2022年中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - （2022 浙江衢州第学习好资料欢迎下载CD切半圆 O于点 D；连结 OD,作 BE19 题）如图, AB为半圆 O的直径, C为 BA延长线上一点,CD于点 E,交半圆 O于点 F；已知 CE=12,BE=9 （1）求证：COD CBE；（2）求半圆 O的半径 r 的长：试题解析：（1） CD切半圆 O于点 D,CDOD, CDO=90° ,BECD, E=90° =CDO,又 C=C, COD CBE（2）在 Rt BEC中, CE=12,BE=9,BC=CE 2BE =15, COD CBEOD BEOC,即r1515r,O交 AB于点 E. BC9解得： r=45 8考点： 1. 切线的性质； 2. 相像三角形的判定与性质. 2. （2022 山东德州第20 题）如图,已知Rt ABC,C=90° , D为 BC的中点 . 以 AC为直径的圆（1）求证： DE是圆 O的切线 . 2 如 AE:EB=1:2,BC=6,求 AE的长 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 如下列图,连接OE,CE 学习好资料欢迎下载AC是圆 O的直径 AEC=BEC=90°D是 BC的中点ED1 2BCDC 1=2 OE=OC 3=4 1+3=2+ 4, 即 OED=ACD ACD=90° OED=90° , 即 OE DE 又 E 是圆 O上的一点DE是圆 O的切线 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点：圆切线判定定理及相像三角形 3. （2022 甘肃庆阳第 27 题）如图, AN是 M的直径, NB x 轴, AB交 M于点 C（1）如点 A（ 0,6）, N（0,2）, ABN=30° ,求点 B 的坐标；（2）如 D为线段 NB的中点,求证：直线 CD是 M的切线（1） A的坐标为（ 0,6）,N（0,2）,AN=4, ABN=30° , ANB=90° ,AB=2AN=8,由勾股定理可知：NB=2 AB2 AN4 3,B（ 4 3 ,2）（2）连接 MC,NC AN是 M的直径, ACN=90° , NCB=90° ,在 Rt NCB中, D为 NB的中点,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - CD=1 2NB=ND,学习好资料欢迎下载 CND=NCD,MC=MN, MCN=MNC, MNC+CND=90° , MCN+NCD=90° ,即 MCCD直线 CD是 M的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质4. （ 2022 广西贵港第24 题）如图,在菱形ABCD 中,点 P 在对角线 AC 上,且 PAPD ,eO是PAD 的外接圆. （1）求证： AB 是eO的切线；（2）如AC8, tanBAC2,求eO的半径 . 2【答案】 1 证明见解析； （2）3 6 4（1）连结 OP、OA,OP交 AD于 E,如图,PA=PD,弧 AP=弧 DP,OPAD,AE=DE,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 1+OPA=90° ,OP=OA, OAP=OPA, 1+OAP=90° ,四边形 ABCD为菱形, 1=2, 2+OAP=90° ,OAAB,直线 AB与 O相切；（2）连结 BD,交 AC于点 F,如图,四边形 ABCD为菱形,DB与 AC相互垂直平分,AC=8,tan BAC=2 2,2,AF=4,tan DAC=DF AF=2DF=2 2 ,AD=AF22 DF=26 ,AE= 6 ,在 Rt PAE中, tan 1=PE AE=2,2PE= 3 ,设 O的半径为 R,就 OE=R3 ,OA=R,第 5 页,共 32 页在 Rt OAE中, OA 2=OE 2+AE 2,R 2=（R6 ）2+（3 ）2,R=3 6 4,即 O的半径为3 6 4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形5. （ 2022 贵州安顺第 25 题）如图, AB是 O的直径, C是 O上一点, ODBC于点 D,过点 C作 O的切线,交 OD的延长线于点 E,连接 BE（1）求证： BE与 O相切；（2）设 OE交 O于点 F,如 DF=1,BC=2 3 ,求阴影部分的面积【答案】 1 证明见解析； （2）43 4 3（1）证明：连接 OC,如图,CE为切线,OCCE, OCE=90° ,ODBC,CD=BD,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 即 OD垂中平分 BC,EC=EB,在 OCE和 OBE中OCOB,OEOEECEB OCE OBE, OBE=OCE=90° ,OBBE,BE与 O相切；（2）解：设 O的半径为 r ,就 OD=r 1,在 Rt OBD中, BD=CD=1 BC= 3 ,2（ r 1）2+（3 ）2=r 2,解得 r=2 ,tan BOD=BD = 3 ,OD BOD=60° , BOC=2BOD=120° ,在 Rt OBE中, BE= 3 OB=2 3 ,阴影部分的面积 =S 四边形 OBEC S 扇形 BOC =2S OBE S扇形 BOC=2×1 2× 2× 23 1203602 2=43 4 3考点：切线的判定与性质；扇形面积的运算6. （2022 湖北武汉第21 题）如图,ABC 内接于eO,ABAC CO 的延长线交 AB 于点 D 第 7 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求证 AO 平分BAC ；学习好资料欢迎下载（2）如 BC 6,sin BAC 3,求 AC 和 CD 的长5【答案】（ 1）证明见解析； （2） 3 10 ；90 . 13（2）过点 C作 CEAB于 E sin BAC=3 5, 设 AC=5m,就 CE=3m AE=4m, BE=m 在 Rt CBE中, m 2+3m2=36 m=3 10 5,AC=3 10延长 AO交 BC于点 H,就 AHBC,且 BH=CH=3,过点 O作 OF AH交 AB于点 F, HOC=BAC OH=4,OC=5 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载AH=9 tan BAH=1 3OF=1 3AO=5 3OF BC OF BCDO,即 DC5DC-5=AD,3 = 6DCDC=90 13. 考点： 1. 全等三角形的判定与性质；2. 解直角三角形；3. 平行线分线段成比例. 7.（2022 湖南怀化第23 题）如图,已知 BC 是O的直径,点 D 为 BC 延长线上的一点, 点 A 为圆上一点,且 ABAC=CD. 1 求证：ACDBAD；2 求证： AD 是O的切线 . 试题解析：（1） AB=AD, B=D,AC=CD, CAD= D, CAD=B, D=D, ACD BAD；（2）连接 OA,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载OA=OB, B=OAB, OAB=CAD,BC是 O的直径, BAC=90° ,OAAD,AD是 O的切线考点：相像三角形的判定与性质；切线的判定11. （2022 江苏盐城第25 题）如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC的斜边 AB在 y 轴上,边 AC与 x 轴交于点 D,AE平分 BAC交边 BC于点 E,经过点 A、D、E 的圆的圆心F恰好在 y 轴上, F 与 y 轴相交于另一点G（1）求证： BC是 F 的切线；（2）如点 A、 D的坐标分别为 A（0,-1 ）, D（2,0）,求 F 的半径；（3）摸索究线段 AG、 AD、CD三者之间满意的等量关系,并证明你的结论【答案】（ 1）证明见解析；（2） F 的半径为5；（ 3）AG=AD+2CD证明见解析 . 2名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 试题解析：（ 1）连接 EF,AE平分 BAC, FAE=CAE,FA=FE, FAE=FEA, FEA=EAC,FE AC, FEB=C=90° ,即 BC是 F 的切线；（2）连接 FD,设 F 的半径为 r ,就 r2=（r-1 ）2+2 2,；解得, r=5 2,即 F的半径为5 2（3）AG=AD+2CD 证明：作 FR AD于 R,就 FRC=90° ,又 FEC=C=90° ,四边形 RCEF是矩形,EF=RC=RD+CDFRAD,AR=RD,EF=RD+CD=1 AD+CD,2AG=2FE=AD+2CD. 考点：圆的综合题13.（2022 甘肃兰州第27 题）如图,ABC内接于 , BC 是O的直径,弦 AF 交 BC 于点 E,延长 BC 到点 D ,连接 OA , AD ,使得FAC=AOD,D=BAF. 第 11 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1 求证： AD 是O 的切线；2 如O 的半径为 5,CE = 2,求 EF 的长 . （1）由 BC是 O的直径,得到BAF+FAC=90° ,等量代换得到D+AOD=90° ,于是得到结论；（2）连接 BF,依据相像三角形的判定和性质即可得到结论（2）连接 BF, FAC=AOD, ACE DCA,AC OCAECE,OAACAC 5AE2,AC5AC=AE= 10 , CAE=CBF, ACE BFE,名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - AE CEBE,学习好资料欢迎下载EF108,2EFEF=8 