2022年专题函数的基本性质知识点 .pdf

名师推荐精心整理学习必备考点 05 函数的基本性质一、函数的单调性1函数单调性的定义增函数减函数定义一般地，设函数fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设12, , x xa b，12xx.若有1212()0 xxfxfx或1212()()0f xf xxx， 则( )f x在闭区间,a b上是增函数；若有1212()0 xxfxfx或1212()()0f xf xxx，则( )f x在闭区间,a b上是减函数 .此为函数单调性定义的等价形式. 2单调区间的定义若函数yfx在区间D上是增函数或减函数，则称函数yfx在这一区间上具有（严格的） 单调性，区间D叫做函数fx的单调区间注意： （1）单调性是与 “ 区间 ” 紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域（3） “函数的单调区间是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然BA. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数1yx分别在 (，0)，(0，) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(，0)(0， ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0， ) 3函数单调性的常用结论（1）若,fxg x均为区间A 上的增 (减 )函数，则fxg x也是区间 A 上的增 (减)函数；（2）若0k，则kfx与fx的单调性相同；若0k，则kfx与fx的单调性相反；（3）函数0yfxfx在公共定义域内与yfx，1( )yf x的单调性相反；（4）函数0yfxfx在公共定义域内与( )yf x的单调性相同；（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；（6）一些重要函数的单调性：1yxx的单调性： 在, 1和1,上单调递增， 在1,0和0,1上单调递减；byaxx（0a，0b）的单调性：在,ba和,ba上单调递增，在,0ba和0,ba上单调递减4函数的最值前提设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足条件（1）对于任意的xI，都有fxM；（2）存在0 xI，使得0fxM（3）对于任意的xI，都有fxM；（4）存在0 xI，使得0fxM结论M为最大值M为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx是偶函数图象关于y轴对称奇函数如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fxfx，那么函数fx是奇函数图象关于原点对称判断()fx与fx的关系时， 也可以使用如下结论：如果0()fxfx或()1( ( )0)( )fxf xf x，则函数fx为偶函数；如果0()fxfx或()1( ( )0)( )fxf xf x，则函数fx为奇函数注意： 由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，x也在定义域内（即定义域关于原点对称）2函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（2）( )f x，( )g x在它们的公共定义域上有下面的结论：( )fx( )g x( )( )f xg x( )( )f xg x( )( )f x g x( )f g x偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义域包括0，则00f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备（4）若函数fx是偶函数，则fxfxfx（5）定义在,上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和（ 6）若函数yfx的定义域关于原点对称，则fxfx为偶函数，fxfx为奇函数，fxfx为偶函数（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：函数xxfxaa为偶函数，函数xxfxaa为奇函数函数2211xxxxxxaaafxaaa（0a且1a）为奇函数函数1log1axfxx（0a且1a）为奇函数函数2log1afxxx（0a且1a）为奇函数三、函数的周期性1周期函数对于函数yfx，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有fxTfx，那么就称函数yfx为周期函数，称T 为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做fx的最小正周期（若不特别说明，T一般都是指最小正周期）. 注意： 并不是所有周期函数都有最小正周期. 3函数周期性的常用结论设函数yfx，0 xaR，. 若()()f xaf xa，则函数的周期为2a；若()f xafx，则函数的周期为2a；若1()( )axf xf，则函数的周期为2a；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备若1()( )faxxf，则函数的周期为2a；函数fx关于直线xa与xb对称，那么函数fx的周期为2 |ba；若函数fx关于点,0a对称，又关于点,0b对称，则函数fx的周期是2 |ba；若函数fx关于直线xa对称，又关于点,0b对称，则函数fx的周期是4 |ba；若函数fx是偶函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为2a；若函数fx是奇函数，其图象关于直线xa对称，则其周期为4a. 1（ 2017 浙江）若函数f(x)=x2+ ax+b 在区间 0，1上的最大值是M，最小值是m，则 M mA与 a有关，且与b 有关B与 a 有关，但与b 无关C与 a 无关，且与b 无关D与 a 无关，但与b 有关2（2017 新课标全国理科）函数( )f x在(,)单调递减，且为奇函数若(11)f，则满足21()1xf的x的取值范围是A 2,2B 1,1C0, 4D1,33（ 2017 北京理科）已知函数1( )3( )3xxf x，则( )fxA是奇函数，且在R 上是增函数B是偶函数，且在R 上是增函数C是奇函数，且在R 上是减函数D是偶函数，且在R 上是减函数4（2017 天津理科）已知奇函数( )f x 在 R 上是增函数，( )( )g xxf x 若2( l o g5 . 1 )ag，0.8(2)bg，(3)cg，则 a，b，c 的大小关系为AabcBcbaCbacDbca5（2016 山东理科）已知函数 f(x)的定义域为R.当 x0 时，3( )1f xx； 当11x时，()( )fxfx；当12x时，11()()22f xf x.则 f(6)= A- 2 B- 1 C0 D2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -