2022年二次函数与相似三角形问题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载综合题讲解函数中因动点产生的相像三角形问题例题 如图 1,已知抛物线的顶点为 A（2,1）,且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B；求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为 y 14 x 2 x）如点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形,求 D 点的坐标；连接 OA 、AB ,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P,使得OBP 与 OAB 相像？如存在,求出 P 点的坐标；如不存在,说明理由；y yAAxO、C、D、BOBOBx图 1 例 1 题图图 2 分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以四点为顶点的四边形为平行四边形要分类争论:按 OB 为边和对角线两种情形2. 函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题途径 求相像三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形；依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类争论；或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等学问来 推导边的大小；如两个三角形的各边均未给出,就应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用 相像来列方程求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 2：如图,已知抛物线y=ax学习必备欢迎下载2+4ax+t （a0）交 x 轴于 A、 B 两点,交 y 轴于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为（ -1,0）（ 1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；P,你能判定四边形ABCP是什么四边形？并证明你（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点的结论；（ 3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点D,当 APD= ACP 时,求抛物线的解析式练习 1、已知抛物线 y ax 2bx c 经过 P 3 3,E 5 3, 及原点 0 O 0 0, 22 2 5 3（1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式为 y3 x3 x ）（2）过 P 点作平行于 x 轴的直线 PC 交 y 轴于 C 点,在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC 下方的抛物线上,任取一点 Q ,过点 Q 作直线 QA 平行于 y 轴交 x 轴于 A 点,交直线 PC 于 B 点,直线 QA 与直线 PC及两坐标轴围成矩形 OABC是否存在点 Q ,使得OPC 与PQB 相像？如存在,求出 Q 点的坐标；如不存在,说明理由（3）假如符合（ 2）中的 Q 点在 x 轴的上方,连结OQ ,矩形 OABC 内的四个三角形OPC,PQB,OQP,OQA之间存在怎样的关系？为什么？CyPBQ名师归纳总结 OAEx第 2 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载tanA 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,练习 2、如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点将边 BC 折叠,使点B 落在边 OA 的点 D 处；已知折叠CE5 5,且EDA3；4（1）判定OCD与ADE是否相像？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l,使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相像？假如存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线；假如不存在,请说明理由；y C B E 练习 3、在平面直角坐标系xOy 中,已知二次函数yax2bxc a0O D Ax 练习 2 图的图象与 x 轴交于 A,B两点（点A在点 B 的左边）,与 y 轴交于点 C ,其顶点的横坐标为1,且过点 2 3, 和 3,12y （1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为yx22x3）（2）如直线l:ykx k0与线段 BC 交于点 D （不与点 B,C重合）,就是否存在这样的直线l ,使得以 B, ,D为顶点的三角形与BAC相像？如存在,求出该直线的函数表达式及点D的坐标；如不存在,请说明理由；A 10,B3 0,C0 3（3）如点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO 与ACO的大小（不必证明） ,并写出此时点P 的横坐标x 的取值范畴y x lP C A B A oB xO C 练习 4 图x1练习 3 图名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 4 、 如下列图,已知抛物线yx21学习必备欢迎下载与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MG x 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相像如存在,恳求出 M 点的坐标；否就,请说明理由练习 5、已知：如图,在平面直角坐标系中,ABC 是直角三角形,ACB 90,点 A,C 的坐标分别为 A 3 0, ,C , ,tan BAC 34（1）求过点 A,B 的直线的函数表达式；点 A 3 0, ,C , , B 13, ,y 3x 94 4（2）在 x 轴上找一点 D ,连接 DB ,使得ADB 与ABC 相像（不包括全等） ,并求点 D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下,如 P,Q 分别是 AB 和 AD 上的动点,连接 PQ ,设 AP DQ m ,问是否存在这样的 m 使得APQ 与ADB 相像,如存在,恳求出 m 的值；如不存在,请说明理由y B A O C x 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1,练习 6、如图,已知抛物线与x 交于 A 1,0、E3,0两点,与 y 轴交于点 B0,3；（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D,求四边形AEDB 的面积；（3） AOB 与 DBE 是否相像？假如相像,请给以证明；假如不相像,请说明理由；练习 7、如图,已知抛物线y3 4x2 bx c 与坐标轴交于A、 B、 C 三点,A 点的坐标为（30）,过点 C 的直线 yx3 与 x 轴交于点 Q,点 P 是线段 BC 上的一个动点, 过 P 作 PH OB 于点 H如4tPB5t,且 0 t1（ 1）填空：点 C 的坐标是 _ _, b_ _,c_ _；（ 2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ；（ 3）依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使以 P、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相像？如存在,求出所有 t 的值；如不存在,说明理由yAOQHPBxC练习 8、如图,抛物线经过A4 0,B10,C0,2三点名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求出抛物线的解析式；（ 2） P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM x 轴,垂足为 M ,是否存在 P 点,使得以 A,P,M 为顶点的三角形与OAC 相像？如存在,恳求出符合条件的点 P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标练习 9、已知, 如图 1,过点 E 0,1 作平行于 x 轴的直线 l ,抛物线 y 1 x 上的两点 A 2、B 的横坐标分4别为 1 和 4,直线 AB 交 y 轴于点 F ,过点 A、B 分别作直线 l 的垂线,垂足分别为点 C 、 D ,连接CF、DF（1）求点 A、 、F 的坐标；（2）求证： CF DF；（3）点 P 是抛物线 y 1 x 对称轴右侧图象上的一动点,过点 2P 作 PQPO 交 x 轴于点 Q ,是否存在4点 P 使得OPQ 与CDF 相像？如存在, 恳求出全部符合条件的点 P 的坐标； 如不存在, 请说明理由练习 10、 当 x2 时,抛物线 yax 2bxc 取得最小值 1,并且抛物线与 y 轴交于点 C（0,3）,与 x名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载轴交于点 A 、 B（1）求该抛物线的关系式；（2）如点 M （x,y1）,N（x1,y 2）都在该抛物线上,试比较 y 1 与 y2 的大小；（3） D 是线段 AC 的中点, E 为线段 AC 上一动点（ A 、C 两端点除外） ,过点 E 作 y 轴的平行线 EF 与抛物线交于点 F问：是否存在DEF 与 AOC 相像？如存在,求出点 E 的坐标；如不存在,就说明理由y 3 C E D F O BA x （第 26 题图）练习 11、如图,一次函数y=2x 的图象与二次函数y=x2+3x 图象的对称轴交于点B. （1）写出点 B 的坐标；2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点,将直线y=2x 沿 y 轴向上平. （2）已知点 P 是二次函数 y=x移,分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点 . 如以 CD 为直角边的PCD 与 OCD 相像,就点 P 的坐标为D O C B 练习 12、如图,抛物线yax2bx1与 x 轴交于两点 A（ 1,0）, B（ 1,0）,与 y 轴交于点 C名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1求抛物线的解析式；2过点 B作BD CA 与抛物线交于点 3在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点D,求四边形 ACBD 的面积；M ,过 M 作MN x 轴于点 N,使以 A、M 、N为顶点的三角形与BCD 相像？如存在,就求出点 M 的坐标；如不存在,请说明理由练习 13、 已知：函数 y=ax 2+x+1 的图象与 x 轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如下列图,设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为B,与 y 轴的交点为A,P 为图象上的一点,如以线x 段 PB 为直径的圆与直线AB 相切于点 B,求 P 点的坐标；M 是否在抛物线y=ax2+x+1 上,（3）在2 中,如圆与 x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ,摸索究点如在抛物线上,求出M 点的坐标；如不在,请说明理由y B A O 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 14、 如图 , 设抛物线 C1:yax12学习必备y欢迎下载125, C1与 C2的交点为 A, B, 点 A 的坐5, C2:ax标是 2 , 4 , 点 B 的横坐标是 2. （1）求 a 的值及点 B 的坐标；（2）点 D 在线段 AB 上 , 过 D 作 x 轴的垂线 , 垂足为点 H, 在 DH 的右侧作正三角形 DHG . 记过 C2 顶点的直线为 l , 且 l 与 x 轴交于点 N. 如 l 过 DHG 的顶点 G, 点 D 的坐标为 1, 2,求点 N 的横坐标； 如 l 与 DHG 的边 DG相交 , 求点 N的横坐标的取值范畴 .练习 15、 如图,在矩形 ABCD中, AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB上运动,设 AP=x ,现将纸片折叠,使点 D与名师归纳总结 点 P 重合,得折痕EF（点 E、 F 为折痕与矩形边的交点）,再将纸片仍原；（ 1）当 x=0 时,折痕 EF的长为；当点 E 与点 A重合时,折痕EF的长为（2）请写出访四边形EPFD为菱形的 x 的取值范畴,并求出当x=2 时菱形的边长；EAP（3）令EF2y,当点 E在 AD、点 F 在 BC上时,写出 y 与 x 的函数关系式； 当 y 取最大值时, 判定第 9 页,共 18 页与PBF 是否相像？如相像,求出x 的值；如不相像,请说明理由；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习 16、 如图,已知A 4,0,B0, 4学习必备欢迎下载9:4,将 OB 向右侧放大, B,现以 A 点为位似中心,相像比为点的对应点为 C1 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式 ; 2 一抛物线经过 B、C 两点,且顶点落在 x 轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象 ; 3 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,请找出抛物线上全部满意到直线 AB 距离为 3 2的点 P名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载参考答案例题 、解 :由题意可设抛物线的解析式为yax221抛物线过原点,0a 02210221,即y1x2xOyABxa1. 4抛物线的解析式为y1x44如图 1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOB, 由01x221得x1,x24, 4B4,0,OB 4. D 点的横坐标为6 x221,得 y 3, C图 1 D将 x6 代入y1 4D6, 3; 依据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形 ,此时 D 点的坐标为 2,3, 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点 ,此时 D 点的坐标为 2,1 如图 2,由抛物线的对称性可知:AO AB, AOB ABO. 如 BOP 与 AOB 相像 ,必需有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,明显 A2,1 OyABEx直线 OP 的解析式为y1 2x由1x1x2x, 24A'得x10,x26图 2 P.P6, 3 过 P 作 PEx 轴,在 Rt BEP 中,BE 2,PE 3, PB13 4.PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相像 , 名师归纳总结 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 第 11 页,共 18 页所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AOB 相像 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载练习 1、解：（1）由已知可得：3 a3 b3a2,b5 3,c075a5 3b0解之得,4233c0y2x25 3 3x 因而得,抛物线的解析式为：3（2）存在名师归纳总结 设 Q 点的坐标为 m,n ,就n22 m5 3m,mm33第 12 页,共 18 页33要使OCPPBQ, BQ CPPB,就有3nm33,即32m235 333OC3mm3解之得,m 12 3,m 22当m 12 3时,n2,即为 Q 点,所以得Q 2 3 2要使OCPQBP, BQ OCPB,就有33nm33,即32m235 3333CP解之得,m 13 3,m 23,当m3时,即为 P 点,当m 13 3时,n3,所以得Q 3 3,3故存在两个 Q 点使得OCP与PBQ相像Q 点的坐标为 2 3 2 3 3,3（3）在 RtOCP中,由于tanCOPCP3所以COP30OC3当 Q 点的坐标为 2 3 2, 时,BPQCOP30所以OPQOCPBQAO90因此,OPC,PQB,OPQ,OAQ都是直角三角形又在 RtOAQ中,由于tanQOAQA3所以QOA30AO3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即有POQQOAQPBCOP学习必备欢迎下载30所以OPCPQBOQPOQA,30,又由于 QPOP,QAOAPOQAOQ所以OQAOQP练习 2 解：（ 1）OCD与ADE相像；,23.C y B 理由如下：由折叠知,CDEB90° ,3 1290° ,1390E 又CODDAE90°,O 1 D 2 x OCDADE；图 1 A （2）tanEDAAE3,设 AE=3t ,AD4就 AD=4t ；由勾股定理得DE=5t ；5 t8 t；l C y M G B P x OCABAEEBAEDE3 tN 由（ 1）OCDADE,得OC ADCD,E DE8 tCD,4t5tO D A CD10 t；在DCE中,CD2DE2CE2,10 25 25 52,解得 t=1；OC=8 ,AE=3 ,点 C 的坐标为（ 0,8）,点 E 的坐标为（ 10,3）,F 设直线 CE 的解析式为y=kx+b ,图 2 名师归纳总结 10 kb3,解得k1,第 13 页,共 18 页2b8,b8,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y1x8,就点 P 的坐标为（ 16, 0）；2（3）满意条件的直线l 有 2 条： y=2x+12 ,y=2x 12 ；如图 2：精确画出两条直线；练习 3 解：（ 1）二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点 2 3, 和 3,12,D为顶点b1,a1,2a由4a2 bc3,解得b2,9a3 b212.c3.此二次函数的表达式为yx22x3（2）假设存在直线l:ykx k0与线段 BC 交于点 D（不与点 B,C重合）,使得以 B, ,的三角形与BAC相像y 在yx22x3中,令y0,就由x22x30,解得x 11,x 23A 1 0,B3 0, 令x0,得y3C0 3, x轴于点 E x l设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ,过点 D 作 DE点 B 的坐标为 3 0, ,点 C 的坐标为 0 3, ,点 A 的坐标为 10, C AB4,OBOC3,OBC45.D BC2 32 33 2A O E B 要使BODBAC或BDOBAC,已有BB ,就只需BDBO,BCBAx1或BOBD.BCBA成立名师归纳总结 如是,就有BDBO BC3 3 29 2第 14 页,共 18 页BA44- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而OBC45,BEDE学习必备欢迎下载名师归纳总结 在 RtBDE中,由勾股定理,得BE2DE22BE2BD29 223x 此时4解得BEDE9（负值舍去） 4OEOBBE39344点 D 的坐标为3 9,4 4将点 D 的坐标代入ykx k0中,求得k3满意条件的直线l 的函数表达式为y3x或求出直线AC 的函数表达式为y3x3,就与直线AC 平行的直线 l 的函数表达式为y易知BODBAC,再求出直线 BC 的函数表达式为yx3联立y3 x,yx3求得点 D的坐标为3 9,4 4如是,就有BDBO BA3 42 2BC为顶点的三3 2而OBC45,BEDE在 RtBDE中,由勾股定理,得BE2DE22BE2BD22 22解得BEDE2（负值舍去） OEOBBE321点 D 的坐标为 12, 将点 D 的坐标代入ykx k0中,求得k2满意条件的直线l 的函数表达式为y2x 存在直线l:y3x 或y2x 与线段 BC 交于点 D（不与点 B,C重合）,使得以 B, ,D第 15 页,共 18 页角形与BAC相像,且点 D 的坐标分别为3 9,4 4或 12, （3）设过点C0 3,E1 0, 的直线ykx3k0与该二次函数的图象交于点P - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将点E10, 的坐标代入ykx3中,求得学习必备欢迎下载k3此直线的函数表达式为y3x32x3,得x25x0A x E 1·CB P 设点 P 的坐标为 x,3x3,并代入yx2解得x 15,x20（不合题意,舍去） x5,y12点 P 的坐标为 5,12C 此时,锐角PCOACO又二次函数的对称轴为x1,O 点 C 关于对称轴对称的点C 的坐标为 2 3, 当xp5时,锐角PCOACO；x当xp5时,锐角PCOACO ；当 2xp5 时,锐角PCOACO练习四解：（ 1）令y0,得x210解得x1A y B P 令x0,得y1 A 1,0B 1,0C 0,1（2） OA=OB=OC= 1BAC=ACO=BCO= 45oxAP CB ,PAB= 45过点 P 作 PEx 轴于 E,就APE 为等腰直角三角形令 OE= a,就 PE=a1P , a a1C 图 1 点 P 在抛物线yx21上 a1a21解得a 12,a 21（不合题意,舍去）PE= 3四边形 ACBP 的面积 S =1 2AB.OC+1 2AB.PE=1 22 112 3423 假设存在名师归纳总结 PAB=BAC = 45PAAC 第 16 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MGx 轴于点 G,MGA=学习必备欢迎下载PAC = 90在 Rt AOC 中, OA=OC= 1AC=212M A y B P x在 Rt PAE 中, AE=PE= 3AP= 3 2设 M 点的横坐标为 m ,就 M m m21点 M 在 y 轴左侧时,就m1 当AMG PCA 时,有AG PA=MG CAAG=m1,MG=m21即m12 m23 2m 2G o解得m 11（舍去）m 22（舍去）3 当MAG PCA 时有AG CA=MG PAC 即m12 m1解得：m1（舍去）图 2 23 2M 2,3 点 M 在 y 轴右侧时,就m1m 24A y B P x 当AMG PCA 时有AG PA=MG CAM AG=m1,MG=2 m1oG m12 m21解得m 11（舍去）3 23C M4 7 3 9图 3 当MAG PCA 时有AG CA=MG PA即m12 m123 2解得：m 11（舍去）m 24M 4,15名师归纳总结 存在点M,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相像第 17 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - M 点的坐标为 2,3 ,4 7 3 9, 4,15学习必备欢迎下载练习 5、解：（ 1）点A 3 0, ,C1 0BDxAC4,BCtanBACAC343, B 点坐标为 134设过点 A,B的直线的函数表达式为ykxb ,由0k 3b得k3,b9直线 AB 的函数表达式为y3xy93kb4444（2）如图 1,过点 B 作 BDAB ,交 x 轴于点 D ,P在 RtABC和 RtADB中,CBACDABRtABCRtADB,D 点为所求又tanADBtanABC4,AOQ3图 1 CDBCtanADB349ODOCCD13,D13 0 4344（3）这样的 m存在名师归纳总结 在 RtABC中,由勾股定理得AB5如图 1,当 PQBD时,APQABDx第 18 页,共 18 页就m313m,解得m25yB34 13459ADBADP如图 2,当 PQAD 时,APQQ OC就3m313m,解得m125图 2 4 513364- - - - - - -