2022年三角函数知识点练习.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料D 欢迎下载三角函数例题1. 如：yasinxbcosxa2b2sinxx,tanxb（化成一个角的一个三角函数）aysinxcosx2sinx4；ysin3cos2sinx3y3sinxcosx2sinx6例 1 求以下函数的最大值和最小值及何时取到？（1）fx sin2x2sinxcosx13cos2x（2）fx sin2xsinxcosx解：（1）y222,2sin2x34,ymax222,xk8kkZxkyminkZ8（2）y3322sin2x4,ymax32,xk3Z228ymin2,xk8kZ2.“ 1” 的妙用凑一拆一熟识以下三角式子的化简12sincossincossin2sin42sin24答案：2s i n 41sin12 sin2cos22cos21cos2sin2；1cos2cos2例 2 化简21sin822cos8；细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载3. 化异为同例 3 已知tan22,求：（2）3sin222sin1答案：（1）3；（2）14sincos（1）sincoscos2sin222 cos例 4 已知tan22,2,求：sincos4. sincos与sincos间的相互转化2t1sin2t1；sin1答案：322t,就sincoscos= （1）如sincos2；sin2t2t,就sincos2cos12 t；2 t（2）如sincos12（3）tancotsincossin2,求sin2cossin2cos252例 6 如在其次象限,；3答案：25. 互为余角的三角函数相互转化如sin2 ,就sincos；cossin；例 7 已知31,就cos641答案： 4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sin40sin50学习好资料欢迎下载例 8 求值：cos10；1 答案： 2例 9 求值：sin18sin54；1 答案：4 6. 公式的变形及活用（1）tantan1tan 1tanBtan45；答案：223（2）如AB4 1tanA 1tan2例 10 运算 1tan2 1tan3 1tantan1例 11 tan70tan103tan70tan10；答案：37. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性例 12 如tan1,tan2,就tan；3答案： 7 例 13 如5cos27cos20,就tan2tan2；例 14 在ABC 中,A 为最小角, C 为最大角,且cos2AC08.,sin B0 . 8,求答案：6cos2B2C的值；细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载527答案：6258. 角的范畴的限定由于条件中的三角式是有范畴限制的,所以求值时可排除值的多样性；例 15 已知sincos1,0,求cos2；答案：3179例 16 如是其次象限角且sin2cos25,求sin2cos2的值；2cos解法一： 利用公式sin2cos221sin然后限定角的范畴；解法三： 利用sin2解法二： 设sin2cos2t利用平方和求t的值, 然后限定角的范畴；2sin2cos2cos,可回避限定角的范畴；3答案：29. 在三角形中的有关问题ABBCcosClg2,试判定此三角形的外形；ABC180；AB180C；222结论：sinABsinC；cosABcos CsinA2BcosC；cosA2BsinC22lg例 17 已知 A 、B、C 是ABC 的内角且lgsinAlgsin答案： 等腰三角形, B=C 例 18 在锐角三角形ABC 中,求证：sinAsinBsinCcosAcosBcos C 第 4 页,共 18 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明： 由AB2就02学习好资料欢迎下载BA2故sinAcos B同理sinBcos Cs i n Cc o s A三式相加,得证；10. 形如cos2cos4cos8cos2n的化简2cos4cos7cos例 19 求值：（1）cos 36cos 72（2）7711答案：（1） 4（2）811. 三角函数图像和性质的应用会求定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（程、比较大小；例 20 求以下函数的定义域；（1）ylgsincosxtanx（2）y2log5.0x答案：（1）2 k22,2k2kZ（2）,0,4例 21 求以下函数的值域；（1）y2sinxxx0 ,xcosx的值域；sin（2）如x是锐角,就ysin答案：（1）0,1（2）,123“ 一套” ）；会解简洁的三角不等式、三角方12. 可化为形如：yAsinx3B的形式（一个角的一个三角函数） 第 5 页,共 18 页 例 22 已知函数y3cos2x2sinxcosxsin2x,求“ 一套”；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案：y2sin2x62学习好资料0 ,4 欢迎下载,ymin0； T,定义域： R；值域：,ymax4对称轴xk6kZ增区间：k3,k62减区间：k6,ky2kZ313. 函数yAsinxB的图像的变换两个题型,两种途径AsinxB确定其变换方法题型一：已知解析式变换有两种途径：其一,先平移后横向伸缩；其二,先横向伸缩后平移；注： 关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系2 ）在一个周期内,当x6时,y有最大值为2,题型二：由函数图像求其解析式yAsinxB例 23 已知函数yAsin x,（A0,0,yAsinx在一个周期内的简图； （用五当x2时,y有最小值为2 ,求函数表达式,并画出函数3点法列表描点）答案：y2sin2xat6btc,tD（定义域有限制的一元二次函数）14. 