2022年《复变函数与积分变换》辅导资料四 .pdf

第 1 页共 4 页复变函数与积分变换辅导资料四主题：第一章 复数与复变函数 46 节学习时间： 2012 年 10 月 22 日10 月 28 日内容：这周我们将学习第一章复数与复变函数46 节。本周在原有的基础上作简要的复习和补充，再引进复变函数的极限与连续性等概念，为研究解析函数理论和方法奠定必要的基础，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、了解区域的概念2、理解复变函数的概念3、知道复变函数的极限和连续性的概念基本概念：区域、复变函数知识点：复变函数第四节、区域（要求达到“领会”层次）一、平面点集的几个基本概念1、 邻域： 设),(000yxP是 x0y 平面上的一个点是某一正数 , 与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全 体称为 点0P的邻域记为),(0PU,即| |),(00PPPPU或)()(|),(),(20200yyxxyxPU。),(0PU的几何意义是，以0P为圆心，以为半径的圆内的全体点所组成的集合。称)()(0|),(),(20200yyxxyxPU为0P的去心邻域，简称为点0P的去心邻域 。),(0PU的几何意义是，以0P为圆心，以为半径的圆内的全体点挖掉0P所组成的集合。2、区域点与点集之间的关系：任意一点20Rz与任意一个点集 G R2之间必有以下三种关系中的一种：内点、外点和边界点。（1）如果存在0z的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G ，则称0z为 G的内点；（2）若点0z的某一个邻域内的点都不属于G ，则称点0z为 G的外点；（3） 若在点0z的任意一个邻域内， 既有属于 G的点，也有不属于 G的点，则称点0z为 G的边界点 ，点集 G的全部边界点称为G的边界。3、开集： 如果点集 G的点都是内点 则称 G为开集。4、连通性： 如果点集 G内任何两点 都可用折线连结起来且该折线上的点都属于G则称 G为连通集。5、区域 (或开区域 )：连通的开集称为区域或开区域闭区域： 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域若存在一个正数 M ，使得 G内的任意一点0z都满足Mz |0，则称 G为有界集 ，否则，称 G为无界名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 2 页共 4 页集。二、简单曲线设)(),()()(btatiytxtzz，如果)(Re)(tztx和)(Im)(tzty都在闭区间 a,b 上连续，则称点集,| )(battz为一条 连续曲线 。如果对 a,b 上任意不同两点1t及2t，但不同时是 a,b 的端点。若)()(21tztz，点)()(21tztz称为曲线 z 的重点。若)()(21tztz，上述点集称为一条 简单连续曲线 ，或约当曲线 。若还有)()(bzaz，则称为一条 简单连续闭曲线 ，或约当闭曲线 。约当定理： 任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部。他们都是以该闭曲线为边界。光滑曲线：如果)(Re)(tztx和)(Im)(tzty都在闭区间 a,b 上连续，且有连续的导函数， 在a,b上，0)()()(ty itxtz，则称集合,|)(battz为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。定义： 有有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。三、单连通区域与多连通区域定义： 设 D为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D，则称 D为单连通区域 。否则，称为 多连通区域 。典型例题：例、 集合 3|2|izz为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆2|iz及3|iz。第五节、复变函数（要求达到“领会”层次）定义： 设在复平面上有点集D。若对于 D内每一点 z，按照某一法则，有确定的复数与之对应，则称这种对应关系是z 的复变函数 ，记作 =f(z) ；称是 z 在函数 f 下的像。若 z 的一个值对应着的一个值，则称f(z) 为单值函数 ；若 z 的一个值对应着的几个或无穷多个值，则称 f(z) 为多值函数 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 第 3 页共 4 页典型例题：例、把函数zzzfw2)(2写成),(),(yxivyxuw的形式解：设iyxz，则yixxyiyxiyxiyxzfw222)(2)()(222因此，yxyyxvyxxyxu22),(,2),(22即)22()2()(22yxyiyxxzfw第六节、复变函数的极限和连续性（要求达到“识记”层次）一、复变函数的极限定义： 设函数)(zfw在点0z的去心邻域|0:0zzz内有定义， A 是一个复常数。如果任给0，总存在正数0)(，对任意 z：|00zz有|)(|Azf，则称 A为函数)(zf当 z 趋于0z时的极限，记作：Azfzz)(lim0或Azf)( 当0zz) 定理1：设),(),()(yxivyxuzf，00ivuA，000iyxz，那么Azfzz)(lim0的充要条件是00),(lim,),(lim0000vyxvuyxuyyxxyyxx。定理 2：若BzgAzfzzzz)(lim,)(lim00，则（1）BAzgzfzz)()(lim0（2）ABzgzfzz)()(lim0（3）若0B，则BAzgzfzz)()(lim0典型例题：例、求函数)2(4)(2izzzzf当iz2 时的极限解：22lim)2()2)(2(lim)2(4lim2222zizizzizizizzziziziz二、复变函数的连续性定义： 设)(zf为定义在0z的邻域内的函数，若)()(lim00zfzfzz，则称函数)(zf在点0z连续。定理 1： 函数),(),()(yxivyxuzf在000iyxz处连续的充要条件是：),(yxu和),(yxv在),(00yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -