2022年上海教材高中数学知识点总结.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一、集合与常用规律1集合概念元素：互异性、无序性BBAB2集合运算全集 U：如 U=R 交集：ABxxA 且xB 并集：ABxxA 或xB 补集：CUAxxU且 xA 3集合关系空集A子集AB: 任意xAxBABAABA注：数形结合 - 文氏图、数轴 4四种命题原命题：如p 就 q逆命题：如q 就 pp否命题：如p 就q逆否命题：如q 就原命题逆否命题否命题逆命题5充分必要条件p 是 q 的充分条件：Pqp 是 q 的必要条件：Pqp 是 q 的充要条件： p. q 6复合命题的真值 q 真（假） . “q ” 假（真）p、q 同真 . “ pq” 真p、q 都假 . “ pq” 假 7. 全称命题、存在性命题的否定M, px ）否定为 : M, pXM, px ）否定为 : M, pX二、不等式 1一元二次不等式解法如a20,2 axbxc0有两实根,就 第 1 页,共 16 页 axbx,c0解集细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ax2bxc0解集,学习必备欢迎下载注：如a0,转化为a0情形a2（ 0a1）2其它不等式解法转化xaaxax2a2xaxa或xax2fx0fxgx 0gx1）afx agxfx gx （ alogafxlogagxf x 0f x g x 3基本不等式a2b22abab、aba2b2如a,bR,就a2b注：用均值不等式ab2ab求最值条件是“ 一正二定三相等”三、函数概念与性质1奇偶性fx 偶函数 f x f x fx 图象关于 y 轴对称fx 奇函数 f x f x fx 图象关于原点对称注： fx 有奇偶性 定义域关于原点对称fx 奇函数 , 在 x=0 有定义 f0=0 “ 奇+奇=奇” （公共定义域内）2单调性fx 增函数： x 1x 2fx1 fx2 或 x1x2fx1 fx2 或fx 1fx 20x1x2fx 减函数：？注：判定单调性必需考虑定义域fx 单调性判定定义法、图象法、性质法“ 增 +增=增”奇函数在对称区间上单调性相同细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载偶函数在对称区间上单调性相反3周期性T 是f x 周期f x T f x 恒成立（常数T0）4二次函数解析式： fx=ax2+bx+c, fx=ax-h2+k ab2,递增 fx=ax-x1x-x2 对称轴：x2b顶点：b,4aca2a4b单调性： a>0,ba递减,2a2当xb,fxmin4acab22 a4奇偶性： fx=ax2+bx+c 是偶函数b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、争论法- 留意对称轴与区间的位置关系注：一次函数fx=ax+b奇函数b=0 四、基本初等函数1指数式a01a0an1anman 第 3 页,共 16 页 man2对数式logaNbabN（a>0,a 1）logaMNlogaMlogaNlogaMnlogaMMlogaNNlogaMnlogalogablogmblgblogmalgal o g abl o g anbn1al o g注：性质log a10log a a1alogaNN常用对数lgNlog10N,lg2lg51自然对数lnNlogeN,ln e13指数与对数函数y=ax 与 y=log ax细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载定义域、值域、过定点、单调性？注： y=a x与 y=log ax 图象关于 y=x 对称（互为反函数）14幂函数yx2,yx3,yx2,yx1yx在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1描点法 函数化简定义域争论性质（奇偶、单调）取特别点如零点、最值点等 2图象变换 平移：“ 左加右减,上正下负”伸缩：yyfxyfxh 倍yf1xfx 每一点的横坐标变为原来的对称：“ 对称谁,谁不变,对称原点都要变”yfx x 轴yfx 0yfx y 轴yfx yfx 原点yfx 注：yfx 直线xayf2 ax 翻折：yfxy|f x |保留 x 轴上方部分,并将下方部分沿x 轴翻折到上方101细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -yy=fx学习必备欢迎下载yy=|fx|yfxyaobcxaaoybccxxf|x|保留 y 轴右边部分,并将右边部分沿y 轴翻折到左边y=f|x|yy=fxaobcxob3零点定理如fa fb0,就yfx在a,b 内有零点0（条件：fx在a ,b上图象连续不间断）注：fx 零点：f x 0的实根在a ,b 上连续的单调函数f x ,fafb就fx 在a ,b上有且仅有一个零点二分法判定函数零点-fafb0？六、三角函数1概念其次象限角2k2,2 kkyZ 2弧长lr扇形面积S1lr23定义sinycosxtanrrxr其中Px,y 是终边上一点,PO4符号“ 一正全、二正弦、三正切、四余弦”5诱导公式 ：“ 奇变偶不变,符号看象限”如Sin2sin,cos/2sin6特别角的三角函数值细心整理归纳 精选学习资料 0 64323 第 5 页,共 16 页 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sin0 1学习必备欢迎下载1 0 123222cos1 32130 0 10 222tg0 31 / / 37基本公式同角sin2cos21sintanatan212tan2cos和差sinsincoscossincoscoscossinsintantantan1tantan倍角sin22sincoscos 22 cos2 sin2 2 cos112 2 sintan降幂 cos2 =1cos2 sin2 =1cos222叠加sincos2sin43sincos2sin6asinbcosa2b2sintanb8三角函数的图象性质y=sinx y=cosx y=tanx 图象单调性：2,2增 ,0减2,2增细心整理归纳 精选学习资料 sinx cosx tanx 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -值域-1 ,1 学习必备欢迎下载无-1 ,1 奇偶Z2奇函数/2/2偶函数奇函数无0周期对称轴xkxkk/,22k, 0中心k,0注：k9解三角形基本关系 ：sinA+B=sinC cosA+B=-cosC s i n CtanA+B=-tanC sinA2BcosC2正弦定理 ：aA=bB=cCsinsinsina2 RsinAa:b:cs i n A:s i n B:余弦定理 ：a2=b2+c 22bccosA（求边）cosA=b2c2a2（求角）2 bc面积公式 ：S 1absinC2注：ABC 中, A+B+C=？ABsinAsinBa 2b 2+c2 . A2七、数列1、等差数列定义 ：an 1andna1 daq通项 ：a na1n1 d求和 ：Snn a 12anna 11n2中项 ：ba2c（a,b,c成等差）p性质 ：如mnpq,就aman2、等比数列定义 ：an1q q10 第 7 页,共 16 页 an通项 ：ana 1 qn细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求和 ：S na 1na 1qnq11 学习必备欢迎下载1q1q中项 ：b2ac（a,b ,c成等比）manapaq性质 ：如mnpq就a3、数列通项与前n 项和的关系ans 1a1nn1 2 s ns n14、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面对量1向量 加减 三角形法就,平行四边形法就AB BC AC 首尾相接,OB OC =CB 共始点中点公式：AB AC 2 AD D 是 BC 中点2 向量 数量积 a b = a b cos= x 1 x 2 y 1 y 2注： a , b 夹角 ：0 0 180 0 a, b 同向 ：a b a b3基本定理 a 1 e 1 2 e 2（e 1,e 2 不共线 - 基底）平行 ：a / b a b x 1 y 2 x 2 y 1（b 0）垂直 ：a b a b 0 x 1 x 2 y 1 y 2 02模： a x 2y 2a b a b 2夹角 ： cos a b| a | b |注 ： 0 a a b c a b c（结合律） 不成立 a b a c b c（消去律） 不成立九、复数与推理证明1复数概念细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -复数 ：zabia,b学习必备欢迎下载R ,实部 a、虚部 b 分类 ：实数（b0）,虚数（b0）,复数集 C 注： z 是纯虚数a0,b0相等 ：实、虚部分别相等共轭 ：zabiz,z2模：za2b2z复平面 ：复数 z 对应的点ab2复数运算加减 ：（a+bi ）± c+di=？乘法 ：（a+bi ）（c+di ）=？除法 ：abi= abicdi=cdicdicdi乘方 ：2i1,nii4krir3合情推理类比 ：特别推出特别归纳 ：特别推出一般演绎 ：一般导出特别（大前题小前题结论）4直接与间接证明综合法 ：由因导果比较法 ：作差变形判定结论反证法 ：反设推理冲突结论分析法 ：执果索因分析法书写格式：要证 A 为真,只要证 B 为真,即证 ,这只要证 C为真,而已知 C为真,故 A 必为真注：常用分析法探究证明途径,综合法写证明过程5数学归纳法：1 验证 当 n=1 时命题成立 , 2 假设 当 n=kk N* , k 1 时命题成立 , 证明 当 n=k+1 时命题也成立由 12 知这命题对全部正整数 n 都成立注：用数学归纳法证题时,两步 缺一不行 ,归纳假设必需使用十、直线与圆1、 倾斜角k范畴 0,y 2y 1斜率tanx 2x 1注：直线 向上方向 与 x 轴正方向 所成的 最小正角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载倾斜角为 90 时,斜率不存在 2、直线方程点斜式yy0kxx0,斜截式ykxb1两点式yy1xx1,截距式xyy2y1x2x 1ab一般式AxByC0留意适用范畴 ：不含直线xx0不含垂直x 轴的直线不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系 （留意条件）平行k 12k 2且b 1b2A A 2B B 20垂直k k1垂直4、距离公式两点 间距离： |AB|=x 1x 22y 1y 22,半径 r点到直线 距离：dAx 0ABy 02C圆心a,b2B5、圆 标准方程 ：xa2yb 2r20（条件是？）圆一般方程 ：x2y2DxEyF圆心D,E半径rD2E24F2226、直线与圆 位置关系位置关系相切2y0d相交点d,相离 第 10 页,共 16 页 几何特点drrr代数特点0P x 000b 注：点与圆位置关系x 0a2r2y 0在圆外7、直线截圆所得弦长AB2r2d2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载十一、圆锥曲线一、 定义椭圆 ： |PF 1|+|PF 2|=2a2a>|F 1F2| 双曲线 ：|PF 1|-|PF 2|= ± 2a0<2a<|F 1F2| 抛物线 ：与定点和定直线距离相等的点轨迹二、 标准方程与几何性质（如焦点在 x 轴）2 2椭圆 x2 y2 1 a>b>0 a b2 2双曲线 x2 y2 1 a>0,b>0 a b中心 原点 对称轴 ？ 焦点 F1c,0 、F2-c,0 顶点 : 椭圆 ± a,0,0, ± b ,双曲线 ± a,0 范畴 : 椭圆 -a x a,-b y b 双曲线 |x| a ,y R 2 2焦距 ：椭圆 2c（c= a b）双曲线 2c（c= a 2b 2）2a、2b: 椭圆长轴、短轴长,双曲线实轴、虚轴长离心率 ：e=c/a 椭圆 0<e<1, 双曲线 e>10. mn注：双曲线x2y21渐近线ybxa2b2a方程mx2ny21 表示椭圆m0,n方程mx2ny21 表示双曲线mn0抛物线 y2=2pxp>0 对称轴（ x 轴）顶点（原点）开口（向右）范畴 x 0 离心率 e=1 焦点F p 2,0准线xp2十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一程序框图程序框名称起始和终止功能 第 11 页,共 16 页 细心整理归纳 精选学习资料 起止框 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -输入、输出框学习必备欢迎下载输入和输出的信息处理框判定框循环框赋值、运算判定某一条件是否成立重复操作以及运算二基本算法语句及格式1 输入语句 ：INPUT “ 提示内容”；变量2 输出语句 ：PRINT“ 提示内容”；表达式3 赋值语句 ：变量 =表达式4 条件语句“IF THENELSE” 语句“ IF THEN” 语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1 语句ELSE END IF 语句 2 END IF 5 循环语句当型循环语句 直到型循环语句WHILE 条件 DO 循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“ 先判定后循环”直到型“ 先循环后判定”三算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为 0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式 fx= a nx n+a n-1x n-1+ .+a1x+a 0的求值秦九韶算法 ： v1=anx+an 1 v2=v1x+an2 v3=v 2x+an3 vn=v n1x+a0注：递推公式 v0=an vk=vk 1X+ankk=1,2, n 求 fx 值,乘法、加法均最多 n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -anan1.a 1a0kanknan1学习必备欢迎下载a 1ka0kn1.