可化为形如：y2例 24 求函数y2cosx3cosx的值域 第 6 页,共 18 页 5细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：1,1学习好资料欢迎下载42例 25 已知ycos2xasinx,如记其最大值为ga,求ga的解析式；解：ysinxa21a2ga a24,当a2时,当2a2时,ga1a24当a2时,gaa15. 周期函数与周期 例26 已 知 函 数yfx 对 定 义 域 中 每 一 个 x 都 有f2xTf2x, 其 中T0, 就f x 的 周期；解： T 例 27 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx2fx成立,求其周期；解： 4 例 28 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx2 f2x成立,求其周期；解： 8 例 29 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx3f1成立,求其周期；x 解： 6 例 30 已知奇函数yfx对定义域中每一个x 都有fx31fx成立,求其周期；1fx解： 6 16. 函数与方程的思想例 31 方程100sinxx的解的个数；解： 63 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载三角函数定义如80,就 sin,cos,tan的大小关系为 _. 答： tansincos ；如为锐角,就,sin, tan的大小关系为 _ （答： sintan）；（5）求函数y12cos2x的定义域和值域；（12cos2x）12sinx0sin x2,如图：22k5x2k4kZ,0y124任意角的三角函数的定义例：设是第三、四象限角,sin2m3,就 m 的取值范畴是 _ 4m解： a 是第三第四象限角就： -1 sina<0 -12m-3/4-m<0 0<2m-3/m-4 1 1 2m-3/m-4>0 m>4 或 m<3/2 2 2m-3/m-4 1 2m-3-m+4/m-4 0 m+1/m-4 0 -1m4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载综合 1和 2,得：-1m<3/2 同角三角函数的基本关系式如02x2,就使1sin22 xcos 2x成立的 x 的取值范畴是 _ ）；（答： 0,43,4已知sinm m3,cos42m2,就 tan_ 5 ）；125m5（答：已知tan1,就sin3cos_；sin2sincos2_ 13 ）；5tan1sincos（答：5 ；3已知sin200a,就tan160等于a1a2已知fcosxcos3x,就fsin30的值为 _ （答： 1）如p2q2m ,x2y2n ,mn,_pxqy 的最小值为_. （答：mn ）.三角函数诱导公式cos9tan7sin 21的值为 _ 2_；（答：23 3）；46已知sin5404,就cos270_,25 第 9 页,共 18 页 如为其次象限角,就sin 180cos360tan 180细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（答：4；53 ）100已知 sin cos cos sin 3,那么 cos 2 的值为 _ 5（答：7）；251 3的值是 _ sin 10 sin 80（答： 4）；两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：已知 sin cos cos sin 3,那么 cos 2 的值为 _ 5（答：7）；251 3的值是 _ sin 10 sin 80（答： 4）；已知 tan110 0a ,求 tan 50 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 0 a 3,1 3 a2乙求得的结果是 1 a,对甲、乙求得的结果的正确性你的判定是 _ 2 a（答：甲、乙都对）三角函数的化简、运算、证明巧变角已知tan2,tan41,那么 tan4的值是 _ 54已知 021,sin（答：3 22）；2,且cos22,求 cos的值93已知,（答：490 729）；为锐角, sinx ,cosy ,cos3 5,就 y 与 x的函数关系为 _ （答：y31x24x 3x1）555三角函数名互化 切割化弦 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求值 sin 50 13 tan10 学习好资料欢迎下载（答： 1）；已知sin 1cos1,tan2,求 tan2 的值（答：1 8）cos23公式变形使用 （ tantantan1tantanAB _ 已知 A、B 为锐角,且满意 tanAtanBtanAtanB1,就 cos设ABC 中,tan Atan B33tan Atan B ,sin Acos A3（答：2）；2,就此三角形是 _三角形（答：等边）4 3cos7cos2cos4= 答：1 877三角函数次数的降升如,3 ,化简1111cos2为_ 12,k（答： sin2）；22222函数f x 5sin xcos x5 32 cos x53 xR 的单调递增区间为 _ 25 kZ ）（答： k12式子结构的转化 对角、函数名、式子结构化同 ；求证：11 sin221tan2；化简：2sin1tan2 1（答：1 cos2 2x ）x4 2cos2 2cosx22 tan42 x sin 4x常值变换主要指“1” 的变换 第 11 页,共 18 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -已知 tan2 ,求sin2sin学习好资料欢迎下载（答：3 5）cos3cos2正余弦“三兄妹 sin x cos sin cos x” 的内存联系“ 知一求二”,如（1） 如 sin x cos x t ,就 sin x cos x _ 2（答：t 1 ,特殊提示 ：这里 t 2, 2；2（2） 如 0, ,sin cos 12,求 tan 的值；（答：4 7）；32（3） 已知 sin 2 2sin k ,试用 k 表示 sin cos 的值1 tan 4 2（答：1 k ）；帮助角公式中帮助角的确定 a sin x b cos x a 2b 2sin x 其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定,角的值由 tan b确定 在求最值、化简时起着重要作用a（1） 如方程 sin x 3 cos x c 有实数解,就 c 的取值范畴是 _. （答： 2,2 ）；（2） 当函数y2cos x3sin x 取得最大值时, tanx 的值是 _ （3） 假如fx答：3；2sinx2cosx是奇函数,就 tan= （4） 求值：sin答： 2；3164sin220_ 2202 cos20答： 32正弦函数ysinx xR 、余弦函数ycos x xR 的性质（1） 如函数yabsin3x6的最大值为3 ,最小值为 21 ,就 a 2_, b（2） 函数fx（答：a1, 2b1或b1）；sinx3cosx（x2,2）的值域是 _ （答： 1, 2）；（3） 如 2,就ycos6sin的最大值和最小值分别是 _ 、_ （答： 7； 5）；（4）函数f x 2cos sinx33sin2xsinxcosx 的最小值是 _,此时 x _ 细心整理归纳 精选学习资料 第 12 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（5） 己知sincos21学习好资料欢迎下载k12kZ ）；（答： 2；,求tsincos的变化范畴2（6） 如sin22sin2cos,求ysin2sin2的最大、最小值（答：0,1）；2（答：y max1,ymin222）特殊提示 ：在解含有正余弦函数的问题时,你深化挖掘正余弦函数的有界性了吗？周期性 ：ysinx 、ycosx 的最小正周期都是 2；f x Asinxf和f Acosxx x2（答： 0）；的最小正周期都是T2|f1f2f3f2003_ 1 如fxsinx,就32sinxcosx4 sin x 的最小正周期为 _ 2函数f x cos4x（答：）；3 设函数fx2sin2x5,如对任意xR都有fx 1f成立,就|x1x2|的最小值为 _ 奇偶性与对称性（1） 函数ysin52x 的奇偶性是 _、f 57,就f 5（答：偶函数）；2（2） 已知函数f x ax3 b sin x1 a,b 为常数）,且_ （答： 5）；（3） 函数y2cosxsinx0cosx的图象的对称中心和对称轴分别是_、_ （答：k8, kZ 、xk8 kZ ）；（4） 已知f x sin x223cos x 为偶函数,求的值；x的函数, |（答：k6 kZ ）形如yAsin|2的图象如下列图,就f x _ f x AsinxA0,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2Y学习好资料欢迎下载3 29X-223题 图（答：f x 2sin 15 x ）；2 3（1）函数 y 2sin2 x 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的图象？4（答：y 2sin2 x4 1 向上平移 1 个单位得 y 2sin2 x4 的图象,再向左平移 8个单位得 y 2sin 2 x的图象,横坐标扩大到原先的 2 倍得 y 2sin x 的图象,最终将纵坐标缩小到原先的 12即得 y sin x的图象）；2 要得到函数 y cos x 的图象,只需把函数 y sin x 的图象向 _平移 _个单位2 4 2（答：左；）；2（3）将函数 y 2sin2 x 7 1 图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量3是否唯独？如唯独,求出 a ；如不唯独,求出模最小的向量（答：存在但不唯独,模最小的向量 a , 1）；6（4）如函数 f x cos x sin x x 0,2 的图象与直线 y k 有且仅有四个不同的交点,就 k 的取值范畴是（1）函数ysin2x3 的递减区间是 _ 2（答： k（答： 1,2 ）5,k12 kZ ）；12（2）ylog1cosx4 的递减区间是 _ （答：6k3, k3 kZ ）；32（3）设函数fx AsinxA0,0244的图象关于直线x2对称,它的周期是,3就 第 14 页,共 18 页 A、fx 的图象过点0,12B、f x 在区间5 12,2上是减函数3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C、学习好资料欢迎下载fx 的图象的一个对称中心是5, 012D、f x 的最大值是 A （答： C）；（4）对于函数fx2sin2x3给出以下结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线x12成轴对称；y3个单位得到图象可由函数y2sin 2x 的图像向左平移；图像向左平移 个单位,即得到函数12其中正确结论是 _ 2cos 2x 的图像；（答：）；（5）已知函数 f x 2sin x 图象与直线 y 1 的交点中,距离最近两点间的距离为,那么3此函数的周期是 _ （答：）（3）函数 y 2 cos x sin x cos x 的图象的对称中心和对称轴分别是 _、_（答： k, k Z 、x k k Z ）；2 8 2 8（4） 已知 f x sin x 3 cos x 为偶函数,求 的值.（答：k k Z ）6（5）设函数 f x A sin x A ,0 ,0 的图象关于直线 x 2 对称,它的周期是2 2 3, 就 A 、f x 的图象过点 0 , 1 B 、f x 在 区 间 5, 2 上 是 减 函 数 C 、2 12 3f x 的图象的一个对称中心 是 5 , 0 D、f x 的最大值是 A（答： C）；12（6）对于函数 f x 2sin 2 x 给出以下结论：图象关于原点成中心对称；图象关于3直线 x 成轴对称； 图象可由函数 y 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得到； 图像向左平移12 3个单位,即得到函数 y 2cos 2 x 的图像 .其中正确结论是 _（答：）；12（7）已知函数 f x 2sin x 图象与直线 y 1 的交点中,距离最近两点间的距离为,3那么此函数的周期是 _（答：）细心整理归纳 精选学习资料 第 15 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归