2022年二元一次方程补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案学问点 ：1、二元一次方程： （1）方程的两边都是整式, （ 2）含有两个未知数, （3）未知数的最高次数是一次；2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解；3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组；4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解；等的两个未知数的值）（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相无论是二元一次方程仍是二元一次方程组的解都应当写成x的形式；y5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元；（1）代入消元法：将一个方程变形,用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式,再代入另一个方程,把二元消去一元,再求解一元一次方程；主要步骤：变形用一个未知数的代数式表示另一个未知数；代入消去一个元；求解分别求出两个未知数的值；写解写出方程组的解；（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组,第一观看出两个未知数的系数各自的特点,判定如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解；变形同一个未知数的系数相同或互为相反数；加减消去一个元；求解分别求出两个未知数的值；写解写出方程组的解；（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系,列出方程组；列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“ 审、找、列、解、答” 五步,即： 审：通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数； 找：找出能够表示题意两个相等关系； 列：依据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组； 解：解这个方程组,求出两个未知数的值； 答：在对求出的方程的解做出是否合理判定的基础上,写出答案；a 1 x b 1 y c 16、二元一次方程组 的解的情形有以下三种：a 2 x b 2 y c 2 当 a 1 b 1 c 1时,方程组有很多多解； （两个方程等效）a 2 b 2 c 2 当 a 1 b 1 c 1时,方程组无解； （两个方程是冲突的）a 2 b 2 c 2 当 a 1 b 1（即 a 1 b 2 a 2 b 1 0）时,方程组有唯独的解a 2 b 27、方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有很多多解,如要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行；8、求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数）争论；,再解含待定系数的不等式或加以名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载练习题 ：1、已知代数式11xa1y3与m3xby2ab是同类项,那么a= ,b= ；22、已知-2xm3 与1 2xnyn是同类项,那么nm2022=_；y3、解以下方程组：x4y14,就 ab = 4xyy131y22022 x2022 y6037x2xy1622022 x2022 y6035234、已知a2 b；3 a2 b8.5、关于 x 的方程组 3 x y m 的解是 x 1,就 |m-n| 的值是；x my n y 1x 2 ax by 106、已知 是二元一次方程组 的解,就 3 a b 的算术平方根为；y 1 bx ay 12 x 3 y k7、已知方程组 的解 x,y 满意方程 5x-y=3 ,求 k 的值是；3 x 4 y k 20225 x y 78、挑选一组 m,n 值使方程组（ 1）有很多多解, （2）无解,（ 3）有唯独的解；mx 2 y nx y a9、a 取什么值时,方程组 的解是正数？5 x 3 y 3110、a 取哪些正整数值,方程组x2y5a的解 x 和 y 都是正整数？3 x4y2 a11、要使方程组xkyk的解都是整数, k 应取哪些整数值？x2y1名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、已知关于 x、y的方程组2xay6精品资料y欢迎下载a 的值；有整数解 , 即 x、都是整数 , a 是正整数,求4xy713、m取何整数值时,方程组2xmy14的解 x 和 y 都是整数？x4y14、如 4x3 y6z0,x2y7z0xyz0 ,求代数式5x22y22 z2的值；2x23y210z应用题：一、数字问题例 1、一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大 数大 27,求这个两位数；二、利润问题9；假如交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位例 2、一件商品假如按定价打九折出售可以盈利20%；假如打八折出售可以盈利10 元,问此商品的定价是多少？三、配套问题例 3、某厂共有 120 名生产工人, 每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母 20 个,假如一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天支配多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套？四、行程问题例 4、在某条高速大路上依次排列着 A、 B、C三个加油站, A 到 B的距离为 120 千米, B到 C的距离也是 120 千米；分别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速大路逃离现场,正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立刻以相同的速度分别往 A、C两个加油站驶去,结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过 的速度各是多少？3 小时后才被另一辆巡逻车追逐上；问巡逻车和犯罪团伙的车名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载五、货运问题例 5、某船的载重量为300 吨,容积为1200 立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6 立方米,乙种货物每吨的体积为2 立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨？六、工程问题例 6、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,依据这个服装厂原先的生产才能,每天可生产这种服装 150 套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 4；现在工厂改进了人员组织结构和生产5流程,每天可生产这种工作服 200 套,这样不仅比规定时间少用 1 天,而且比订货量多生产 25 套,求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？15、用 100 枚铜板买桃、李、杏共100 粒,己知桃、李每粒分别是3,4 枚铜板,而杏7 粒 1 枚铜板；问桃、李、杏各买几粒？16、今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少？17、某种商品价格为每件33 元,某人身边只带有2 元和 5 元两种面值的人民币各如干张,买了一件这种商品；如无需找零钱,就付款方式有哪几种（指付出 2 元和 5 元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？18、某水果批发市场香蕉的价格如下表：购 买 香 蕉 数 不超过 20 20 千克以上但 40 千克（千克）千克 不超过 40 千克 以上每千克价格 6 元 5 元 4 元张强两次共购买香蕉 50 千克（其次次多于第一次）,共付款 264 元,请问张强第一次、 其次次分别购买香蕉多少千克？19、小明和小亮做加法嬉戏,小明在一个加数后面多写了一个 0,得到的和是 242；而小亮在另一个加数后面多写了一个 0,得到的和是341,正确的结果是多少？第 4 页,共 20 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1000 张20、用如图 1 中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图2 的竖式和横式两种无盖纸盒；现在仓库里有正方形纸板和 2000 张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完？21、同庆中学为 丰富同学的校内生活,预备从军跃体育用品商店一次性购买如干个足球和篮球 每个足球的价格相同,每个篮球的价格相同 ,如购买 3 个足球和 2 个篮球共需 310 元购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元； 1 购买一个足球、一个篮球各需多 少元 . 2 依据同庆中学的实际情形,需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共 96 个；要求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元,这所中学最多可以购买多少个篮球 . 22、为迎接 2022 年奥运会,某工艺厂预备生产奥运会标志“ 中国印” 和奥运会吉利物“ 福娃” ；该厂主要用甲、乙两种原料,已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 奥运会标志和奥运会吉利物各多少套？4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉利物需要甲原料和乙原 20000 盒和 30000 盒,假如所进原料全部用完,求该厂能生产23、古算题：“ 我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空问多少房间多少客？”（题目大意是： 一些客人到李三公的店中住宿,有多少房间多少客人 ）如每间房里住 7 人,就分有 7 人没地方住； 如每间房住 9人,就空出一间房 问24、某次数学竞赛前 60 名获奖,原定一等奖 5 人,二等奖 15 人,三等奖 40 人； 现调整为一等奖 10 人,二等奖 20 人,三等奖 30 人；调整后一等奖的平均分数降低了 3 分,二等奖的平均分数降低了 2 分,三等奖平均分数降低 1 分；假如原先二等奖比三等奖平均分数多 7 分,求调整后一等奖比三等奖平均分数多几分？名师归纳总结 第 5 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二元一次方程组竞赛题集（答案 +解析）【例 1】已知方程组 的解 x,y 满意方程 5x-y=3 ,求 k 的值 . 【摸索与分析】此题有三种解法,前两种为一般解法,后一种为巧解法 . （）由已知方程组消去 k,得 x 与 y 的关系式,再与 5x-y=3 联立组成方程组求出 x,y 的值,最终将 x,y 的值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值 . （）把 k 当做已知数,解方程组,再依据 5x-y=3 建立关于 k 的方程,便可求出 k 的值 . （）将方程组中的两个方程相加,得 5x-y=2k+11 ,又知 5x-y=3 ,所以整体代入即可求出 k 的值 . 把 代入,得,解得 k=-4. 解法二：× 3× ,得 17y=k-22 ,解法三：+,得 5x-y=2k+11. 又由 5x-y=3 ,得 2k+11=3,解得 k=-4. 【小结】解题时我们要以一般解法为主,特殊方法虽然奇妙,但是不简单想到,有摸索奇妙解法的时间,可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,当然,奇妙解法很简单想到的话,那就应当用奇妙解法了 . 【例 2】某种商品价格为每件元,某人身边只带有元和元两种面值的人民币各如干张,买了一件这种商品. 如无需找零钱,就付款方式有哪几种（指付出元和元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载【摸索与分析】此题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解 . 我们先找出问题中的数量关系,再找出最主要的数量关系,构建等式 . 然后找出已知量和未知量设元,列方程组求解 . 最终,比较各个解对应的 x+y 的值,即可知道哪种付款方式付出的张数最少 . 解：设付出元钱的张数为 x,付出元钱的张数为 y,就 x,y 的取值均为自然数 . 依题意可得方程：2x+5y=33. 由于 5y 个位上的数只可能是或,所以 2x 个位上数应为或 . 又由于 x 是偶数,所以 x 个位上的数是,从而此方程的解为：由 得 x+y=12；由 得 x+y=15. 所以第一种付款方式付出的张数最少 . 答：付款方式有种,分别是：付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱；付出张元钱和张元钱 . 其中第一种付款方式付出的张数最少 . 【例 3】 解方程组【摸索与分析】本例是一个含字母系数的方程组 . 解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样,在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时,也需要弄清字母的取值是否为零 . 解：由,得 y=4 mx,把代入,得 2x+5 （4mx）=8,解得（25m）x=-12 ,当 25m0,即 m时,方程无解,就原方程组无解 . 当 25m 0,即 m时,方程解为将 代入,得故当 m时,原方程组的解为【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同,但留意求解时需要争论字母系数的取值情形对于 x、y 的方程组中, a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为已知数,且a1 与 b1、a2 与 b2 都至少有一个不等于零,就名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载4 道门,其中两道正门大小相同,时,原方程组有惟一解；8 间教室,这栋大楼共有时,原方程组有无穷多组解；时,原方程组无解. 【例 4】某中学新建了一栋4 层的教学大楼,每层楼有两道侧门大小也相同. 安全检查中,对4 道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时,2 分钟内可以通过560名同学；当同时开启一道正门和一道侧门时,4 分钟可以通过800 名同学 . （1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名同学？（2） 检查中发觉,紧急情形时因同学拥挤,出门的效率将降低20. 安全检查规定,在紧急情形下全大楼的同学应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 . 假设这栋教学大楼每间教室最多有 45 名同学,问：建造的这 4 道门是否符合安全规定？请说明理由 . 【摸索与解】（1）设平均每分钟一道正门可通过 x 名同学,一道侧门可以通过 y 名同学 . 依据题意,得所以平均每分钟一道正门可以通过同学 120 人,一道侧门可以通过同学 80 人. （2） 这栋楼最多有同学 4× 8× 45=1440（人） . 拥挤时 5 分钟 4 道门能通过5× 2× （ 120+80）× （ 1-20%）=1600（人） . 由于 1600>1440 ,所以建造的4 道门符合安全规定. 4 道门符合安全规定. 答: 平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120 名同学、 80 名同学；建造的这【例 5】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50 千克（其次次多于第一次）,共付款264 元,请问张强第一次、其次次分别购买香蕉多少千克？【摸索与分析】要想知道张强第一次、其次次分别购买香蕉多少千克,我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手. 通过观看图表我们可知香蕉的价格分三段,分别是6 元、 5 元、4 元. 相对应的香蕉的千克数也分为三段,我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范畴内,利用分类争论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数. x 千克,其次次购买香蕉y 千克由题意,得0<x<25第 8 页,共 20 页解：设张强第一次购买香蕉名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载当 0<x20,y40 时,由题意,得当 0<x20,y>40 时,由题意,得（与 0<x20, y40 相冲突,不合题意,舍去）当 20<x<25 时, 25<y<30此时张强用去的款项为 5x+5y=5（x+y）=5× 50=250<264（不合题意,舍去）. 综合可知,张强第一次购买香蕉 14 千克,其次次购买香蕉 36 千克 . 答： 张强第一次、其次次分别购买香蕉 14 千克、 36 千克 . 【反思】我们在做这道题的时候,肯定要考虑周全,不能说想出了一种情形就认为万事大吉了,要进行分类争论,考虑全部的可能性,看有几种情形符合题意 . 【例 6】 用如图中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒 . 现在仓库里有张正方形纸板和 000 张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完？【摸索与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数 1000,长方形纸板的总数 2,未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数 . 而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用肯定数量的正方形纸板和长方形纸板做成,假如我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板,就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的正方形纸板数×横式纸盒个数 = 正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×竖式纸盒个数 + 每个横式纸盒要用的长方形纸板数×横式纸盒个数 = 长方形纸板的总数通过观看图形,可知每个竖式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板,每个横式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板 . 解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系 . 设竖式纸盒做 x 个,横式纸盒做 y 个. 依据题意,得× 4- ,得 y=2000,解得 y=400. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载把 y=400 代入,得 x+800=1000 ,解得 x=200. 所以方程组的解为由于 200 和 400 均为自然数,所以这个解符合题意 . 答： 竖式纸盒做个,横式纸盒做个,恰好将库存的纸板用完 . 二元一次方程组培优应用题 一数字问题1小明和小亮做加法嬉戏,小明在一个加数后面多写了一个 个 0,得到的 和是 341,正确的结果是多少？0,得到的 和是 242；而小亮在另一个加数后面多写了一2小宏与小英是同班同学,小英家的住宅小区有 1 号楼至 22 号楼共 22 栋楼房,小宏问了小英下面两句话,就猜出了小英住几号楼几号房间小宏问：“ 你家的楼号加房间号是多少？”小英答：“ 220”小宏问：“ 楼号的 10 倍加房间号是多少？”小英答：“ 364 ”你知道为什么吗？3酷热的夏天,游泳池中有一群小伴侣,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽假如每个男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每个女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1 倍,你知道男孩与女孩各有多少人吗？4已知一个两位数,它的十位上的数字 x 比个位上的数字 y 大1,如颠倒个位数字与十位数字的位置,得到的新数比原数小 9,求这个两位数所列的方程组正确选项（）二配套问题1.（08 山东省日照市）为迎接2022 年奥运会,某工艺厂预备生产奥运会标志“中国印 ” 和奥运会吉利物“福娃 ” 该厂主要用甲、乙两种原料,已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉利物需要甲原料和乙原料分别为5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为20000 盒和 30000 盒,假如所进原料全部用完 ,求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉利物各多少套？名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2. （2022 年山东省威海市）汶川大地震发生后,各地人民纷纷捐款捐物支援灾区我市某企业向灾区捐助价值 94 万元的 A,B 两种帐篷共 600 顶已知 A 种帐篷每顶 1700 元, B种帐篷每顶 1300 元,问 A,B 两种帐篷各多少顶？3长沙市某公园的门票价格如下表所示：购票人数 150 人 51 100 人 100 人以上票价 10 元人 8 元人 5 元人某校七年级甲、乙两班共 100多人去该公园举办联欢活动,其中甲班 50多人,乙班不足 50人假如以班为单位分别买票,两个班一共应对 920元；假如两个班联合起来作为一团体购票,一共只要付 515元问：甲、乙两班分别有多少人？三行程问题1.甲、乙两人练习跑步,假如让乙先跑 10 米,甲 5 秒追上乙；假如让乙先跑 2 秒,那么甲 4 秒追上乙 .甲、乙每秒分别跑 x、y 米,由题意得方程组 _. 2.小明和小亮分别从相距 20 千米的甲、乙两地相向而行,经过 2 小时两人相遇,相遇后小明即返回原地,小亮连续向甲地前进,小明返回到甲地时,小亮离甲地仍有2 千米 .恳求出两人的速度. . 3. 一船顺水航行43.5 公里需要3 小时,逆水行47.5 公里需 5 小时,求此船在静水中的速度和水流的速度四工程问题1某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成按这个服装厂原先的生产才能,每天可生产这种服装 150 套,按这样的生产进度在客户要求期限内只能完成订货的 4；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,5每天可生产这种工作服 200 套,这样,不仅比规定的期限少用 1 天,而且比订货量多生产 25 套那么客户订做的工作服是多少套,要求完成的期限是多少天？2（2006 年日照市）在我市南沿海大路改建工程中,某段工程拟在30 天内（含 30 天）完成现有甲、乙两个工程队,从这两个工程队资质材料可知：如两队合做24 天恰好完成；如两队合做18 天后,甲工程队再单独做10 天,也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为06 万元,乙工程队每天的施工费用为035 万元,要使该工程的施工费用最低,甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载五含量浓度问题1 2022 山东烟台 据争论,当洗衣机中洗衣粉的含量在0.2%0.5%之间时,衣服的洗涤成效较好,由于这时表面活性较大 . 现将 4.94 的衣服放入最大容量为 15 的洗衣机中,欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到 0.4%,那么洗衣机中需要加入多少千克水,多少匙洗衣粉？（1 匙洗衣粉约 0.02,假设洗衣机以最大容量洗涤）2. 要配制浓度为 15%的硫酸 500 公斤,已有 60%的硫酸 100 公斤,问仍需要加水和加浓度为 80 %的硫酸各多少公斤 . 六图形问题1如图 4,周长为 68 的长方形 ABCD被分成 7 个大小完全一样的长方形,就长方形 ABCD的面积是多少？2用一些长短相同的小木棍按图 5 所示,连续摆正方形和六边形要求每两个相邻的图形只有一条公共边已知摆放的正方形比正六边形多4 个,并且一共用了110 根小木棍,问连续摆放的正方形和正六边形各有多少个？3（2006 年烟台市） 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标如下列图,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如大正方形的面积是 直角边为 b,就 a 3b 4 的值为 13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短A 35 B43 C 89 D97 七整数解问题1把面值为 1元的纸币换为 1角或 5角的硬币,就换法共有 _种练习：1古算题：“ 我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿,如每间房里住 7 人,就分有 7 人没地方住；如每间房住 9人,就空出一间房问有多少房间多少客人 ）答： _2.某公司去年的总收入比总支出多50 万元,今年比去年的总收入增加10,总支出节省20,今年的总收入比总支名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 出多 100 万元 .