2022年中考解直角三角形知识点整理复习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90° A+ B=90°2、在直角三角形中,30° 角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2 b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B弦ca勾Ab股C勾：直角三角形较短的直角边 勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长股：直角三角形较长的直角边弦：斜边a, b,c 有下面关系： a2 b2c2,那么这个三角形是直角三角形；考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、 b、 c 满意 a 2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形；（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（ 1）确定最大边（不妨设为 c）；（ 2）如 c2a2 b2,就 ABC 是以 C 为直角的三角形；如 a2 b2 c2,就此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；如 a2 b2 c2,就此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4. 勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边；（ 2）已知直角三角形的一边,求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；（4）利用勾股定理,作出长为 n 的线段考点三、锐角三角函数的概念1、如图,在ABC中, C=90°A 的正弦,记为sinA ,即sinAA的对边a锐角 A的对边与斜边的比叫做斜边c锐角 A的邻边与斜边的比叫做A 的余弦,记为cosA,即cosAA 的邻边b斜边c锐角 A的对边与邻边的比叫做A 的正切,记为tanA ,即tanAA的对边aA的邻边b锐角 A的邻边与对边的比叫做A 的余切,记为cotA ,即cotAA的邻边bA的对边a2、锐角三角函数的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做名师总结优秀学问点A 的锐角三角函数3、一些特别角的三角函数值三角函数 30 ° 45 ° 60 °sin 123222cos321222tan31 33cot31 334、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系： sinA=cos90 °A , cosA=sin90 °A ；（2）平方关系：sin2Acos 2A1（3）倒数关系： tanAtan90 °A=1 （4）商（弦切）关系：tanA=sinAcosA5、锐角三角函数的增减性当角度在 0°90° 之间变化时,（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（ 2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（ 3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（ 4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出全部未知元素的过程叫做解直角三角形；2、解直角三角形的理论依据在 Rt ABC 中, C=90° , A , B, C 所对的边分别为 a, b,c （1）三边之间的关系：a 2b 2c 2（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90°（3）边角之间的关系：正弦 sin ,余弦 cos,正切 tan 4 面积公式：（ hc 为 c 边上的高）考点五、解直角三角形 应用1、将实际问题转化到直角三角形中,用锐角三角函数、代数和几何学问综合求解2、仰角、俯角、坡面 学问点及应用举例：ih:l；坡度一般写成 1: m的形式,如i1:5等；把1仰角 ：视线在水平线上方的角；俯角 ：视线在水平线下方的角；铅垂线视线仰角水平线hi俯角视线lh2坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做 坡度 坡比 ；用字母 i 表示,即l名师归纳总结 第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点3,OA、 OB、OC、 OD 的方向角分别是：45° 、 135° 、坡面与水平面的夹角记作叫做 坡角 ,那么ihtan；l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角；如图225° ；解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）1、解直角三角形的类型与解法已知、解法三角已知条件解法步骤类型Rt ABC 两两直角边（如a, b）由 tan A a b,求 A； B 90° A,ca 2-b2 B 斜边,始终角边（如c,a）由 Sin A a c,求 A； B 90° A,bc2a2 c 边锐角,邻边B 90° A, a b·Sin A ,cb cosAcosA a 一A b C 边一角边（如 A, b）一和锐角,对边B 90° A, ba tanA, ca角一锐角（如 A, a）sinA斜边,锐角（如c, A）B 90° A, a c·Sin A , b c·cos A 2、测量物体的高度的常见模型1）利用水平距离测量物体高度数学模型所用应测数据tan 数量关系x2依据工具x1,tan 原理x1 x2 a 侧倾 、 、 a·tan ·tanx直角tan tan三角a x 器水平距离 a tan ax tan 形的皮尺边角关系tan ·tan a·tan tan2 测量底部可以到达的物体的高度a12数学模型3h 所用应测数据h a 3数量关系a 1a 3依据第 3 页,共 9 页工具原理a 1,h镜子皮尺目高 a1a2a2反射镜子水平距离 a2定律a水平距离 a3 a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - h a31aa2h 皮尺标杆高 a1 名师总结优秀学问点,h a 1a 3同一时刻物高与影长成h a 1a 3a 2正比a2标杆标杆影长 a2tan haa 1, 矩形的性质和直角三角物体影长 a3 形的边角关系侧倾器高 a1 2a1a2皮尺水平距离 a2 h a1a2tan 倾斜角 侧倾1h器仰角 tan h 1, tan h 2矩形的性质和直角三角形的边角关系ah 2h 1）a1a 1h h1h2a1（ tan tan ）1俯角 水平距离 a1 3）测量底部不行到达的物体的高度（数学模型所用工应测数据数量关系依据1h具仰角 tan h1, tan a理论xxh 皮尺俯角 h ah1 atan tana a1 tan tan 矩形的性质和直角三x 高度 a tan a h , tanx a角形的边角关系侧倾器xa 2）俯角 xah tana h aatan tan俯角 tanx h 高度测量底部不行到达的物体的高度（A a数字模型x 1hh 所用应测距离tan h 1a 1x数量关系h1依据第 4 页,共 9 页工具仰角 , tan 原理xtan h11atantantan仰角 a 2名师归纳总结 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a x h 1h 皮尺水平距离 a1 名师总结优秀学问点矩形的性质和h a2h1a2a 1tantan侧倾器高 a2 tantantan h x, tan h a x侧倾仰角 htan tan tan器直角三角形的仰角 tan h x, tan h a、 hxtan边角关系高度 a tan tana 第三部分x h 仰角 tan h x, tan ah x仰角 htan tab tan高度 a 真题分类汇编详解2007-2022 （2007）19（本小题满分6 分）一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北21. 3° 方向有一座小岛C,连续向东航行60 海里到达 B 处,测得小岛 C 此时在轮船的东偏北63. 5° 方向上之后,轮船连续向东航行多少海里,距离小岛C 最近？（参考数据：sin21. 3° 9 25,tan21. 3° 2 5, sin63. 5° 9 10,tan63. 5° 2）北ABC东（2022）19（本小题满分6 分）在一次课题学习课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬,小明同学绘制的设计图如下列图,其中, AB表示窗户,且AB2米, BCD 表示直角遮阳蓬,已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6 ,最大夹角为 64.5 请你依据以上数据,帮忙小明同学运算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据： sin18.60.32 , tan18.60.34 , sin 64.50.90 , tan64.52.1）C D B 名师归纳总结 G E 第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2022）19（本小题满分名师总结优秀学问点CD 的高度他们第一从A 处安置测倾器,测得6 分）在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔塔顶 C 的仰角 CFE 21°,然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处,此时测得仰角 CGE 37°,已知测倾器高 1.5 米,请你依据以上数据运算出古塔 CD 的高度（参考数据：sin 37° 3,tan 37° 3,sin 21°9,tan 21° 3）5 4 25 8（2022）19（本小题满分 6 分）小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB,AB80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部A的仰角为 37° ,大厦底部B的俯角为48° 求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度（结果保留整数）11）A （参考数据：sin37o3,o tan373,o sin 487,o tan48541010解：C 37°D 48°B 第 19 题图A （2022）196 分 某商场预备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由原先的 40o 减至 35o已知原楼梯AB长为 5m,调整后的楼梯所占地35o40oD 第 6 页,共 9 页面 CD有多长？C B 结果精确到0.1m参考数据： sin40 o 0.64 , cos40o 0.77 ,sin35 o 0.57 ,tan35 o 0.70 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（2022）20. （8 分）附历年真题标准答案：（ 2007）19（本小题满分6 分）C 第 7 页,共 9 页解：过 C 作 AB 的垂线,交直线AB 于点 D,得到 Rt ACD 与 Rt BCD设 BD x 海里,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点C 在 Rt BCD 中, tanCBD CD BD, CDx ·tan63.5 °在 Rt ACD 中, AD AB BD 60x海里, tan ACD AD, CD 60 x ·tan21.3 ° x·tan63.5 °60 x ·tan21.3 °,即2x260x解得, x155答：轮船连续向东航行15 海里,距离小岛C 最近 6（2022）19（本小题满分6 分）解：设 CD为 x ,在 Rt BCD中,BDC18 6.,tanBDCBC,BCCDtanBDC0 .34 x· · · · · · · · · · · ·2CD在 Rt ACD中,ADC64.5, tanADCAC,ACCDtanADC21. xCDABACBC,2.21 x.0 34xx1.14答： CD长约为 1.14 米（2022）19（本小题满分6 分）G E D 解：由题意知 CDAD, EFAD,CEF90°,设CEx,CE,就EFCEx8x；F 在 RtCEF中, tanCFEEFtanCFEtan 21°3A B 在 RtCEG中, tanCGECE,就GECEx4 3x第 19 题图tanCGEtan37°GE EFFGEG, 8 3x504x x37.5,CDCEED37.5 1.539（米）3答：古塔的高度约是39 米 ····· ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ 6 分（2022）19（本小题满分6 分）A 解：设 CD = x在 Rt ACD中, tan37AD,CD就3 4AD,AD3 4x. ,C 37°D x在 Rt BCD中,tan48° = BD CD48°就11 10BD,xBD11x . 4分第 19 题图B 10 ADBD = AB,3 4x11x8010解得： x43答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是 43 米 6 分（2022）19（本小题满分6 分）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（2022）20. （8 分）感谢名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页