2022年三角函数的简单应用教案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载§9 三角函数的简洁应用 三维目标 1学问与技能 用三角函数讨论简洁的实际问题,将实际问题抽象为三角函数问题,特别是周期性问题2过程与方法 通过用三角函数解决实际问题,提高分析问题、解决问题的才能3情感、态度与价值观 通过本节内容的学习,使同学感受到生活离不开数学,培育同学健康向上的高尚情操 重点难点 重点：三角函数在实际生活中的应用难点：将实际问题抽象为三角函数模型老师用书独具 教学建议 1本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题,教学中注 意引导同学学会从实际问题中发觉周期变化的规律,并将所发觉的规律抽象为恰当的三角函 数模型2老师在课堂上引导同学归纳运用三角函数模型解决问题的几种类型：1由图像求解析式：第一由图像确定解析式的基本形式,例如：yAsin x,然后根据图像特点确定解析式中的字母参数,在求解过程中仍要结合函数性质2由图像讨论函数性质：观看分析函数图像,易求单调性、奇偶性、对称性、周期性,然后求最值、周期、频率、相位、初相等3利用三角函数讨论实际问题：第一分析、归纳实际问题,抽象概括出数学模型,再利 用图像及性质解答数学问题,最终解答出实际问题3解决这类题目的通法如下：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载 教学流程创设问题情境,引出问题：三角函数模型的常见应用类型有哪些？引导同学联想生活具有周期性变化的现象. 引导同学探究：你如何应用三角函数模型来解决上述这些问题呢？在应用过程中应留意些什么呢？. 通过例 1 及其变式训练,使同学把握用三角函数模型解决实际问题的方法思路及留意事项. 通过例 2 及其变式训练,使同学把握三角函数模型在物理现象中的应用方法. 归纳整理,进行课堂小结,整体熟悉本节课所学学问. 完成当堂双基达 标,巩 固 所 学 知 识 并 进 行 反 馈 矫正 .三角函数在实际生活中的应用已知某地一天从4 点到 16 点的温度变化曲线近似满意函数y10sin 8x5 4 20,x 4,16 1求该地区这一段时间内温度的最大温差；2如有一种细菌在 15 到 25 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间？【思路探究】1只需依据时间x 的变化范畴求出最高温度和最低温度；2可令 y15 第 2 页,共 17 页 和 25,分别求出相应的时刻x,便得细菌存活的时间8x5 4 2,【自主解答】1x4,16 ,就 8x5 43 4,3 4 由函数图像易知,当细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载 5 即 x14 时,函数取最大值即最高温度为 30 ,当 8x42,即 x6 时,函数取最小值即最低温度为 10 ,所以,最大温差为 30 10 20 . 5 5 1 262令 10sin 8x4 2015,可得 sin 8x4 2,而 x4,16 ,所以, x3 . 令 10sin 8x54 20 25,可得 sin 8x5 4 1 2,而 x4,16 ,所以, x34 3 . 故该细菌的存活时间为 326 38 3小时 341现实生活中很多具有周期性的现象都可建立三角函数模型如此题中一天从 4 点到 16点的气温,具有周而复始的特点,所以可用三角函数模型描述2建立三角函数模型解决实际问题的步骤是：1收集与角有关的信息,确定相应的三角模型；2建立三角函数关系式；3求解； 4作答图 1 91 如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m ,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动 角到 OB,设 B 点与地面距离为h. 1求 h 与 间的函数关系式；2设从 OA 开头转动,经过t 秒后到达OB,求 h 与 t 之间的函数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载【解】1以圆心 O 为原点,建立如下列图的坐标系,就以 Ox 为始边, OB 为终边的角为 2. 故 B 点坐标为 4.8cos2, 4.8sin2h5.64.8sin22点 A 在圆上转动的角速度是 30弧度 /秒故 t 秒转过的弧度数为 30t,h5.64.8sin 30t 2,t0, 到达最高点时,h10.4 m. 由 sin 30t21 得 30t 2 2,t30. 缆车第一次到达最高点时,用的最少时间为 30 秒三角函数在物理学中的应用图 1 92 已知电流 IAsin tA0, 0,| 2在一个周期内的图像如图194,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载1依据图中数据求 IAsin t的解析式；2假如 t 在任意一段 150秒的时间内,电流 1 I Asin t都能取得最大值和最小值,那么 的最小正整数值是多少？【思路探究】可先依据图像确定电流I 的解析式,再由函数的性质确定 的值【自主解答】1由图像可知A300,T2 1 1801 900 12 9001 75. 2 T2 1150 .I300sin150t 75函数图像过 1 900,0,0300sin150× 1 900sin 60.令 60, 6,I300sin150t 6,t0, 2由题意得 T1 150,即2 1 150. 300 , 的最小正整数值是943. 三角函数模型在物理中的应用主要表达在简谐运动、电流强度随时间变化规律等问题中,此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法2022 ·大连高一检测电流强度I 安 随时间t秒 变化的函数I Asin t A>0,>0,0<< 2的图象如下列图,就当t1 50秒时,电流强度是_安；图 1 93 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载【解析】A 10,T 2 4 300 1 300 1 100,T 2 1002. 100,I10sin100 t,当 t300时, 100 ×13001 2. 