假如设去年的总收入是精品资料欢迎下载_. x 万元,总支出是y 元,那么可列方程组是七年级数学导学案教学目标：进一步娴熟二元一次方程组的解法和解二元一次方程组,能依据实际问题,找出等量关系,然后设未知 数列方程进行解答；教学重点：找出实际问题中的等量关系 教学难点：找出实际问题中的等量关系学问点 : 二元一次方程组在实际问题中的应用归纳： 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“ 审、找、列、解、答”五步,即：（1）审：通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：依据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组；（4）解：解这个方程组,求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判定的基础上,写出答案 . 题型分类讲解：一、数字问题例 1 一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大 两位数大 27,求这个两位数9；假如交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原分析：设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y,就这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：解方程组十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系10xyxy927,原两位数x y 10x+y 10x+y=x+y+9 10yx10xy新两位数y 10y+x 10y+x=10x+y得x1,因此, 所求的两+27 第 13 页,共 20 页y4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载位数是 14点评：由于受一元一次方程先入为主的影响,不少同学习惯于只设一元,然后列一元一次方程求解,虽然这种方法十有八九可以奏效,但对有些问题是无能为力的,象此题,假如直接设这个两位数为 x,或只设十位上的数为 x,那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程一般地,与数位上的数字有关的求数问题,一般应设各个数位上的数为“元”,然后列多元方程组解之二、利润问题例 2 一件商品假如按定价打九折出售可以盈利 20%；假如打八折出售可以盈利 10 元,问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价,因此,设此商品的定价为 x 元,进价为 y 元,就打九折时的卖出价为 0.9x 元,获利 0.9x-y元,因此得方程 0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为 0.8x 元,获利 0.8x-y元,可得方程 0.8x-y=10. 0.9 x y 20% y x 200解方程组,解得,0.8 x y 10 y 150因此,此商品定价为 200 元点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的,不要误为是相对于定价或卖出价利润的运算一般有两种方法,一是：利润 =卖出价 -进价；二是：利润 =进价 ×利润率（盈利百分数） 特殊留意 “利润 ”和“利润率 ”是不同的两个概念三、配套问题例 3某厂共有 120 名生产工人, 每个工人每天可生产螺栓25 个或螺母 20 个,假如一个螺栓与两个螺母配成一套,那么每天支配多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套,只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套,依据题意,每天生产的螺栓与螺母应满意关系式：每天生产的螺栓数× 2=每天生产的螺母数× 1因此,设支配人生产螺栓,人生产螺母,就每天可生产螺栓25个,螺母20个,依题意,得xy2120y1,解之,得x2050 x20y100故应支配 20 人生产螺栓, 100 人生产螺母点评：产品配套是工厂生产中基本原就之一,如何安排生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题,解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系,其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（ 1）“二合一 ” 问题：假如件甲产品和件乙产品配成一套,那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍,即甲产品数乙产品数；ab（2）“三合一 ”问题：假如甲产品件,乙产品件,丙产品件配成一套,那么各种产品数应满意的相等关系式是：甲产品数乙产品数丙产品数abc四、行程问题名师归纳总结 例 4在某条高速大路上依次排列着A、B、C三个加油站, A 到 B 的距离为 120 千米,B 到 C的距离也是120 千米分第 14 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速大路逃离现场,正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立刻以相同的速度分别往 A、C两个加油站驶去, 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过 的速度各是多少？3 小时后才被另一辆巡逻车追逐上问巡逻车和犯罪团伙的车【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y 千米 /时,就这个关3xyy120,整理,得xy40,解得x80,x120xy120y40因此,巡逻车的速度是80 千米 / 时,犯罪团伙的车的速度是40 千米 /时点评： “ 相向而遇 ”和“同向追及 ”是行程问题中最常见的两种题型,在这两种题型中都存在着一个相等关系,系涉及到两者的速度、原先的距离以及行走的时间,详细表现在：“相向而遇 ”时,两者所走的路程之和等于它们原先的距离；“同向追及 ”时,快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原先的距离五、货运问题典例 5 某船的载重量为300 吨,容积为1200 立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为6 立”设方米,乙种货物每吨的体积为2 立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨？分析： “ 充分利用这艘船的载重和容积”的意思是 “货物的总重量等于船的载重量”且 “货物的体积等于船的容积甲种货物装x 吨,乙种货物装y 吨,就xy300,整理,得xy300,解得x150,6 x2y12003xy