10 5考点：切线的判定与性质；相像三角形的判定与性质14. （2022 贵州黔东南州第21 题）如图,已知直线PT 与 O相切于点 T,直线 PO与 O相交于 A,B 两点（1）求证： PT 2=PA.PB；（2）如 PT=TB= 3 ,求图中阴影部分的面积（ 1）证明：连接 OTPT是 O的切线,PTOT, PTO=90° , PTA+OTA=90° ,AB是直径, ATB=90° , TAB+B=90° ,OT=OA, OAT=OTA, PTA=B, P=P, PTA PBT,PT PBPA,第 13 页,共 32 页PT名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载PT 2=PA.PB（2） TP=TB= 3 , P=B=PTA, TAB=P+PTA, TAB=2B, TAB+B=90° , TAB=60° , B=30° ,tanB=AT3TB3AT=1,OA=OT, TAO=60° , AOT是等边三角形,S 阴=S 扇形 OAT S AOT=603602 132 163. 44考点：相像三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的运算16. （2022 四川泸州第24 题）如图, O与 Rt ABC的直角边 AC和斜边 AB分别相切于点C、D,与边 BC相交于点F,OA与 CD相交于点 E,连接 FE并延长交 AC边于点 G（1）求证： DF AO；（2）如 AC=6,AB=10,求 CG的长【答案】（ 1）证明见解析； （2）2. （1）证明：连接OD第 14 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载AB与 O相切与点 D,又 AC与 O相切与点,AC=AD, OC=OD,OACD,CDOA,CF是直径, CDF=90° ,DFCD,DF AO（2）过点作 EMOC于 M,AC=6,AB=10,BC=AB 2AC =8,2AD=AC=6,BD=AB-AD=4,BD 2=BF.BC,BF=2,CF=BC-BF=6OC=1 CF=3,2OA= AC 2 OC =3 5 ,OC 2=OE.OA,OE=3 5,5EM AC,EM ACOMOE1,5OCOAOM=3 5,EM=6 518,FM=OF+OM=5EM CGFM3.63,FC65CG=5 3EM=2考点：切线的性质17. （2022 四川宜宾第23 题）如图, AB是 O 的直径,点C在 AB的延长线上, AD平分 CAE交 O于点 D,且 AE名师归纳总结 第 15 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CD,垂足为点E学习好资料欢迎下载（1）求证：直线CE是 O的切线（2）如 BC=3,CD=3 2 ,求弦 AD的长（1）证明：连结 OC,如图,AD平分 EAC, 1=3,OA=OD, 1=2, 3=2,OD AE,AEDC,ODCE,CE是 O的切线；（2） CDO=ADB=90° , 2=CDB=1, C=C, CDB CAD,CD CACBBD,CDADCD 2=CB.CA,（ 32 ）2=3CA,CA=6,名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - AB=CA BC=3,BD AD3 22学习好资料欢迎下载, 设 BD= 2 K,AD=2K,62在 Rt ADB中, 2k2+4k2=5,k=30,6AD=30 3考点：切线的判定与性质18.（2022 新疆建设兵团第 22 题）如图,AC为 O的直径,B 为 O上一点,ACB=30° ,延长 CB至点 D,使得 CB=BD,过点 D作 DE AC,垂足 E 在 CA的延长线上,连接 BE（1）求证： BE是 O的切线；（2）当 BE=3时,求图中阴影部分的面积【答案】（ 1）证明见解析； （2）3 2-3 32（1）如下列图,连接 BO, ACB=30° , OBC=OCB=30° ,DEAC,CB=BD,Rt DCE中, BE=1 2CD=BC, BEC=BCE=30° , BCE中, EBC=180° BEC BCE=120° , EBO=EBC OBC=120° 30° =90° ,名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载BE是 O的切线；（2）当 BE=3时, BC=3,AC为 O的直径, ABC=90° ,又 ACB=30° ,AB=tan30° × BC= 3 ,AC=2AB=2 3 ,AO= 3 ,阴影部分的面积=半圆的面积Rt ABC的面积 =1 2 × AO 2 12AB× BC=1 2 × 31 2×3 × 3=3 2-3 32考点：切线的判定与性质；扇形面积的运算1. 2022 北京第 24 题 如图, AB是eO的一条弦, E 是 AB 的中点,过点 E 作 ECOA 于点 C ,过点 B 作eO的切线交 CE 的延长线于点 D . （1）求证： DB DE ；（2）如AB12,BD5,求eO的半径 . （1）证明： DCOA, 1+3=90° , BD为切线, OBBD, 2+5=90° , OA=OB, 1=2,3=4, 4=5,在 DEB中, 4=5, DE=DB. 2 作 DFAB于 F, 连接 OE,DB=DE, EF=1 2BE=3,在 RT DEF中,EF=3,DE=BD=5,EF=3 , DF=2 52 34sin DEF=DF DE= 4 5 , AOE=DEF, 在 RT AOE中, sin AOE= AEAO4 , 5AE=6, AO=15 2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 考点：圆的性质,切线定理,三角形相像,三角函数2. 2022 天津第 21 题 已知 AB是 O 的直径, AT 是 O 的切线,ABT500,BT 交 O 于点 C ,E 是 AB上一点,延长 CE 交 O 于点 D . （1）如图,求 T和 CDB的大小；（2）如图,当 BE BC 时,求 CDO的大小 . ：1 如图,连接 AC, AB 是 O 的直径, AT 是 O 的切线,ATAB,即 TAB=90° . ABT500, T=90° - ABT=40°由 AB 是 O 的直径,得 ACB=90° , CAB=90° - ABC=40° CDB=CAB=40° ; （2）如图,连接 AD, 在 BCE中, BE=BC, EBC=50° , BCE=BEC=65° , BAD=BCD=65°OA=OD ODA=OAD=65° ADC=ABC=50°名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 CDO=ODA- ADC=15° . 3. 2022 福建第 21 题 如图,四边形 ABCD 内接于eO,AB 是eO的直径,点 P 在 CA 的延长线上,CAD45o （）如AB4,求弧 CD 的长；（）如弧 BC弧 AD , ADAP ,求证： PD 是eO的切线 AB=2, CD 的长 =901802（）连接 OC,OD, COD=2 CAD,CAD=45° , COD=90° ,AB=4,OC=1 2= ；（） BC= AD , BOC=AOD, COD=90° , AOD=180 COD =45 ° , OA=OD, ODA=OAD,2 AOD+ODA+ OAD=180° , ODA=180 AOD =67.5 ° ,AD=AP, ADP= APD, CAD=ADP+APD,2CAD=45° , ADP=1CAD=22.5° , ODP= ODA+ADP=90° ,又 OD是半径, PD是 O的切线 . 24. 2022 河南第 18 题 如图,在 ABC中, AB AC ,以 AB 为直径的 O交 AC 边于点 D ,过点 C 作 CF / / AB ,与过点 B 的切线交于点F ,连接 BD . 第 20 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求证： BDBF；4学习好资料欢迎下载（2）如AB10,CD,求 BC 的长 . 1 ABAC ABC=ACB CF/ /AB ABC=FCB ACB=FCB,即 CB平分 DCF AB 为 O 直径 ADB=90° ,即 BD ACBF为 O 的切线 BF/ /ABCFAB BFCFBD=BF 考点：圆的综合题 . 6.（2022 湖南长沙第23 题） 如图, AB 与 O 相切于 C ,OA,OB分别交 O 于点D,E,.CD.CE （1）求证：OA OB；（2）已知 AB 4 3,OA 4,求阴影部分的面积【答案】（ 1）证明见解析（2）S阴影 =2 3 23名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载试题解析：（1）连接 OC,就 OCAB .CD.CE AOC=BOC 在 AOC和 BOC中,AOCBOC90oOCOCOCBOCA AOC BOC（ ASA）AO=BO （2）由（ 1）可得 AC=BC=1 2AB=2 3在 Rt AOC中, OC=2 AOC=BOC=60°SBOC=1BC OC=12 32=23的外接圆于点D ,ABC 的平分线交 AD 于点 E . 22S 扇形 BOC =60o360o2 2=23S 阴影=SBOCS 扇形 BOC =2323考点： 1、切线的性质,2、三角形的面积,3、扇形的面积7. （2022 山东临沂第23 题）如图,BAC 的平分线交VABC（1）求证： DEDB ；第 22 页,共 32 页（2）如BAC90,BD4,求VABC外接圆的半径 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【试题解析：（1）Q AD 平分BAC , BE 平分ABC ,QBAD4CAD,ABECBE ,又,DBCDAC ,BEDDBE .DEDB . BEDABEBAD ,DBEDBCCBE ,（2）解：连接 CD ,QBAC90o,BC 是圆的直径 .BDC90o ,BDC90o .QBADCADBD .CD ,.BDCD ,BCD 是等腰直角三角形.BD,BC4 2.ABC 的外接圆的半径为2 2 . 考点： 1、三角形 的外接圆的性质,2、圆周角定理,3、三角形的外角性质,4、勾股定理8. 2022 四川泸州第24 题 如图, O与RtABC的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点C, D;与边 BC 相交于点F , OA与 CD 相交于点 E ,连接 FE 并延长交 AC 边于点 G . （1）求证： DF / AO（2）如 AC 6 AB 10 , 求 CG 的长 . （1）证明：AB 与 O相切与点 D名师归纳总结 BCDBDF（弦切角定理）第 23 页,共 32 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又AC 与 O相切与点 C;CAO学习好资料欢迎下载由切线长定理得：ACAD,DAO;CDAOBCDCAODAODAOBDF,即： DF/AO （2）：过点 E 作EMOC与 M32;AC6 ,AB8BCAB2AC28ADAC6 ,BDABAD4由切割线定理得：BD2BFBC, 解得：BF5FCBCBF6 ,OC1FC3 ;2OAAC2OC235由射影定理得：OC2OEOA ,解之得：OE5EMOMOE1;ACOCOA5OM3,EM6;FMOFOM18;555EMFM36.3;CGFC65CG5EM239. 2022山东滨州第23 题 （本小题满分10 分）如图,点 E是 ABC的内心, AE的延长线交 使 BDM DAC（1）求证：直线 DM是 O的切线；（2）求证： DE 2DF·DA【答案】详见解析 . BC于点 F,交 ABC的外接圆 O于点 D；连接 BD,过点 D作直线 DM,名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 试题解析：证明：（1）如图 1,连接 DO,并延长交 O于点 G,连接 BG；点 E 是 ABC的内心, AD平分 BAC, BAD DAC G BAD, MDB G,DG为 O的直径, GBD90° , G BDG90° DM是 O的切线； MDB BDG 90° 直线（2）如图 2,连接 BE点 E是 ABC的内心, ABE CBE, BAD CAD EBD CBE CBD, BED ABE BAD, CBD CAD EBD BED,DBDE CBD BAD, ADB ADB, DBF DAB,BD 2DF·DA22 题 如图,在ABC 中,以 BC 为直径的eO交 AC 于点 E ,过点 E 做 EFAB 于点 F ,DE 2DF·DA10. 2022辽宁沈阳第延长 EF 交 CB 的延长线于点G ,且ABG2C . 第 25 页,共 32 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）求证： EF 是eO的切线；学习好资料欢迎下载（2）如 sin EGC 3,e O 的半径是 3,求 AF 的长 . 5【答案】（ 1）详见解析； （ 2）24 . 5试题解析：1 连接 OE,就EOG2C , ABGCAABG2CABGEOGAB/ /OE EFABAFE900GEOAFE900 OEEG又 OE是eO的半径 EF 是eO的切线；（2）ABG2C ,CABA=BC 又eO的半径为 3,OE=OB=OC BA=BC=2× 3=6 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 32 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt OEG中, sin EGC=OE OG学习好资料欢迎下载,即3 53 OGOG=5 在 Rt FGB中, sin EGC=BF,即3 FBGB 5 2BF=65AF=AB-BF=6-6 =24 . 5 5考点：圆的综合题 . 13. 2022 山东菏泽第 22 题 如图, AB 是 O 的直径, PB 与 O 相切于点 B ,连接 PA 交 O 于点 C . 连接 BC . （1）求证：BAC CBP；（2）求证：PB 2 PC PA；（3）当 AC ,6 CP 3 时,求 sin PAB 的值 . 【答案】 1 详见解析；（2）详见解析；（3）3 . 【解析】试题分析：（1）依据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等,即可证得PA,得BAC33CBP；（2）先证PBC ABP,依据相像三角形的性质即可得结论；（3）利用PB2PCPB,从而求sinPAB=3试题解析：【解】（1） AB 是 O 的直径 ACB=90°