2022年2022年连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质 .pdf

1 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质一、连续函数的和、积及商的连续性定理 1设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续则函数f(x) g(x) f(x) g(x)()(xgxf(当0)(0 xg时) 在点 x0也连续f(x) g(x)连续性的证明因为 f(x)和 g(x)在点 x0连续所以它们在点 x0有定义从而 f(x) g(x)在点 x0也有定义再由连续性和极限运算法则有)()()(lim)(lim)()(lim00000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx根据连续性的定义f(x) g(x)在点 x0连续例 1 sin x 和 cos x 都在区间 ()内连续 故由定理 3 知 tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的三角函数 sin x cos x sec x csc x tan x cot x 在其有定义的区间内都是连续的二、反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或单调减少 )且连续那么它的反函数 x f1(y)也在对应的区间 Iy y|y f(x) x Ix 上单调增加 (或单调减少 )且连续证明（略）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 例 2 由于 y sin x 在区间2,2上单调增加且连续所以它的反函数 y arcsin x 在区间 1 1上也是单调增加且连续的同样 y arccos x 在区间 1 1上也是单调减少且连续y arctan x 在区间()内单调增加且连续y arccot x 在区间 ()内单调减少且连续总之反三角函数 arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x 在它们的定义域内都是连续的定理 3 设函数 y fg(x)由函数 y f(u)与函数 u g(x)复合而成gfDxU)(0若0)lim0uxgxx而函数 y f(u)在0u连续则)()(lim)lim000ufufxgfuuxx简要证明要证00当 0 |x x0|时有|fg(x) f(u0)|因为 f(u)在0u连续所以00 当|u u0|时有|f(u) f(u0)|又 g(x)u0(xx0) 所以对上述00当 0 |x x0|时有|g(x) u0|从而|fg(x) f(u0)|(2)定理的结论也可写成)(lim)(lim00 xgfxgfxxxx求复合函数fg(x)的极限时函数符号 f 与极限号可以交换次序)(lim)(lim00ufxufuuxx表明 在定理 3 的条件下如果作代换 u g(x) 那么求)(lim0 xgfxx就转化为求)(lim0ufuu这里)(lim00 xguxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 把定理 5 中的 xx0换成 x可得类似的定理例 3 求93lim23xxx解93lim23xxx93lim23xxx61提示932xxy是由uy与932xxu复合而成的93lim23xxx61函数uy在点61u连续g(x0) 定理 4设函数 y fg(x)由函数 y f(u)与函数 u g(x)复合而成U(x0)Df og若函数 u g(x)在点 x0连续函数 y f(u)在点 u0g(x0)连续则复合函数 y f (x)在点 x0也连续证明因为 (x)在点 x0连续所以0limxx(x)(x0) u0又 y f(u)在点 u u0连续 所以0limxxf (x) f(u0) f (x0)这就证明了复合函数f (x)在点 x0连续例 4讨论函数xy1sin的连续性解函数xy1sin是由 y sin u 及xu1复合而成的sin u 当u时是连续的x1当x0 和 0 x0 a1)对于一切实数 x都有定义 且在区间()内是单调的和连续的它的值域为 (0)由定理 4对数函数 logax (a0 a1)作为指数函数 ax的反函数在区间(0)内单调且连续幂函数 y x 的定义域随的值而异但无论 为何值在区间 (0)内幂函数总是有定义的可以证明在区间(0)内幂函数是连续的事实上设 x0则y xxaalog因此幂函数 x 可看作是由y auulogax 复合而成的由此根据定理6 它在(0)内是连续的 如果对于取各种不同值加以分别讨论可以证明幂函数在它的定义域内是连续的结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的最后根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间初等函数的连续性在求函数极限中的应用如果 f(x)是初等函数且 x0是 f(x)的定义区间内的点则0limxxf(x) f(x0)例 5 求201limxx解初等函数 f(x)21 x在点00 x是有定义的所以111lim20 xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 例 6 求xxsinlnlim2解初等函数 f(x) ln sin x 在点20 x是有定义的所以02sinlnsinlnlim2xx例 7 求xxx11lim20解xxx11lim20) 11() 11)(11(lim2220 xxxxx02011lim20 xxx例 8 求xxax)1(loglim0解xxax)1(loglim0 xaxx10)1(loglimaealn1log例 9 求xaxx1lim0解令 ax1 t则 x loga(1 t) x0 时 t0 于是xaxx1lim0attatln)1 (loglim0 1 10 闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值最大值与最小值对于在区间I 上有定义的函数f(x) 如果有 x0I使得对于任一 x I 都有f(x) f(x0) (f(x) f(x0)则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I 上的最大值（最小值）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 例如函数 f(x) 1 sin x在区间 0 2 上有最大值 2 和最小值 0 又如函数 f(x) sgn x 在区间()内有最大值1和最小值1 在开区间(0)内 sgn x 的最大值和最小值都是1但函数 f(x) x 在开区间 (ab)内既无最大值又无最小值定理 1 （最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值定理 1 说明如果函数f(x)在闭区间 ab上连续那么至少有一点1a b使 f(1)是 f(x)在a b上的最大值又至少有一点 2a b使 f( 2)是 f(x)在a b上的最小值注意如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值例在开区间 (a b) 考察函数 y x又如如图所示的函数在闭区间0 2上无最大值和最小值21311101)(xxxxxxfy定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证明二、介值定理零点如果 x0使 f(x0) 0则 x0称为函数 f(x)的零点定理 3（零点定理） 设函数 f(x)在闭区间 ab上连续且 f(a)与 f(b)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 异号那么在开区间 (a b)内至少有一点使 f( ) 0定理 4（介值定理） 设函数 f(x)在闭区间 a b上连续且在这区间的端点取不同的函数值f(a) A 及 f(b) B那么对于 A与 B之间的任意一个数 C 在开区间 (a b)内至少有一点使得f( ) C定理 4（介值定理）设函数 f(x)在闭区间 a b上连续且 f(a) f(b) 那么对于 f(a)与 f(b)之间的任意一个数C在开区间 (a b)内至少有一点使得f( ) C证设(x) f(x) C则 (x)在闭区间 ab 上连续且(a) A C 与(b) B C 异号根据零点定理在开区间 (a b)内至少有一点使得( ) 0 (a b)但 ( ) f( ) C 因此由上式即得f( ) C (a 0f(1)20根据零点定理在(01)内至少有一点使得f( ) 0即3421 0 (0 1)这等式说明方程 x 34x 21 0 在区间（ 0 1）内至少有一个根是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -