2022年常微分方程第三章测试卷及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果常微分方程第三章测试卷一、班级姓名学号得分填空题（ 30 分）就称函数为在 R 上关于1,y 满意利普希兹条件；2,存在唯独性定理中近似值与真正解在区间xx0h内的误差估量式为3,由解关于初值的对称性,如方程满意初始条件yx0y0的解是唯在解的存一的,记为yx ,x 0y 0,就成立关系式在范畴内；4,如函数 f x , y 以及 f 都在区域 G 内连续,就方程的解 y x , x 0y 0 y作为 x , x 0, y 0 的函数在它的存在范畴内的；5,如函数 f x , y 在区域 G 内连续,且关于 y 满意局部利普希兹条件,就 方 程 的 解 y x , x 0y 0 作 为 x , x 0, y 0 的 函 数 在 它 的 存 在 范 围 内的；6, 微分方程的奇解是指二、解答题（ 50 分）1,求曲线xcosaysinap0的奇解；这里 a是参数, p 为固定常数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2,求y'1y2多练出技巧1巧思出硕果的奇解y3,求初值问题dyx2y2及y1 0；R:x1,1y1的解的存在dx区间,并求其次次近似解,给出在解的存在区间的误差估量；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4,争论dyy21多练出技巧巧思出硕果2 ,3）的解的存在区间；分别过点（ 0,0）,（lndx2名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5,利用克莱洛方程求多练出技巧巧思出硕果pdyyxp1 的奇解,pdx三、证明题（ 20 分）名师归纳总结 dy假设函数fx,y于x 0y0的邻域内是y 的不增函数,试证方程第 4 页,共 7 页x0y0fx ,y满意条件y 的解于xx 0一侧最多只有一个；dx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果常微分方程第三章测试卷一1 , 如 存 在 常 数 L >0 ； 使 得 不 等 式fx ,y 1fx ,y2Ly 1y2, 对 于 所 有x ,y 1,x ,y2R都成立2,nx x MLNhn1；n1 .3,y0x0,x ,y4, 连续可微的；5,连续的6, 一条不属于积分曲线族的特别积分曲线,且满意积分曲线上的每一点都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切；二名师归纳总结 1 解：由xcosaysinap0c 1第 5 页,共 7 页xsinaycosa0得到x2y2p2故所求奇解为x2y2p22 解：易解得其通解为：ysinx又f1y2yya ,b M令f就有y1y3 解：a,1 b1MM a x fx ,y ,4hM i n4f2y2L1y故nx x MLNhn1=n1 .24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x x3x多练出技巧11;巧思出硕果x4x7391863424 解：明显y221在整个平面上是连续满意局部利普希兹条件,从而满意解的存又f yy,所以fx,y y221在唯独性定理和延拓定理的条件；x易知方程的解为 y 1 cex 及 y 11 cex1、 过（ 0,0）的解为 y 1 ex1 exx , ,y 1 ex 有意义,又由解的唯独性知：1 exy 1 ex 与 y 1 不相交,1 e故此方程解的存在区间为 , x1 e2、 过（ln 2 , 3）的解为：y x 当 x 0 , y1 e故方程 的解向左只能延拓到 x 0；x又 y 1 ex 与 y 1 不相交1 e故方程的解的存在区间为 0 , ；1 15,解：由 y xp 与 x 2 0 可得：p p名师归纳总结 y24x0y 0的解于xx 0有两个y 1x,y2x第 6 页,共 7 页三,证明：假设满意条件y x 0就y 1x 0=y0y2x 0=y x 0令x =y 1x -y2x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 1x 与y2x 多练出技巧巧思出硕果为连续函数；名师归纳总结 不妨假设在x0x 1上y 1x y2x x,y20第 7 页,共 7 页于是x ,0xx 0x 1dxdy 1x dy2xfx ,y1fdxdxdx又x0故在 x 0, x 1上x0冲突,因此命题成立；- - - - - - -