6,I10 ·sin100 t 6,当 t1 50秒时, I5 安【答案】5 转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用12 分 下表是芝加哥19511981 年月平均气温 华氏 月份123456 平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112 平均气温73.071.964.753.539.827.7 以月份为 x 轴, x月份 1,以平均气温为y 轴1描出散点图2用正弦曲线去拟合这些数据3这个函数的周期是多少？4估量这个正弦曲线的振幅 A. 5挑选下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？y Acosx 6 ；y46 Acosx 6 ；3找出气温的最大值和最小值的月份,作差,y46Acosx 6 ; y26 Asinx 6 【思路点拨】12 建立直角坐标系即可；可求得T 2；4找出气温的最大值和最小值,作差,求出2A；5将表中数据代入检验细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【规范解答】学习好资料欢迎下载12 如下列图4 分 31 月份的气温最低为 21.4,7 月份的气温最高为 73.0,依据图知,T 2 716,T12. 6 分42A最高气温最低气温73.021.4 51.6,A25.8 8 分 5x月份 1,不妨取 x21 1,y26.0,代入,得代入,得代入,得代入, 得y A26.0 25.8>1 cos 6,差距明显；y4626.046 <0 cos 6,差距明显；A25.8y260 sin 6；差距明显,不适合；Ay4626460.78,与 cos 6较接近, 拟合性更好, 相对最适合这些数据A25.812 分三角函数应用题在阅读懂得实际问题时,应留意以下几点：1反复阅读,通过关键语句领会其数学本质2充分运用转化思想,深化摸索,联想所学学问确定变量与已知量细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载3结合题目的已知和要求建立数学模型,确定变量的性质与范畴以及要解决的问题的结 论1三角函数模型是讨论周期现象最重要的数学模型三角函数模型在讨论物理、生物、自然界中的周期现象 运动 中有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤：1收集数据,观看数据,发觉是否具有周期性的重复现象；2制作散点图,挑选函数模型进行拟合；3利用三角函数模型解决实际问题；4依据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验1某人的血压满意函数关系式人每分钟心跳的次数为 ft24sin 160t110,其中 ft为血压, t 为时间,就此细心整理归纳 精选学习资料 A60B70 第 8 页,共 17 页 C80 D90 【解析】T2 1601 80,f1 T80. 【答案】C 2如图 194 所示为一简谐振动的图像,就以下判定正确选项 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载图 1 94 A该质点的振动周期为 0.7 s B该质点的振幅为 5 cm C该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时振动速度最大D该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零【解析】由图像可知, 该质点的振动周期是 20.70.30.8,故 A 不正确；振幅为 5 cm,应选 B. 【答案】B 图 1 95 3如图195,是一弹簧振子作简谐振动的图像,横轴表示振动的时间,纵轴表示振 第 9 页,共 17 页 - - - - - - - - - 子的位移,就这个振子振动的函数解析式是_【解析】A 2,T2× 0.50.10.8,0.85 2,又 5 2× 0.1 2, 4,解析式为 y2sin2t 4【答案】y2sin 5 2t 4 4如图196,某地夏天814 时用电量变化曲线近似满意函数yAsin xb.A>0,>0,|< 2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载图 1 96 1求这一天的最大用电量及最小用电量；2写出这段曲线的函数解析式【解】1由图可知一天最大用电量为50 万度,最小用电量为30 万度；2b305040,A× 14050. A10,2由图可知T 21486,就 T12,2 T 6,就 y10 sin 6x 40,代入 8,30得 6,解析式为 y10sin 6x 640,x 8,14. 一、挑选题1电流 IA 随时间 ts变化的关系式是I5sin100t 3,就当 t1 200时,电流 I 为 第 10 页,共 17 页 - - - - - - - - - A5B.52C2 D 5 【解析】t1 200代入 I5sin100t 35sin 2 35 2,应选 B. 【答案】B 2某城市 6 月份的平均气温最高,为29.45 ； 12 月份平均气温最低,为18.35 .如 x月份的平均气温为y ,满意条件的一个模拟函数可以是 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 学习好资料欢迎下载B. 第 11 页,共 17 页 Ay23.95.55sin 6xB 符合要求,应选By 23.95.55cos 6xCy 23.95.55tan 6xDy23.95.55cos 6x【解析】将 x6, x12 分别代入验证可知,只有【答案】B - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载图 1 97 3如图197 是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过1 2周期后,乙的位置将移至 A甲B乙C丙D丁【解析】由于相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期【答案】C 4一根长 l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摇摆时离开平稳位置的位移scm与时间 ts的函数关系式是s3cosg l t 3,其中 g 是重力加速度,当小球摇摆的周期是 1 s 时,线长 l 等于 g l2 T2,A.g B. g 2g C. 2D.g 2 4【解析】T2 g,llg 4 2. 【答案】D 5一半径为 10 的水轮,水轮的圆心到水面的距离为 7,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮上的点 P 到水面距离 y 与时间 x秒满意函数关系式 yAsin x7,就 A215,A10 B15 2,A10 C215,A17 D15 2,A17 【解析】T60 415,2 15,A10. 【答案】A 二、填空题6据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在7 千元的基础上, 按月呈 fxAsin x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载BA>0,>0,|< 2的模型波动 x 为月份 ,已知 3 月份达到最高价 9 千元, 7 月份价格最低为 5 千元,依据以上条件可确定【解析】由题意知fx的解析式为 _A B9,A2,解得AB 5,B7.再结合题意可得 4T 2,T82 , 4,故 fx2sin 4x7. 3 3 把3,9代入上式得 sin 41,即 422k,kZ, 又|< 2,4. 故 fx2sin 4x47. 【答案】fx 2sin 4x47 7沟通电的电压 E单位：V 与时间 t单位：s的关系可用 E 220 2sin100 t6来表示,就电压值的最大值是 _,第一次获得这个最大值的时间是 _【解析】由 E220 2sin100 t 6,t0, ,当 sin100 t 61 时,Emax220 2V 1第一次获得最大值时,100 t62得： t300s【答案】220 2 V 300 s 18某时钟的秒针端点 A 到中心的距离为 5 cm,秒针匀称地绕 O 点旋转到 B 点,当时间 t0 时,点 A 与钟面上标 12 的点重合,将 A、B 两点间的距离 dcm表示成 ts的函数,就 d_,其中, t 0,60 细心整理归纳 精选学习资料 【解析】由题意易知A10, 60, 第 13 页,共 17 页 d10sin 60t. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【答案】10sin 60t学习好资料欢迎下载三、解答题9如图 198,某市拟在长为8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 yAsin xA>0,>0,x 0,4 的图像,且图像的最高点为 S3,2 3；赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全,限定 MNP 120°.求 A, 的值和 M,P 两点间的距离图 1 98 【解】依题意,有 A 2 3,T 43,又 T2 ,6, 2y 2 3sin 6x.当 x4 时, y 2 3sin 33,M4,3又P8,0,|MP |48 2 30 25. 102022 年的元旦,广州从 0 时到 24 时的气温变化曲线近似地满意函数 yAsin xbA, 0,| 从天气台得知：广州在 2022 的第一天的温度为 1 到 9 度,其中最高气温只显现在下午 14 时,最低气温只显现在凌晨 2 时1求函数 yAsin xb 的表达式；2如元旦当天, M 市的气温变化曲线也近似地满意函数y A1sin1x1b1,且气温变化也为 1 到 9 度,只不过最高气温顺最低气温显现的时间都比广州迟了四个小时,求 M 市的温度函数表达式细心整理归纳 精选学习资料 【解】1由已知可得： b 5,A4,T24. 12. 第 14 页,共 17 页 又由于最低气温显现在凌晨2 时,就有 22k 2. 又由于 |. 2 3,就所求的函数表达式为y4sin 12x 2 3 5. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载2由已知得 M 市的气温变化曲线近似地满意函数 2y4sin 12x43 5 4sin 12x 5. 图 1 99 11一个悬挂在弹簧上的小球,被从它的静止位置向下拉0.2 米的距离,如下列图,此小球在 t0 时被放开并答应振动假如此小球在1 秒后又回到这一位置小球在时间t秒 时相对于平稳位置 即静止的位置的位移 s米由 sAsin t打算1求出描述此小球运动的函数关系式；2求当 t6.5 秒时小球所在的位置【解】1取向上的位移为正,2 12 .由题中条件可知A0.2,T 1,又t0 时, s 0.2,故 0.2sin 0.2,处取 2,在静止位置的上方0.2米故 s0.2sin2t即 s 0.2cos 2t,t 0, 2令 t6.5,就 s 0.2cos 130.2,故当t6.5秒时小球.老师用书独具 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如图,在矩形学习好资料欢迎下载ABCD 中, AB 1,BC3,此矩形沿地面上始终线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC 与地面所成角为,矩形周边上最高点离地面的距离为f求： 1 的取值范畴；2f的解析式；3f的值域【解】1BC 与地面所成的角,就是直线与平面所成的角,明显角 的范畴为 0, 22连接 BD ,就DBC 6,过 D 作地面的垂线, 垂足为 E,在 RtBED 中,DBE 6,DB2,f 2sin 60 26 62 3,3f2sin 60 2,1 2sin 61,即 f的值域为 1,2 如下列图,某大风车的半径为2 m,每 12 s 旋转一周,它的最低点O 离地面 0.5 m,风车圆周上一点A 从最低点 O 开头运动,运动ts后与地面的距离为hm1求函数 ht的关系式；2画出函数 ht的图像细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解】学习好资料欢迎下载1如下列图,以O 为原点,过点O 的圆的切线为x 轴, OO 1为 y 轴建立直角坐标系设 Ax,y,就 hy0.5,设OO 1A,就 cos 2y,2所以 y 2cos 2. 又 2 12t,即 6t, 6t2.5. 所以 y 2cos 6t2,就 ht 2cos 2函数 ht的图像如下图所示细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 17 页 - - - - - - - - -