2022年求曲线方程的常用方法 .pdf
求曲线方程的常用方法1 直接法若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。2 定义法利用二次曲线的定义求轨迹方程。（1）若平面上的动点P(x,y)满足条件：11|PFPF=定长 2a，且122|aF F(F1F2为定点 )， 那么 P点的轨迹为以F1、 F2为焦点的椭圆。 故只须选择恰当的坐标系，就可直接写出椭圆的方程。（2）若平面上的动点P(x,y)满足条件：11|PFPF=定长 2a，且122|aF F(F1F2为定点 )，那么P 点的轨迹为以F1、F2为焦点的双曲线。当122|aF F时， P点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。3 代入法（或称相关点法）有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P的运动而运动，称之为相关点，若相关点P满足的条件简单、明确（或P的轨迹方程已知） ，就可以用动点P 的坐标表示出相关点P的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。4 几何法利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方法。5 参数法有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程， 然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y，再消参； 有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。5定义法注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。思路方法技巧：1 “直接法”求动点的轨迹方程例1在正三角形ABC 内有一动点P，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|且满足22|P AP BP C，求动点P的轨迹方程。222(3 )4(0(23 )xyaaya例2互相垂直的两条直线1l、2l的交点为 P(a,b)，长为 2r 的线段 MN 的两端点分别在1l、2l上滑动，求线段MN 的中点 Q 的轨迹。（|PQ|=1/2|MN|222()()xaybr）例3已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 距离的差都是2，求这条曲线的方程。21(0)8yxx例4求点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小 1 的点的轨迹方程。216yx2 “代入法”求动点的轨迹方程例5已知一条长为6 的线段两端点A、 B 分别在 x、y 轴上滑动，点M 在线段 AB 上，且:1: 2AMMB，求动点 M 的轨迹方程。22116()4xy变式：将上述滑线部分改为：求线段AB 的中点 M 的轨迹方程。（229xy）例6已知定点 A(3,0) ，P 是单位圆221xy上的动点，AOP的平分线交PA 于 M ，求 M 点的轨迹方程。 （2239()416xy）3.“参数法”求动点的轨迹方程例7过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线1l、2l，若1l交 x 轴于 A 点、2l交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 （x+2y-5=0 ）4 “几何法”求动点的轨迹方程例8已知 ABC 的顶点 A 是定点， 边 BC 在定直线l 上滑动， |BC|=4，BC 边上的高为3，求ABC 外心 M 的轨迹方程。（2650 xy）例9到定点 A(0,0) 和 B(2,4) 距离之和为5 的点的轨迹方程是4(03)3yxx例10 动点 P 到直线 l：3x-2y+1=0 及定点 A(1,2) 距离相等， 则 P 点的轨迹方程为2 3 8 0 xy5 “定义法”求动点的轨迹方程例11 在ABC 中，若 B、C 的坐标分别是 (-2,0)和(2,0)，中线 AD 的长度是3，求点 A 的轨迹方程。229(0)xyy例12 线段 AB 的长度是 10，它的两个端点分别在x 轴、 y 轴上滑动，则AB 中点 P 的轨迹方程。2225xy例13 动点 P 到点 (1,-2) 的距离为 3，求动点 P 的轨迹方程。22(1)(2)9xy例14 已知 B、C 是两个定点， |BC|=6，且 ABC 的周长等于16，求顶点 A 的轨迹方程。22(1(0)2516xyy例15 在C：22(1)25xy内有一点A(1,0) ，Q 为圆周上任一点，AQ 的垂直平分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 线与 QC 的连线的交点为M,求点 M 的轨迹方程。（221252144xx）例16 一动圆与已知圆1O：22(3)1xy外切，圆2O：22(3)81xy内切，试求这动圆圆心的轨迹方程。（2212516xy）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -
