2022年中考数学专题知识突破专题五数学思想方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2022 中考数学专题学问突破专题五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类争论思想）一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学学问和方法形成的规律性的理性熟悉,是解决数学问题的根本 策略；数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础学问与才能的桥梁,是数学学问的重要组成部分；数学思想方法是数学学问在更高层次上的抽象和概括,它包蕴于数学学问的发生、进展和应用的过程中；抓住数学思想方法,善于快速调用数学思想方法,更是提高解题才能根本之所在因此,在复习时要留意体会教材例题、习题以及中考试题中所表达的数学思想和方法,培育用数学思想方法解决问题的意识二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中肯定要留意培育在解题 中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程 思想、 数形结合思想、分类争论思想等在中考复习备考阶段,老师应指导同学系统总结这 些数学思想与方法, 把握了它的实质, 就可以把所学的学问融会贯穿,解题时可以举一反三；三、中考考点精讲 考点一：整体思想整体思想是指把争论对象的某一部分（或全部）看成一个整体 整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径；,通过观看与分析,找出整体是与局部对应的,按常规不简洁求某一个（或多个）未知量时,可打破常规,根 据题目的结构特点,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决；例 1 如 a-2b=3 ,就 2a-4b-5= ）变式训练a,b 满意 a+b=2 ,a-b=5 ,就（ a+b ）3.（a-b ）3 的值是1已知实数2.（ 2022 .威 海 ） 已 知 x2 2=y , 就 x （ x 3y ） +y （ 3x 1） 2 的 值 是 （A 2 B 0 C2 D4 考点二：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想；在争论数学问题时,我们通常是 将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简洁的问题,将抽象的问题转化为具 体的问题,将实际问题转化为数学问题；转化的内涵特别丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机；例 2 如图,圆柱形容器中,高为 1.2m ,底面周长为 1m ,在容器内壁离容 器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子, 此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上 沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处,就壁虎捕获蚊子的最短距离为 m（容 器厚度忽视不计） 变式训练1 如图,在 Rt ABC 中, C=90°, AC=8 ,BC=6,点 P 是 AB 上的任意 一点,作 PDAC 于点 D,PE CB 于点 E,连结 DE,就 DE 的最小值 为；2. （2022.潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“ 枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何？”题意是：如下列图,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,就该圆柱的高名师归纳总结 为 20 尺,底面周长为3 尺,有葛藤自点A 处缠绕而上,绕五周后其末端恰第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载好到达点 B 处,就问题中葛藤的最短长度是 尺考点三：分类争论思想在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情形,需要对各种情形加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类争论法；分类争论是一种规律方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它表达了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法；分类的原就：（1）分类中的每一部分是相互独立的； （2）一次分类按一个标准； （ 3）分类争论应逐级进行正确的分类必需是周全的,既不重复、也不遗漏例 3 某校实行学案式教学,需印制如干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式仍需收取制版费而乙种不需要两种印刷方式的费用 y（元）与印刷份数 x（份）之间的关系如下列图：（1）填空：甲种收费的函数关系式是乙种收费的函数关系式是（2）该校某年级每次需印制 算？变式训练100 450 （含 100 和 450）份学案,挑选哪种印刷方式较合1（2022.潍坊） 经统计分析, 某市跨河大桥上的车流速度 v（千米 /小时） 是车流密度 x（辆/千米）的函数,当桥上的车流密度达到 220 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 80 千米 /小时,争论说明：当 20x220 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数（1）求大桥上车流密度为 100 辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于 40 千米 /小时且小于 60 千米 /小时,应掌握大桥上的车流密度在什么范畴内？（3）车流量（辆 /小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即：车流量 =车流速度× 车流密度求大桥上车流量 y 的最大值2. （ 2022 .德 州 ） 问 题 背 景 ： 如 图1： 在 四 边 形 ABC 中 , AB=AD, BAD=120 ° , B= ADC=90° E,F 分 别 是 BC,CD 上 的 点 且 EAF=60 ° 探 究 图 中 线 段 BE,EF, FD 之 间 的 数 量 关 系 小 王 同 学 探 究 此 问 题 的 方 法 是 , 延 长 FD 到 点 G 使 DG=BE 连 结 AG, 先 证 明 名师归纳总结 ABE ADG, 再 证 明 AEF AGF, 可 得 出 结 论 , 他 的 结 论 应 是；第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载探 索 延 伸 ：如 图 2,如 在 四 边 形 ABCD中 , AB=AD, B+ D=180 ° E, F 分 别 是 BC, CD 上 的点 , 且 EAF=1 2 BAD, 上 述 结 论 是 否 仍 然 成 立 , 并 说 明 理 由 ；实 际 应 用 ：如 图 3,在 某 次 军 事 演 习 中 ,舰 艇 甲 在 指 挥 中 心（ O 处 ）北 偏 西 30 ° 的 A 处 ,舰艇 乙 在 指 挥 中 心 南 偏 东 70 ° 的B 处 , 并 且 两 舰 艇 到 指 挥 中 心 的 距 离 相 等 , 接 到行 动 指 令 后 , 舰 艇 甲 向 正 东 方 向 以60海 里 / 小 时 的 速 度 前 进 , 舰 艇 乙 沿 北 偏 东50 ° 的 方 向 以 80 海 里 / 小 时 的 速 度 前 进 .1.5小 时 后 , 指 挥 中 心 观 测 到 甲 、 乙 两舰 艇 分 别 到 达 E, F 处 ,且 两 舰 艇 之 间 的 夹 角 为 70 ° ,试 求 此 时 两 舰 艇 之 间 的 距 离 四、达标检测名师归纳总结 1已知一个圆柱的侧面绽开图为如下列图的矩形,就其底面圆的面积为（）第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB4C 或 4学习必备欢迎下载D2 或 42如图,在 Rt ABC 中, B=90° ,AB=3 ,BC=4 ,点 D 在 BC 上,以AC 为对角线的全部 .ADCE 中, DE 最小的值是（）A2 B 3 C4 D5 3如 a 2- b 21, a- b1,就 a+b 的值为6 34 CD 是 O 的一条弦, 作直径 AB ,使 AB CD ,垂足为 E,如 AB=10 ,CD=8 ,就 BE 的长是A8 B2 C2 或 8 D3 或 7 5如图,在 Rt AOB 中, OA=OB=3 2 , O 的半径为 1,点 P 是AB 边上的动点, 过点 P 作 O 的一条切线 PQ 的最小值为PQ（点 Q 为切点）,就切线6.某农庄方案在 30 亩空地上全部种植蔬菜和水果,菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务小张种植每亩蔬菜的工资 y（元）与种植面积 m（亩）之间的函数如图所示,小李种植水果所得酬劳 z（元）与种 植面积 n（亩）之间函数关系如图所示（1）假如种植蔬菜 20 亩,就小张种植每亩蔬菜的工资是 元,小张应得的工资总额是 元,此时,小李种植水果 亩,小李应得的酬劳是 元；（2）当 10n30时,求 z 与 n 之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为 数关系式五、拓展延长w（元）,当 10 m30 时,求 w 与 m 之间的函名师归纳总结 1已知 O 的直径 CD=10cm ,AB 是 O 的弦, AB CD ,垂足为M,且 AB=8cm ,就第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AC 的长为（）学习必备欢迎下载A25 cm B45 cm C25cm 或 45 cm D2cm 或 43 cm ）2等腰三角形的一个角是80°,就它顶角的度数是（）A80°B80°或 20°C80°或 50°D20°3等腰三角形的两边长分别为3 和 6,就这个等腰三角形的周长为（）A12 B15 C12 或 15 D18 4（ 2022. 荆州如图,将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点 A 顺时针旋转45° 度后得到ABC,点 B 经过的路径为弧BB ,如 BAC=60° ,AC=1 ,就图中阴影部分的面积是（A2B3C4D5. 如 图 ,在 等 腰 梯 形 ABCD 中 ,AD=2, BCD=60° ,对 角 线 AC平 分 BCD, E, F 分 别 是 底 边 AD, BC 的 中 点 , 连 接 EF 点 P是 EF 上 的 任 意 一 点 , 连 接 PA, PB, 就 PA+PB 的 最 小 值为6如函数 y=mx 2+2x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点,就常数 m的值是7在平面直角坐标系中,已知点 A（-5 ,0）,B（5 ,0）,点C 在坐标轴上,且 AC+BC=6 ,写出满意条件的全部点 C 的坐标如图,在平面直角坐标系中,直线 l 经过原点 O,且与 x 轴正半轴的夹角为 30° ,点 M 在x 轴上, M 半径为 2, M 与直线 l 相交于 A,B 两点,如ABM 为等腰直角三角形,就点 M 的坐标为 9如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（ 10,0）,（0,4）,点 D 是 OA的中点,点P 在 BC 上运动,当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时,点 P 的坐标为10 如图,已知直线 y=x+4 与两坐轴分别交于 A、B 两点, C 的圆心坐标为 （2,O ）,半径为 2,如 D 是 C 上的一个动点,线段 DA与 y 轴交于点 E,就 ABE 面积的最小值和最大值分别是11已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8,M、N 分别是边 BC、CD 的中点, P 是对角线 BD 上一点,就 PM+PN 的最小值 = 12 如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,正三角形 OEF 绕点 O 旋转在旋转过程中,当 AE=BF 时, AOE 的大小是三、解答题名师归纳总结 1已知抛物线y 1=ax2+bx+c （a 0）与 x 轴相交于点A,B（点 A ,第 5 页,共 12 页B 在原点 O 两侧）,与 y 轴相交于点 C,且点 A,C 在一次函数 y2=3 4x+n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的图象上,线段学习必备欢迎下载xAB 长为 16,线段 OC 长为 8,当 y 1 随着 x 的增大而减小时,求自变量的取值范畴2（ 2022 .义 乌 市 ） 受 国 内 外 复 杂 多 变 的 经 济 环 境 影 响 , 去 年 1 至 7 月 , 原 材 料 价 格 一 路 攀 升 ,义 乌 市 某 服 装 厂 每 件 衣 服 原 材 料 的 成 本 y 1（ 元 ）与 月 份 x（ 1 x 7, 且 x 为 整 数 ） 之 间 的 函 数 关 系 如 下 表 ：月 份 x 1 2 3 4 5 6 7 成 本 （ 元 / 件 ）56 58 60 62 64 66 68 8 至 12 月 , 随 着 经 济 环 境 的 好 转 , 原 材 料 价 格 的 涨 势 趋 缓 , 每 件 原 材 料 成 本 y 2（ 元 ） 与 月 份 x 的 函 数 关 系 式 为 y 2=x+62 （ 8 x 12 , 且 x 为 整 数 ）（ 1） 请 观 察 表 格 中 的 数 据 , 用 学 过 的 函 数 相 关 知 识 求 y1 与 x 的 函 数 关 系 式 （ 2） 如 去 年 该 衣 服 每 件 的 出 厂 价 为 100 元 , 生 产 每 件 衣 服 的 其 他 成 本 为 8 元 ,该 衣 服 在 1 至 7 月 的 销 售 量 p 1（ 万 件 ） 与 月 份 x 满 足 关 系 式 p1=0.1x+1.1（ 1 x 7,且 x 为 整 数 ）；8 至 12 月 的 销 售 量 p2（ 万 件 ）与 月 份 x 满 足 关 系 式 p2 =0.1x+3 （ 8 x 12 ,且 x 为 整 数 ）,该 厂 去 年 哪 个 月 利 润 最 大 ？ 并 求 出 最 大 利 润 3. （ 2022 .宿 迁 ） 如 图 , 已 知 BAD 和 BCE 均 为 等 腰 直 角 三 角 形 , BAD=BCE=90° , 点 M为 DE 的 中 点 , 过 点 E 与 AD 平 行 的 直 线 交 射 线 AM 于 点 N（ 1） 当 A, B, C 三 点 在 同 一 直 线 上 时 （ 如 图 1）, 求 证 ： M 为 AN 的 中 点 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 2）将 图 1 中 的 BCE 绕 点 B 旋 转 ,当 A,B, E 三 点 在 同 一 直 线 上 时（ 如 图 2）,求 证 ： ACN为 等 腰 直 角 三 角 形 ；（ 3） 将 图 1 中 BCE 绕 点 B 旋 转 到 图 3 位 置 时 ,（ 2） 中 的 结 论 是 否 仍 成 立 ？ 如 成 立 , 试 证 明 之 , 如 不 成 立 , 请 说 明 理 由 4. 如图, AB 是半圆 O 的直径,以OA 为直径作半圆C,P 是半圆 C 上的一个动点（P与点 A,O 不重合）,AP 的延长线交半圆O 于点 D,其中 OA=4 （1）判定线段 AP 与 PD 的大小关系,并说明理由；（2）连接 OD ,当 OD 与半圆 C 相切时,求 .AP 的长；（3）过点 D 作 DE AB ,垂足为 E（如图）,设 AP=x ,OE=y ,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范畴5. （ 2022 .北 京 ）对 某 一 个 函 数 给 出 如 下 定 义 ：如 存 在 实 数 M 0,对 于 任 意 的 函数 值 y ,都 满 足 M y M,就 称 这 个 函 数 是 有 界 函 数 ,在 所 有 满 足 条 件 的 M中 ,其 最 小 值 称 为 这 个 函 数 的 边 界 值 例 如 ,如 图 中 的 函 数 是 有 界 函 数 ,其 边 界 值 是名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1（ 1）分 别 判 断 函 数y=1 x（ x 0）和 y=x+1 （ 4 x 2）是 不 是 有 界 函 数 ？ 如是 有 界 函 数 , 求 其 边 界 值 ；（ 2） 如 函 数 y= x+1 （ a x b, b a） 的 边 界 值 是 2, 且 这 个 函 数 的 最 大 值 也是 2, 求 b 的 取 值 范 围 ；（ 3） 将 函 数yx2（ 1 x m, m 0） 的 图 象 向 下 平 移m 个 单 位 , 得 到 的函 数 的 边 界 值 是 t , 当 m在 什 么 范 围 时 , 满 足3 4 t 1？数学思想方法（一）部分题参考答案名师归纳总结 解：（1）由图可知,假如种植蔬菜20 亩,就小张种植每亩蔬菜的工资是1（160+120 ）第 8 页,共 12 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载=140 元,小张应得的工资总额是：140× 20=2800 元,此时,小李种植水果：30-20=10 亩,小李应得的酬劳是 1500 元；故答案为： 140 ；2800 ；10 ；1500 ；（2）当 10n30时,设 z=kn+b （k 0）,函数图象经过点（10 ,1500 ）,（30 ,3900 ）,10 k30 kb1500b3900解得k120,b300所以, z=120n+300 （10 n30）；（3）当 10m30 时,设 y=km+b ,函数图象经过点（10 ,160 ）,（30 ,120 ）,10 k30 kb160,b120解得k-2,b180y=-2m+180 ,m+n=30 ,n=30-m ,当 10m20 时, 10n20,w=m （-2m+180 ） +120n+300 ,=m （-2m+1 80）+120 （30-m ）+300 ,=-2m 2+60m+3900 ,当 20 m30 时, 0 n10,w=m （-2m+180 ） +150n ,=m （-2m+180 ）+150 （30-m ）,=-2m 2+30m+4500 ,所以, w 与 m 之间的函数关系式为w=-2m 260 m390010m20-2m 230m450020m30解：依据 OC 长为 8 可得一次函数中的n 的值为 8 或 -8分类争论： n=8 时,易得 A（-6,0）如图 1,抛物线经过点 A、 C,且与 x 轴交点 A、 B 在原点的两侧,抛物线开口向下,就 a0,AB=16 ,且 A （-6,0）,B（10, 0）,而 A 、B 关于对称轴对称,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对 称轴直线 x=6210=2,学习必备欢迎下载要使 y1 随着 x 的增大而减小,就a0,x2；（2）n=-8 时,易得 A（6,0）,如图 2,抛物线过 A 、C 两点,且与 x 轴交点 A,B 在原点两侧,抛物线开口向上,就 a0,AB=16 ,且 A （6,0）,B（-10,0）,而 A 、B 关于对称轴对称,对称轴直线x=6 10=-2,a0,2要使 y1 随着 x 的增大而减小,且x-2解：（1）AP=PD 理由如下：如图,连接 OP OA 是半圆 C 的直径, APO=90°,即 OP AD又 OA=OD ,AP=PD ；（2）如图,连接 PC 、OD OD 是半圆 C 的切线, AOD=90°由（ 1）知, AP=PD 又 AC=OC ,PC OD ,名师归纳总结 ACP= AOD=90°,第 10 页,共 12 页.AP 的长 =90 1802= ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）分两种情形：当点 E 落在 OA 上（即 0x2 2 时）,如图,连接又 A=A, APO AED ,AP AOAE ADAP=x ,AO=4 , AD=2x ,AE=4-y ,x 4,4 y 2 xy=-1 x 2+4 （0 x2 2 ）；2OP ,就 APO= AED 当点 E 落在线段 OB 上（即 22 x4）时,如图,连接OP 同可得,APO AED ,AP AEAOADAP=x ,AO=4 , AD=2x ,AE=4+y ,4xy4,2 x4）2xy=1 2x2+4（2解 ：（ 1） 根 据 有 界 函 数 的 定 义 知 , 函 数 y=1 x（ x 0） 不 是 有 界 函 数 y=x+1 （ 4 x 2） 是 有 界 函 数 边 界 值 为 ： 2+1=3 ；（ 2） 函 数 y= x+1 的 图 象 是 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 当 x=a 时 , y= a+1=2 , 就 a= 1 当 x=b 时 , y= b+1 就2a1b12ba 1 b 3；（ 3）如 m 1,函 数 向 下 平 移 m个 单 位 后 , x=0 时 ,函 数 值 小 于 1,此 时 函 数 的 边 界 t 1, 与 题 意 不 符 , 故 m 1当 x= 1 时 , y=1 即 过 点 （ 1, 1）当 x=0 时 ,y最小0, 即 过 点 （ 0, 0）,都 向 下 平 移 m 个 单 位 , 就（ 1, 1 m）、（ 0, m）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 1 m 1 或 1 m 3 4学习必备欢迎下载,4名师归纳总结 0 m1 4或3 4 m 1第 12 页,共 12 页- - - - - - -