2022年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载中国训练学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报杯”20XX 年全国中学数学竞赛试题题号一二11 12 三13 14 总分15 610 得分评卷人复查人答题时留意： 1用圆珠笔或钢笔作答 .2解答书写时不要超过装订线 .3草稿纸不上交 . 一、挑选题（共 5 小题,每道题 6 分,满分 30 分 . 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里 . 不填、多填或错填都得 0 分）1已知实数 x, 满意 44 22 3,y 4y 23,就 44 y 4 的值为（）x x x（A）7 （B）1 13（C）7 13（D）5 2 22把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6 的质地匀称的正方体骰子先后投掷 2 次,如两个正面朝上的编号分别为m,n,就二次函数yx2mxn 的 第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - 图象与 x 轴有两个不同交点的概率是（）（A）5 12（B）4 9（C）17 36（D）1 23有两个同心圆,大圆周上有4 个不同的点,小圆周上有2 个不同的点,就这 6 个点可确定的不同直线最少有 （A）6 条（B） 8 条（C）10 条（D）12 条4已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦, 且ABa1以 AB 为一边在圆 O内作正ABC ,点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点,且 DBABa , DC 的延长线交圆 O 于点 E ,就 AE 的长为（）（A）5a（B）1 （C）3（D）a 22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最终一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满意要求的排法有（）（A）2 种（B）3 种（C）4 种（D）5 种二、填空题（共 5 小题,每道题6 分,满分 30 分）6对于实数 u,v,定义一种运算“*” 为： u v uv v 如关于 x 的方程x a x 1 有 两 个 不 同 的 实 数 根 , 就 满 足 条 件 的 实 数 a 的 取 值 范 围4是7小王沿街匀速行走, 发觉每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车, 每隔3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟8如图,在ABC 中, AB=7,AC=11,点 M 是BC 的中点, AD 是BAC 的平分线, MF AD,就FC 的长为9 ABC 中, AB7,BC8,CA9,（第 8 题）过 ABC 的内切圆圆心 I 作 DE BC,分别与 AB,AC 相交于点 D,E,就 DE的长为2 xy2208xy 的全部正整数解为 第 2 页,共 15 页 10关于 x,y 的方程细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三、解答题（共 4 题,每题 15 分,满分 60 分）11.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y kx b（k 0）的图象与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,且使得OAB 的面积值等于 OA OB 3（1） 用 b 表示 k；（2） 求 ABC 面积的最小值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载12.是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程px2qxp0有有理数根？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13.如图,学习必备欢迎下载ABc, a, , 都是整数,且ABC 的三边长 BCa,CAb,a,b 的 最 大 公 约 数 为 2 点 G 和 点 I 分 别 为 ABC 的 重 心 和 内 心 , 且GIC 90求ABC 的周长（第 13 题）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载14.从 1,2, , 9 中任取 n 个数,其中肯定可以找到如干个数（至少一个,也可以是全部）,它们的和能被 10 整除,求 n 的最小值细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载中国训练学会中学数学教学专业委员会“ 数学周报 杯” 20XX 年全国中学数学竞赛试题参考答案题号一二11 12 三13 14 总分15 610 得 分评卷人复查人答题时留意： 1用圆珠笔或钢笔作答 .2解答书写时不要超过装订线 .3草稿纸不上交 . 一、挑选题（共 5 小题,每道题 6 分,满分 30 分 . 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里 . 不填、多填或错填都得 0 分）1已知实数 x, 满意 44 22 3,y 4y 23,就 44 y 4 的值为（）x x x（A）7 （B）1 13（C）7 13（D）5 2 2【答】（A）所以解： 由于x20,2 y 0,由已知条件得2114 31213,1244431413,yx2824y4233y2x4x22y267x22把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6 的质地匀称的正方体骰子先后投掷 2 次,如两个正面朝上的编号分别为m,n,就二次函数yx2mxn 的 第 7 页,共 15 页 图象与 x 轴有两个不同交点的概率是（）（A）5 12（B）4 9（C）17 36（D）1 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【答】（C）解： 基本领件总数有 6×636,即可以得到 36 个二次函数 . 由题意知m 24 n 0,即 m 4n . 通过枚举知,满意条件的 m,n 有 17 对. 故 P 17 . 363有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,就这 6 个点可以确定的不同直线最少有 （A）6 条（B） 8 条（C）10 条（D）12 条【答】（B）解：如图,大圆周上有 4 个不同的点 A,B,C,D,两两连线可以确定6 条不同的直线；小圆周上的两个点 E,F 中,至少有一个不是四边形 ABCD的对角线 AC 与 BD 的交点,就它与 A,B,C,D的连线中,至少有两条不同于 A,B,C,D 的两两连线从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条（第 3 题）当这 6 个点如下列图放置时,恰好可以确定 8 条直线所以,满意条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条4已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦, 且 AB a 1以 AB 为一边在圆 O内作正ABC ,点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点,且 DB AB a , DC 的延长线交圆 O 于点 E ,就 AE 的长为（）（A）5a（B）1 （C）3（D）a 2 2【答】（B）解：如图,连接 OE,OA,OB 设D,就ECA120EAC 又由于所以ABO1ABD1 60 2180212ACE120,AEOAABO,于是（第 4 题）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最终一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满意要求的排法有（）（A）2 种（B）3 种（C）4 种（D）5 种【答】（D）解： 设a 1,a2,a 3,a 4,a5是 1,2,3,4,5 的一个满意要求的排列第一,对于a 1,a2,a3,a4,不能有连续的两个都是偶数,否就,这两个之后都是偶数,与已知条件冲突又假如ia （1i3）是偶数,ia1是奇数,就ia2是奇数,这说明一个偶数后面肯定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最终一个数所以a 1,a 2,a3,a4,a 5只能是：偶,奇,奇,偶,奇,有如下5 种情形满意条件：2,1,3,4,5；2,3,5,4,1；2,5,1,4,3；4,3,1,2,5；4,5,3,2,1二、填空题（共 5 小题,每道题6 分,满分 30 分）6对于实数 u,v,定义一种运算“*” 为： uvuvv 如关于 x 的方程 第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - xax 1有 两 个 不 同 的 实 数 根 , 就 满 足 条 件 的 实 数a 的 取 值 范 围4是【答】a0,或a1解： 由x ax 1,得2 1 xa1 x10,4a4依题意有a1a0,a10,2 1解得,a0,或a1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载7小王沿街匀速行走, 发觉每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车, 每隔3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟【答】 4解：设 18 路公交车的速度是x 米/分,小王行走的速度是y 米/分,同向行驶（第 8 题）的相邻两车的间距为s米每隔 6 分钟从背后开过一辆18 路公交车,就6x6ys每隔 3 分钟从迎面驶来一辆18 路公交车,就3 x3ys由,可得s4 ,所以s4x即 18 路公交车总站发车间隔的时间是4 分钟8如图,在ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是 BAC 的平分线, MF AD,就 FC 的长为【答】 9解： 如图,设点 N 是 AC 的中点,连接 MN,就 MNAB又MF/AD ,BADDACMFN,（第 8 题答案）所以FMN所以1 2AB FNMNAC9因此FCFNNC1AB1229 ABC 中, AB7,BC8,CA9,过 ABC 的内切圆圆心 I 作 DEBC,分别与 AB,AC 相交于点 D,E,就 DE 的长为【答】16 3解：如图,设 ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆 I 的半径为 r,BC 边上的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 15 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -高为h ,就学习必备欢迎下载所以1ah aSABC1 2abc r,2raach ab由于 ADE ABC,所以它们对应线段成比例,因此h arDE,r h aa x（第 9 题答案）h aBC所以DEh ara 1 1 aacah aba bc ,abc1 63y 的全部正整数解为故DE8（7）87910关于 x,y 的方程2 xy2208【答】x48,x160,y32,y32.解：由于 208 是 4 的倍数,偶数的平方数除以4 所得的余数为 0,奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1,所以 x,y 都是偶数设x2 , a y2 b ,就 第 11 页,共 15 页 - - - - - - - - - a2b2104ab ,同上可知, a,b 都是偶数设a2 , c b2 d ,就c2d252cd ,所以, c,d 都是偶数设c2 , s d2t ,就2 st226st ,于是s132t1322 2 13 ,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载其中 s,t 都是偶数所以s1322 2 13t1322 1321522 11 所以s13可能为 1,3,5,7,9,进而t132为 337,329,313,289,257,故只能是t132289,从而s137于是s6,s20,t4；t4,因此x4 8,x1 6 0y3 2,y3 2 .三、解答题（共 4 题,每题 15 分,满分 60 分）11在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y kx b（k 0）的图象与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,且使得OAB 的面积值等于 OA OB 3（3） 用 b 表示 k；（4） 求 OAB 面积的最小值解：（1）令 x 0,得 y b,b 0；令 y 0,得 x b 0,k 0k所以 A,B 两点的坐标分别为 A（b, ,B 0, ,于是, OAB 的面积为kS 1 b b 2 k由题意,有解得1bbbb3,2kkk2 bb2,b22 b3 5 分（2）由（ 1）知细心整理归纳 精选学习资料 S1 2bbb b32b227b210 第 12 页,共 15 页 kb2b2b2107b102272 10b2b7210, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当且仅当b210时,有S学习必备欢迎下载b210,k1时,不等式7+210,即当b2中的等号成立所以, OAB 面积的最小值为7210 15 分 12是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程px2qxp0有有理数根？解： 设方程有有理数根,就判别式为平方数令q24p22 n ,其中 n 是一个非负整数就qnqn42 p 5 分由于 1 qn q+n,且 qn 与 qn 同奇偶,故同为偶数因此,有如下几种可能情形：qn2,qn4,qn,qq2n2,qnp2,qn2p2,qnp2,qn4,qn2,qn4.,q5p,p,q22p2p2消去 n,解得qp21,q222 10 分对于第 1,3 种情形,p2,从而 q5；对于第 2,5 种情形,p2,从而 q4（不合题意,舍去）；对于第 4 种情形, q 是合数（不合题意,舍去） 又当p2,q5 时,方程为2x25x20,它的根为x 11,x 22,它2们都是有理数综上所述,存在满意题设的质数 15 分B C13 如 图 , ABC 的 三 边 长（第 13 题） 第 13 页,共 15 页 ,aC A,bA B, , 都是整数,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -且 a,b学习必备欢迎下载ABC 的重心和内心, 且的最 大公约 数为 2 点 G 和点 I 分别 为GIC 90求ABC 的周长解：如图,延长 GI ,与边 BC,CA 分别交于点 P,Q设重心 G 在边 BC,CA 上的投影分别为 E,F, ABC 的内切圆的半径为 r , BC,CA 边上的高的长分别为h a,h b,易知 CPCQ,由（第 13 题答案）SPQC SGPC SGQC,可得 2 r GE GF 1h a h b,3即 2 2 SA B C 1 2 S A B C 2 S A B C,a b c 3 a b从而可得 a b c 6aba b 10 分由于ABC 的重心 G 和内心 I 不重合,所以,ABC 不是正三角形,且b a,否就,a b 2,可得 c 2,冲突不妨假设 a b ,由于 a,b 2,设 a 2 a 1,b 2 b, ,b 1,于是有6 ab 12 a b 1 1 为整数,所以有 a 1 b 1 12,即 a b 24a b a 1 b 1于是只有 a 14,b 10 时,可得 c 11,满意条件因此有 a b c 35所以,ABC 的周长为 35 15 分14从 1,2, ,9 中任取 n 个数,其中肯定可以找到如干个数 （至少一个,也可以是全部）,它们的和能被 10 整除,求 n 的最小值解：当 n4 时,数 1,3,5,8 中没有如干个数的和能被 10 整除 5 分当 n5 时,设a 1,a2, ,a5是 1,2, , 9 中的 5 个不同的数如其中任1 第 14 页,共 15 页 意如干个数,它们的和都不能被10 整除,就a 1,a 2, ,a 5中不行能同时显现细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载5中必定有一个数是 5和 9；2 和 8；3 和 7；4 和 6于是a 1,a 2, ,a如a 1,a 2, ,a 5中含 1,就不含 9于是不含 4（41510）,故含 6；于是不含 3（36110）,故含 7；于是不含 2（21710）,故含 8但是 57820 是 10 的倍数,冲突如a 1,a 2, ,a 5中含 9,就不含 1于是不含 6（69520）,故含 4；于是不含 7（74920）,故含 3；于是不含 8（89310）,故含 2但是 53210 是 10 的倍数,冲突综上所述, n 的最小值为 5 15 分细心整理归纳 精选学习资料 - 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