2022年三角函数复习学案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三角函数复习教案【学问网络】应用弧长公式同角三角函数诱导应用运算与化简的基本关系式公式证明恒等式应用任意角的概念角度制与任意角的应用三角函数的应用已知三角函弧度制三角函数图像和性质数值求角和角公式倍角公式应用差角公式应用学法：1留意化归思想的运用如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,角的三角函数问题等将不同角的三角函数问题化成同2留意数形结合思想的运用如争论函数性质等问题时,要结合函数图象摸索,便易找出解题思路和问题答案第 1 课 三角函数的概念考试留意：懂得任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算把握终边相同角的表示方法把握任意角的正弦、余弦、正切的意义明白余切、正割、余割的定义掌握三角函数的符号法就学问在线：1角 的终边在第一、三象限的角平分线上,角 的集合可写成 第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - 2已知角 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 的终边 A 在 x 轴上B在 y 轴上C在直线 y=x 上D在直线 y=x 上 3已知角 的终边过点p5,12,就 cos ,tan = 4tan3cos 5的符号为cos 85如 cos tan 0,就 是 A第一象限角B其次象限角C第一、二象限角D其次、三象限角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【讲练平台 】例 1 已知角的终边上一点P（3 ,m）,且 sin = 2 4 m,求 cos 与 tan 的值分析 已知角的终边上点的坐标,求角的三角函数值,应联想到运用三角函数的定义解题,由 P 的坐标可知,需求出 m 的值,从而应寻求 m 的方程点评 已知一个角的终边上一点的坐标,求其三角函数值,往往运用定义法 三角函数 的定义 解决例 2 已知集合 E= cos sin ,0 2 ,F= tan sin ,求集 合 E F分析对于三角不等式,可运用三角函数线解之, 2是哪个象限的角. 例 3 设 是其次象限角,且满意sin 2 |= sin2点评已知 所在的象限,求 2或 2 等所在的象限,要运用终边相同的角的表示法来表示,否就易出错【知能集成 】留意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标,求三角函数值往往运用定义法；留意运用三角函数线解决有关三角不等式【训练反馈】1 已知 是钝角,那么是B其次象限角（） 第 2 页,共 17 页 2A第一象限角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C第一与其次象限角 D不小于直角的正角2 角 的终边过点P（ 4k,3k）k 0 ,就 cos 的值是（） A3 B4C3D455553已知点 Psin cos ,tan 在第一象限, 就在 0,2 内, 的取值范畴是A 2, 3 4 ,5 4 B 4, 2 ,5 4 C ,3 45 4,3 2 D 4, 23 4, 24如 sinx= 5,cosx =4 5,就角 2x 的终边位置在 A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限5如 4 6 ,且 与2终边相同,就 = 36 角 终边在第三象限,就角2 终边在象限7已知 tanx=tanx,就角 x 的集合为8假如 是第三象限角,就cossin ·sinsin 的符号为什么？9已知扇形AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是1 弧度,求该扇形面积第 2 课 同角三角函数的关系及诱导公式【考点指津】把握同角三角函数的基本关系式：sin 2 +cos 2 =1,sin=tan ,把握正弦、余弦cos的诱导公式 能运用化归思想 （即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题）解题【学问在线】1sin2150° +sin2135° +2sin210° +cos 2225° 的值是 第 3 页,共 17 页 A 1 4B3 4C11 4D9 4 2已知 sin + =3 5,就 A cos = 4Btan = 3Ccos = 4Dsin = 354553已 tan =3,4sin 2cos的值为 5cos 3sin4化简1+2sin -2cos +2 = 5已知 是第三象限角,且sin4 +cos 4 = 5 9,那么 sin2 等于细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 22 B2 2 C2D23333【讲练平台】例 1 分析化简sin2tancos3sincostan式中含有较多角和较多三角函数名称,如能削减它们的个数,就式子可望简化解：点评 将不同角化同角, 不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方 法例 2 分析如 sin cos = 1 8, 4, 2 ,求 cos sin 的值已知式为 sin 、cos 的二次式,欲求式为sin 、cos 的一次式,为了运用条件,须将 cos sin 进行平方变式 1 条件同例,求 cos +sin 的值变式 2 已知 cos sin = 2 3 , 求 sin cos ,sin +cos 的值点评 sin cos ,cos +sin , cos sin 三者关系紧密,由其中之一,可求其余 之二例 3 已知 tan =3求 cos 2 +sin cos 的值tan分析由于 cos 2 +sin cos 是关于 sin 、cos 的二次齐次式,所以可转化成的式子点评1关于 cos 、sin 的齐次式可转化成tan 的式子2留意 1 的作用 :1=sin 2 +cos2 等细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【知能集成】1在三角式的化简,求值等三角恒等变换中,要留意将不同名的三角函数化成同名的三角函数2留意 1 的作用：如 1=sin 2 +cos 2 3要留意观看式子特点,关于 sin 、cos 的齐次式可转化成关于 tan 的式子4运用诱导公式,可将任意角的问题转化成锐角的问题【训练反馈】1sin600° 的值是（）A 1B1C3 D3 22222 sin 4 + sin（ 4 ）的化简结果为（）A cos2B1 2cos2Csin2D1 2sin23已知 sinx+cosx=1 5, x 0, ,就 tanx 的值是（A 3B4C±4D4或 44334已知 tan =1 3,就1 2sin cos +cos 2= 512sin10° cos10°的值为cos10° 1cos2170°6证明1+2sin cos cos 2 sin 2=1+ tan 1tan 7已知2sin +cos sin 3cos= 5,求 3cos2 +4sin2 的值8已知锐角 、 、 满意 sin +sin =sin ,cos cos =cos ,求 的值第 3 课 两角和与两角差的三角函数（一）【考点指津】把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,把握二倍角的正弦、余弦、正切公式,能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题【学问在线】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1cos105° 的值为（）A 6 2 B6 2 C2 6 D6 2 （44442对于任何 、 （ 0, 2）,sin + 与 sin +sin 的大小关系是）A sin + sin +sin Csin + =sin +sinBsin + sin +sin D要以 、 的详细值而定3已知 3 2,sin2 =a,就 sin +cos 等于（）2+ 1 Aa+ 1 Ba+ 1 Ca 2+ 1 D±a4已知 tan =3, tan =1 3,就tan2= 5已知 tanx=1 2,就 cos2x= 【讲练平台】例 1 已知 sin sin =13,cos cos = 12,求 cos 的值点评 审题中要善于查找已知和欲求的差异,设法排除差异例 2 求2cos10° -sin20°cos20°的值点评 化异角为同角,是三角变换中常用的方法例 3 已知： sin2 + =2sin 求证： tan =3tan + +点评审题中要认真分析角与角之间的关系,善于运用整体思想解题,此题中将看成一个整体【知能集成】审题中, 要善于观看已知式和欲求式的差异,留意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【训练反馈】1已知 0 2 ,sin =3 5,cos + =4 5,就 sin 等于（）24 24 24A0 B0 或 25 C25 D0 或25sin7° +cos15° sin8°2cos7° sin15° sin8°的值等于（）2+ 3 23 A2+ 3 B2 C23 D23 ABC 中, 3sinA+4cosB=6 ,4sinB+3cosA=1 ,就 C 的大小为（） 5 A6 B6 C6或 5 D3或24如 是锐角,且 sin 6 = 1 3,就 cos 的值是5cos 7 cos2 7 cos3 = 6已知 tan = 2, tan =1 3,且 、 都是锐角求证： + =45° 7已知 cos =5,cos + = 4 5,且（ ）（2, ）, + （ 3 2,2 ）,求 cos2 、cos2 的值8 已知 sin + = 1 2,且 sin + = 13,求tan tan第 4 课 两角和与两角差的三角函数（二）【考点指津】把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；把握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能敏捷运用和角、差角、倍角公式解题【学问在线】求以下各式的值1cos200° cos80° +cos110° cos10° = 第 7 页,共 17 页 21 2（cos15° +3 sin15° ） = 3化简 1+2cos 2 cos2 = 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4cos20° +xcos25 ° xcos70° xsin25° x= 511 1tan= 1tan【讲练平台】例 1 求以下各式的值3 tan10° tan50° ；（1）tan10° tan50° +2 sin3tan 1212321242 cos解点评（1）要留意公式的变形运用和逆向运用,留意公式tanA+tanB=tanA+B （1tanAtanB ）, asinx+bsinx=a2b2sinx+ 的运用；（ 2）在三角变换中,切化弦是常用的变换方法例 2 已知 cos 4 +x= 3 5,17 12x 7 4,求 sin2x sin2xtanx的值解点评（1）留意两角和公式的逆用； （2）留意特殊角与其三角函数值的关系,如 1=tan4等；（ 3）留意化同角,将所求式中的角x 转化成已知条件中的角x+ 4【知能集成】在三角变换中,要留意三角公式的逆用和变形运用,特殊要留意如下公式：tanA+tanB=tanA+B 1 tanAtanB ；细心整理归纳 精选学习资料 asinx+bcosx=a22 bsinx+ 及升幂、降幂公式的运用 第 8 页,共 17 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【训练反馈】1cos75° +cos15° 的值等于（）2 D2 A 6 B 6 C22222a= 2 2（sin17° +cos17° ）,b=2cos213° 1,c= 2 2,就（）A cab Bbca Cabc Db ac 3化简1+sin2 -cos2 1+sin2 +cos2= 4化简 sin2 + 2sin cos + = 5化简 sin 2A+sin2B+2sinAsinBcosA+B 6. 化简 sin50° 1+3 tan10° 7 已知 sin + =1,求证： sin2 + +sin2 +3 =0第 5 课 三角函数的图象与性质（一）【考点指津】明白正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,能运用数形结合的思想解决问题,能争论较复杂的三角函数的性质【学问在线】1如3 +2cosx 0,就 x 的范畴是 4, 2 2以下各区间,使函数y=sinx+ 的单调递增的区间是（）A 2, B0, 4C ,0D3以下函数中,周期为 2的偶函数是（）Cy=tan2x Dy=cos2x Ay=sin4x By=cos22xsin22x 4判定以下函数的奇偶性（ 1）y=xsinx+x2cos2x 是函数；（ 2）y= sin2x xcotx 是函数；（ 3）y=sin 7 2 +3x 是函数5函数 fx=cos3x+ 是奇函数,就 的值为【讲练平台】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 1 （1）函数 y=lg1tanx 的定义域为12sinx点评2如 、 为锐角, sin cos ,就 、 满意（C）2）A B C + D + 22（1）争论周期函数的问题,可先争论一个周期内的情形,然后将其推广；（解三角不等式,要留意三角函数图象的运用；（数值的大小例 2 求以下函数的最小正周期：3）留意运用三角函数的单调性比较三角函（1）y=sin2x 6 sin2x+ 3 ；2y= sin2xsin2 x3.y=Asin x+ cos 2xcos 2x3点评求复杂函数的周期,往往需先化简,其化简的目标是转化成k 或 y=Acos x+ k 或 y=Atan x+ k 的形式（其中 A、 、 、k 为常数, 0）例 4 已知函数 fx=5sinxcosx 53 cos 2x+523xR 1求 fx 的单调增区间；（2）求 fx 图象的对称轴、对称中心细心整理归纳 精选学习资料 分析函数表达式较复杂,需先化简 第 10 页,共 17 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点评争论三角函数的性质, 往往需先化简, 以化成一个三角函数为目标；争论 y=Asin x+ 0的单调区间, 应将 x+ 看成一个整体,设为t,从而归结为争论y=Asint 的单调性【知能集成】争论较复杂的三角函数的性质,往往需要将原函数式进行化简,其目标为转化成同一个角的同名三角函数问题争论三角函数的单调性,解三角不等式, 要留意数形结合思想的运用留意函数性质在解题中的运用：如一个函数为周期函数,就争论其有关问题,可先争论在一个周期内的情形,然后再进行推广；如要比较两个角的三角函数值的大小,可考虑运用三角函数的单调性加以解决【训练反馈】1函数 y=lg2cosx 1的定义域为（） A x 3x3 B x 6x6 Cx 2k 3x2k + 3,kZ D x 2k 6 x2k + 6, kZ 2假如 、 （2, ）,且 tan tan 1,那么必有（）3 3A B C + 2 D + 23如 fxsinx 是周期为 的奇函数,就 fx 可以是（）A sinx Bcosx Csin2x Dcos2x 4以下命题中正确选项（）A 如 、 是第一象限角,且 ,且 sin sinB函数 y sintan xx 的单调递增区间是（2k 2,2k + 2）, kZ 1cos2xC函数 y= sin2x 的最小正周期是 2k D函数 y=sinxcos2 cosxsin2 的图象关于 y 轴对称,就 = 24,kZ 5函数 y=sin x2+cos x2在（ 2 ,2 ）内的递增区间是6y=sin 6x+cos 6x 的周期为7比较以下函数值的大小：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）sin2, sin3, sin4；2cos2 ,sin2 ,tan2 （ 4 2）变化时,8设 fx=sin k 5x+ 3 k 0 1写出 fx 的最大值 M,最小值 m,以及最小正周期T；（2）试求最小的正整数k,使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）函数 fx 至少有一个M 与 m第 6 课三角函数的图象与性质（二）【考点指津】明白正弦函数、余弦函数、正切函数的图象,会用“ 五点法” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin x+ 的图象,懂得参数A、 、 的物理意义把握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会依据图象供应的信息,求出函数解析式【学问在线】1将 y=cosx 的图象作关于x 轴的对称变换, 再将所得的图象向下平移1 个单位,所得图象） 第 12 页,共 17 页 对应的函数是（）A y=cosx+1 By=cosx1 Cy=cosx+1 Dy=cosx1 2函数 fx=sin3x 图象的对称中心的坐标肯定是（）A 1 2k ,0, kZ B（1 3k ,0）, kZ C（1 4k ,0）, kZ D（k ,0）,kZ 3函数 y=cos2x+ 2的图象的一个对称轴方程为（）A x=Bx= Cx= Dx=2484为了得到函数y=4sin3x+ 4,x R 的图象,只需把函数y=3sinx+ 4的图象上全部点 （A 横坐标伸长到原先的3 倍,纵坐标不变B横坐标缩短到原先的1 倍,纵坐标不变 3C纵坐标伸长到原先的3 倍,横坐标不变D纵坐标缩短到原先的1 倍,横坐标不变3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5要得到y=sin2x 3的图象,只需将y=sin2x 的图象（）A 向左平移 3个单位B向右平移 3个单位C向左平移 6个单位D向右平移 6个单位【讲练平台】例 1 函数 y=Asin （ x+ A 0, 0, 2的最小值为 2,其图象相邻的最高点和最低点横坐标差 3 ,又图象过点（0,1）,求这个函数的解析式点评 y=Asin x+ 中的 A 可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定, 由周期的大小确定, 的确定一般采纳待定系数法,即找图像上特殊点坐标代入方程求解,也可由 的几何意义（图象的左右平移的情形）等确定（请看下例）例 2 右图为某三角函数图像的一段3 y 13x （1）试用 y=Asin （ x+ 型函数表示其解析式；（2）求这个函数关于直线x=2 对称的函数解析式O 333点评 y=sin x+ 0的图象由 y=sin x 的图象向左平移（ 0）或向右平移（ 0）| | 个单位 特殊要留意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时,要留意解几学问的运用细心整理归纳 精选学习资料 例 3 已知函数 y=1 2cos 2x+ 3 2sinxcosx+1 x R 第 13 页,共 17 页 1当 y 取得最大值时,求自变量x 的集合； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）该函数图象可由 y=sinxx R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？摸索 仍有其他变换途径吗？如有,请表达点评（1）回答图像的变换时,不能省略 “ 纵坐标不变”、“ 横坐标不变”等术语（ 2）周期变换后的左右平移要留意平移单位的变化【知能集成】已知三角函数 y=Asin x+ ）的图象,欲求其解析式,必需搞清 A 、 、 和图象的哪些因素有关；y=sin x 和 y=sin x+ 两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错,解题时要倍加当心【训练反馈】1函数 y= 1 2sin2x+ 的图象关于y 轴对称的充要条件是（） 第 14 页,共 17 页 - - - - - - - - - A =2k + B =k + 2C =2k +D =k + kZ 22先将函数y=sin2x 的图象向右平移 3个单位长度,再将所得图象作关于y 轴的对称变换,就所得函数图象对应的解析式为（）Ay=sin 2x+ 3 B y=sin 2x 3 Cy=sin 2x+ 2 3 Dy=sin 2x2 3 y 3右图是周期为2 的三角函数y=fx 的图象,1 那么 fx 可以写成（） 1 1 x A sin1+x Bsin1x Csinx 1 Dsin1x 4y=tan1 2x 3在一个周期内的图象是（）y y y y O 325x O 627x 2O 34x O 35x 33363366A B C D 5已知函数y=2cosx0 x2 的图象与直线y=2 围成一个封闭的平面图形,就该封闭图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -形面积是 6将 y=sin3x 6的图象向（左、右）平移 个单位可得 y=sin3x+ 3）的图像7已知函数 y=Asin x+ ,在同一个周期内,当 x= 9时取得最大值 1 2,当 x=4 9时取得 1 最小值,如 A 0, 0, ,求该函数的解析表达式2 28已知函数 y= 3 sinx+cosx ,xR1当 y 取得最大值时,求自变量 x 的取值集合；（ 2）该函数的图象可由y=sinxx R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？9如图：某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满意函数 y=Asin x+ +b（1）求这段时间的最大温差；y 温度 / （2）写出这段曲线的函数解析式30 20 10 时间 /h 第 7 课三角函数的最值6 10 14 【考点指津】把握基本三角函数 y=sinx 和 y=cosx 的最值,及取得最值的条件；把握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形,将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题【学问在线】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1已知（ 1）cos 2x=1.5 ；2sinx cosx=2 5 ；3tanx+1 tanx=2 ；4sin3x= 4上述四个等式成立的是（）5 24,A （1）（2）B（2）（4）C（ 3）（4）D（1）（3）,当 x2当 xR 时,函数 y=2sin2x+ 12的最大值为,最小值为 24时函数 y 的最大值为,最小值为 . 3函数 y=sinx 3 cosx 的最大值为,最小值为4函数 y=cos 2x+sinx+1 的值域为【讲练平台】例 1 求函数 fx=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值,并求出此时 x 的值