十进制数转换成 k 进制数：“ 除 k 取余法 ”例 1 辗转相除法求得 123 和 48 最大公约数为 3 例 2 已知 fx=2x 55x 44x 3+3x 26x+7,秦九韶算法求 f5 1232× 48 27 v 0=2 481× 27 21 v 1=2× 55=5 27 1× 21 6 v 2=5× 5 4=21213× 6 3 v 3=21× 5+3=108 62× 3 +0 v 4=108× 56=534 v5=534× 5+7=2677 十三、立体几何1三视图 正视图、侧视图、俯视图2直观图 ：斜二测 画法 X OY =45 ' ' ' 0平行 X 轴的线段,保平行和长度平行 Y 轴的线段,保平行,长度变原先一半3体积与侧面积V柱=S底 h V锥 =1 S 底 h V 3球=4 R 332S圆锥侧 = rl S圆台侧 =Rr l S球表=4 R4公理与推论确定一个平面的条件：不共线的三点一条直线和这直线外一点两相交直线两平行直线公理 ：平行于同一条直线的两条直线平行定理 ：假如两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补；5两直线位置关系 相交、平行、异面异面直线 不同在 任何一个平面内6直线和平面位置关系aaAa/7平行的判定与性质线面平行 ：a b ,b,aa ab 第 13 页,共 16 页 a ,a,ba b面面平行 ：平面 ABC AB , AC , aa 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载8垂直的判定与性质线面垂直 ：pAB,pACp面ABC面面垂直 ：a,a, 那么这两个平面垂直；假如一个平面经过另一个平面的一条垂线如两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 P三垂线定理 ：PO,AOaaPAaaAOaPOPAAO在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直逆定理？9空间角、距离的运算 异面直线所成的角 范畴（ 0° , 90° 平移法：转化到一个三角形中,用余弦定理 直线和平面所成的角 范畴 0 ° , 90° 定义法：找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范畴 0 ° , 180° 定义法：作出二面角的平面角,转为解三角形 点到平面的距离 体积法 - 用三棱锥体积公式 注：运算过程, “ 一作二证三求”,都要写出 10立体几何中的向量解法法向量求法 ：设平面 ABC的法向量 n =（x,y ）nAB,nAC2ABnAB0,nAC0解方程组,得一个法向量nC线线角： 设n n 是异面直线 1 2l1,l 的方向向量,l l 所成的角为,就coscosn1,n即 1 l l 所成的角等于n 1,n 2或n n 2线面角：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设 n 是平面的法向量,AB 是平面学习必备欢迎下载的一条斜线,AB 与平面所成的角为,l的大小为,就coscosn 1,n 2或就sincosn,ABABnABn二面角： 设n n 是面 1 2,的法向量,二面角cosn 1,n 2即二面角大小等于n 1, n 2或n n 2点到面距离：如 n 是平面的法向量, AB 是平面的一条斜线段,且B,就点 A 到平面的距离dABnn十四、计数原理1.计数原理加法分类 , 乘法分步m！2排列组合差异 - 排列有序而组合无序公式Am=nn1nm1 =nn！nm ！Cm=n n11nm1 =m！n！n2mn关系 ：m A nm！Cm2nn性质 ：Cm=CnmC n 0C n 1C n 2C n nnn3排列组合应用题 原就 ：分类后分步,先选后排,先特别后一般 解法 ：相邻问题“ 捆绑法”,不相邻“ 插空法”复杂问题“ 排除法”4二项式定理特例ab nrC n 0 a nC n 1 a n1 bC n 2 a n2 b 2nC n r anrb rC n n b n 第 15 页,共 16 页 11x n11 C xr C xr,xn通项TrCanrbrr0,n细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -注C - 第 n rr1学习必备欢迎下载项二项式系数性质 ：全部二项式系数和为2n中间项二项式系数最大赋值法 ：取x0,1,1等代入二项式十五、概率与统计1古典概型：P A m（A包含的基本领件个数）n总的基本领件个数求基本领件个数：列举法、图表法2几何概型 ： P AA 的区域长度（面积或体积）积）区域总长度（面积或体注：试验显现的结果无限个 3加法公式 ：如大事 A 和 B 互斥,就P ABP AP BP A1P A互斥大事 : 不行能同时发生的大事 对立大事 : 不同时发生,但必有一个发生的大事 4 常用抽样（不放回）简洁随机抽样 ：逐个抽取（个数少）系统抽样 ：总体均分,按规章抽取（个数多）分层抽样 ：总体分成几层,各层按比例抽取（总体差异明显）5用样本估量总体 众数 ：显现次数最多的数据 中位数 ：按从小到大,处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数 ：x1i1iniixx标准差 sn1方差S2xnn16频率分布直方图小长方形面积 =组距×频率=频率组距各小