2022年导数知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点导 数 学问要点导数的概念 导数的几何意义、 物理意义导导数的运算常见函数的导数数导数的运算法就函数的单调性导数的应用 函数的极值函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 是函数yfx定义域的一点,假如自变名师归纳总结 量x在x 处有增量x ,就函数值 y 也引起相应的增量yfx0x fx0；比值第 1 页,共 7 页yfx0xfx0称为函数yfx在点x 到x0x之间的平均变化率；假如极xx限lim x0ylim x0fx0x fx 0存在,就称函数yfx在点x 处可导,并把这个xx极 限 叫 做yf x 在x 0处 的 导 数 , 记 作f' x 0或y'|xx 0, 即f' x0=lim x0ylim x0fx0x fx 0. xx注：x 是增量,我们也称为 “转变量 ”,由于x 可正,可负,但不为零 . 已知函数yfx定义域为 A ,yf' x的定义域为 B ,就 A 与 B 关系为AB. 2. 函数yfx 在点x 处连续与点x 处可导的关系：函数yfx在点x 处连续是yfx 在点x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,假如yfx 在点x 处可导,那么yfx 点x 处连续 . 事实上,令xx 0x,就xx0相当于x0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是lim x x0fxlim x0fx 0x lim x名师总结x 0优秀学问点fx0 0fxfx0lim x 0fx0x fx 0xfx0lim x 0fx0x fx0lim x0lim x0fx0f'x00fx0fx 0.xx假如yfx点x 处连续,那么yfx在点x 处可导,是不成立的 . ,当x 例：fx|x|在点x00处连续,但在点x00处不行导,由于y|x|xx0 时,y1；当x 0 时,y1,故lim x0y不存在 . xxx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数yfx在点x 处的导数的几何意义就是曲线yfx 在点x0,fx 处的切线的斜率,也就是说,曲线yfx 在点 Px0,fx处的切线的斜率是f' x0,切线方程为yy0f'x xx0.4、几种常见的函数导数：C'0（ C 为常数）xn''nxn1（nR） s i n'c o s c o s'1s i n xlnx '1 l o g a x l o g aexxex'exax'axlna5. 求导数的四就运算法就：uv'u'v'yf1xf2x.fn'xy'f' 1xf' 2x .f' nxuv'vu'v'ucv 'c'vcv'cv（ c 为常数）u'vu'v2v'uv0v注：u, 必需是可导函数 . 如两个函数可导,就它们和、差、积、商必可导；如两个函数均不行导,就它名师归纳总结 们的和、差、积、商不肯定不行导. fx,gx 在x0处均不行导,但它们第 2 页,共 7 页例如：设fx 2sinx2,gxcosx2,就xx和fxgxsinxcosx在x0处均可导 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 复合函数的求导法就：f x'名师总结'u优秀学问点y'xy'uu'xxf'x 或复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形 . 7. 函数单调性：函数单调性的判定方法： 设函数yfx 在某个区间内可导, 假如f' x0,就yfx为增函数；假如f' x 0,就yfx为减函数 . 常数的判定方法；假如函数yffx 在区间 I 内恒有f' x=0,就yfx 为常数 . f2x3在,上注：fx0是 f（x）递增的充分条件, 但不是必要条件, 如y并不是都有x0,有一个点例外即x=0 时 f（x） = 0,同样x0是 f（x）递减的充分非必要条件 . 一般地, 假如 f（x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正 （或负） ,那么 f（x）在该区间上仍然是单调增加（或单调削减）的 . 8. 极值的判别方法： （极值是在 x 邻近全部的点,都有 f x f x 0 ,就 f x 0 是函数 f x 的极大值,微小值同理）当函数 f x 在点 x 处连续时,假如在 x 邻近的左侧 f ' x 0,右侧 f ' x 0,那么 f x 0 是极大值；假如在 x 邻近的左侧 f ' x 0,右侧 f ' x 0,那么 f x 0 是微小值 . 也就是说 x 是极值点的充分条件是 x 点两侧导数异号, 而不是 f ' x =0 . 此外,函数不行导的点也可能是函数的极值点 . 当然,极值是一个局部概念, 极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同） . 注： 如点 x 是可导函数 f x 的极值点,就 f ' x =0. 但反过来不肯定成立 . 对于可导函数,其一点 x 是极值点的必要条件是如函数在该点可导,就导数值为零 . 例如：函数 y f x x 3,x 0 使 f ' x =0,但 x 0 不是极值点 . 例如：函数 y f x | x |,在点 x 0 处不行导,但点 x 0 是函数的微小值点 . 9. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较 . 名师归纳总结 注：函数的极值点肯定有意义. 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点导数练习一、挑选题1设函数f x 在 R 上可导 , 其导函数f x , 且函数f x 在x2处取得微小值 ,就函数yxf x 的图象可能是（）2设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数A如 e a+2a=e b+3b,就 a>b B如 e a+2a=e b+3b,就 a<b C如 e a-2a=eb-3b, 就 a>b D如 e a-2a=eb-3b, 就 a<b 3设函数 fx=2+lnx 就（）xAx=1 为 fx 的极大值点2Cx=2 为 fx 的极大值点B x=1 为 fx 的微小值点2Dx=2 为 fx 的微小值点名师归纳总结 4设函数f x 1 x,g x x2bx . 如yf x 的图象与yg x 的图象有且仅有两第 4 页,共 7 页个不同的公共点A x 1,y 1,B x 2,y2, 就以下判定正确选项（）Ax 1x 20,y 1y20Bx 1x20,y 1y 20Cx 1x 20,y 1y20Dx 1x20,y 1y205函数 y=1 22 x x 的单调递减区间为（）A1,1 B0,1 C1,+ D0,+ 6已知f x36x29xabc abc , 且f a f b f c 0. 现给出如下结论 : f0f10; f0f10; f0f30; f0f30. 其中正确结论的序号是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB名师总结优秀学问点DC7已知函数f x lnx1x; 就yf x 的图像大致为（）18设 a>0, b>0. 名师归纳总结 A如 2a2a2 b3 b , 就 a>b B如 2 a2 a2b3 b, 就 a<b）第 5 页,共 7 页C如 2a2ab 23 b , 就 a>b D如 2 a2 a2b3 b , 就 a<b9设函数f x 在 R上可导 , 其导函数为f x , 且函数y1x f 的图像如题 8 图所示 , 就以下结论中肯定成立的是（A函数f x 有极大值f2和微小值f1）B函数f x 有极大值f 2和微小值f1C函数f x 有极大值f2和微小值f 2D函数f x 有极大值f 2和微小值f210设函数f x x xe , 就（Ax1为f x 的极大值点Bx1为f x 的微小值点函 数Cx1为f x 的极大值点Dx1为f x 的微小值点11 设a0且a1, 就 “函 数f x ax在 R 上 是 减 函 数”, 是 “- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - g x 2名师总结优秀学问点（）3 a x 在 R 上是增函数” 的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件12已知函数yx33 xc 的图像与 x轴恰有两个公共点 , 就 c3或 1 （）A2 或 2 B 9或 3 C1或 1 D二、填空题13曲线yx3lnx31在点1,1 处的切线方程为 _ 14曲线y3 xx在点 1,3 处的切线方程为 _. 三、解答题15已知函数 f x ax 3bx c在 x 2 处取得极值为 c 161 求 a、b 的值 ;2 如 f x 有极大值 28, 求 f x 在 3,3 上的最大值 . 316已知 aR,函数 f x 4 x 2 ax a1 求 fx 的单调区间2 证明: 当 0x1 时,fx+ 2a >0. 0ax17已知函数f x 1x312ax2a a3名师归纳总结 I 求函数fx的单调区间 ; 第 6 页,共 7 页 II如函数fx在区间 2,0 内恰有两个零点 , 求a的取值范畴 ; III当a1时 , 设函数fx在区间t,t3 上的最大值为M t , 最小值为m t , 记g t M t m t , 求函数g t 在区间,31上的最小值 . 18设函数nf xnbxcnN, , b cR1 设n2,b1,c1, 证明:nf x 在区间1 ,1 2内存在唯独的零点 ; 2 设 n 为偶数 ,f 11,f11, 求 b+3c 的最小值和最大值 ; - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀学问点第 7 页,共 7 页- - - - - - -