111100010000010010000000101000001000111nnnnnnnnnnnnxxxxDxaxxxaaaaaxxDaxDa，这里1nD与nD有相同的结构，但阶数是1n的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得：2212123211221221nnnnnnnnnnnnnnnnDx xDaax DaxaxxDaaxaxDa xaxaxa ，因111Dxaxa，故111nnnnnDxa xaxa最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当1n时，显然成立设对1n阶的情形结果正确，往证对n 阶的情形也正确由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 121121111nnnnnnnnnnnnDxDax xa xaxaaxa xaxa ，可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例9证明 n 阶行列式2100001210001000121000012nDn证明按第一列展开，得2100001000001210001210002000121000121000012000012nD其中， 等号右边的第一个行列式是与nD有相同结构但阶数为1n的行列式，记作1nD；第二个行列式， 若将它按第一列展开就得到一个也与nD有相同结构但阶数为2n的行列式， 记作2nD这样，就有递推关系式：122nnnDDD因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当1n时，12D，结论正确当2n时，221312D，结论正确设对1kn的情形结论正确，往证kn时结论也正确由122211nnnDDDnnn可知，对 n 阶行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -