2022年一次函数与方程和不等式讲义.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一次函数与方程和不等式讲义函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式；1、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；其次步：描点（在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）平滑曲线连接起来） ；第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用2、函数的表示方法 列表法：一目了然,使用起来便利, 但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律；解析式法：简洁明白,能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示；图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系；3、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kxk 是常数, k 0的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式y=kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大 y 也增大；当 k<0时, .直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随 x 增大 y 反而减小1 解析式 ：y=kx（k 是常数, k 0）2 必过点 ：（ 0,0）、（ 1,k）3 走向： k>0 时,图像经过一、三象限；4 增减性 ：k>0,y 随 x 的增大而增大；k<0 时, .图像经过二、四象限 k<0,y 随 x 增大而减小5 倾斜度 ：|k|越大,越接近 y 轴； |k|越小,越接近 x 轴4、一次函数及性质一般地,形如 y=kxbk,b 是常数, k 0,那么 y 叫做 x 的一次函数 .当 b=0 时, y=kxb 即y=kx,所以说正比例函数是一种特别的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0,b）和（b ,0）两点的一条直线,我们称它为k直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移 |b|个单位长度得到 .（当 b>0 时,向上平移； 当 b<0时,向下平移）（1）解析式 ：y=kx+bk、b 是常数, k0 （2）必过点 ：（ 0,b）和（b ,0）k（3）走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过其次、四象限b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限k0直线经过第一、二、三象限k0直线经过第一、三、四象限b0b0k0直线经过第一、二、四象限k0直线经过其次、三、四象限b0b0（4）增减性 ： k>0,y 随 x 的增大而增大；k<0,y 随 x 增大而减小 . （5）倾斜度 ：|k| 越大,图象越接近于y 轴； |k| 越小,图象越接近于x 轴. 第 1 页,共 10 页 （6）图像的平移 ：当 b>0 时,将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；（上加下减,左加右减）当 b<0 时,将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位 . 当 b<0 时,向下平移）. 5、直线 y=k1x+b1与 y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2 且 b1b2 （2）两直线相交：k1k2 （3）两直线重合：k1=k2 且 b1=b2 （4）两直线垂直：k1· k2= 1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载6、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未 知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 . 7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a, b 为常数, a 0）的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值 . 从图象上看,相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 8、一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为kx+b= 0 k, b 为常数, k0 的形式,可见一元一次方程是一次函数的一个特例,这就是说,在y=kx+b 中,当 y= 0 时,即为一元一次方程. 9、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）任何二元一次方程ax+by=c a, b, c 为常数,且a0, b0 都可以化为y=-a bx+c的形b式,所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数；（2）从“ 数” 的角度看,解方程组相当考虑求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少；从“ 形” 的角度看,解方程组相当于确定两条相应直线的交点坐标 . 10、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积一次函数 y=kxb 的图象与两条坐标轴的交点：与 y 轴的交点（ 0,b）,与 x 轴的交点 （b,k0）.直线（b 0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=1bbb22k2k例题讲解：探究类型之一 一次函数与一元一次方程综合【例 1】 已知直线 y 3 m 2 x 2 和 y 3 x 6 交于 x 轴上同一点, m 的值为（）A2 B 2 C1 D 0【例 2】 已 知 一 次 函 数 y x a 与 y x b 的 图 象 相 交 于 点 m,8, 就a b _【例 3】 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 2, , 1, ,就不求 k, 的值,可直接得到方程 kx b 3 的解是 x _类似性问题1、把直线 y=- x+3 向上平移 m 个单位后,与直线 就 m 的取值范畴是（）y=2x+4 的交点在第一象限,A.1<m< 7 B.3<m< 4 C.m>1 D.m<4 第 2 页,共 10 页 探究类型之二一次函数与一元一次不等式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【例 4】 已知一次函数y2x5精品资料欢迎下载（1）画出它的图象；（2）求出当x3时, y 的值； （3）求出当y3时, x 的2值；（ 4）观看图象,求出当x 为何值时,y0,y0,y0【例 5】 当自变量x 满意什么条件时,函数y4 x1的图象在：（1） x 轴上方；5,（ 2） y轴左侧；（3）第一象限）（2）已知y 1xy22x1当y 1y 时, x 的取值范畴是（A x5Bx1Cx6Dx62【例 6】 已知一次函数y2x31与2之间变化 . . （1）当 x 取何值时,函数y 的值在（2）当 x 从2 到 3 变化时,函数y 的最小值和最大值各是多少类似性问题1、 如图,函数1y =x,2y = 1 3x+4 3,当1y y 时,x 的取值范畴是 （） 第 3 页,共 10 页 A. x-1 B. -1x2 C. x-1 或 x2 D. x2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载2、 如图,直线 y=kx+b 交坐标轴于 A（-3 ,0）,B（0,5）两点,就不等式 - kx- b0 的解集为（）A. x-3 B. x-3 C. x3 D. x3 3、如图,直线 y1=kx+b 过点 A（0,2）,且与直线 y2=mx 交于点P（1,m, 就不等式组 mxkx+bmx-2 的解集是 _.探究类型之三 一次函数、方程（组）、不等式（组）与几何等学问的综合例 3、已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（ -1 ,-5 ）,且与函数 y= 1 2x+1 的图象相交于点 A（8 3,a）（1）求 a 的值；（2）求不等式组 0kx+b1 x+1 的正整数解；2（3）如函数 y=kx+b 图象与 x 轴的交点是 B,函数 y12x+1 的图象与 y 轴的交点是 C,求四边形 ABOC 的面积例 4、如图, A（0,1）,M（3,2）, N（4,4）动点 P 从点 A 动身,沿 y细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载轴以每秒 1 个单位的速度向上移动,且过点 设移动时间为 t 秒（1）当 t=3 时,求直线 l 的解析式；P 的直线 l：y=- x+b 也随之移动,（2）如点 M,N 位于 l 的异侧,确定 t 的取值范畴；（3）直接写出 t 为何值时,点 M 关于 l 的对称点落在坐标轴上类似性问题1某单位急需用车,但又不预备买车,他们预备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同设汽车每月行驶 x（cm）,应对给个体车主的月费用为 y1 元, .应对给汽车出租公司的月费用为 y 2 元, y1,y2 分别与 x 之间的函数关系的图像（两条射线）如图所示,观看图像回答以下问题：（1）每月行驶的路程在什么范畴内,租出租公司的车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同？（3）假如这个单位估量每月行驶的路程为2300km ,那么这个单位租哪家车合算？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2某学校方案购买如干台电脑,精品资料欢迎下载6000 元,.现从两家商场明白到同一型号电脑每台报价均为并且多买都有肯定的优惠甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费,其余每台优惠费 y1（元）与所买电脑台数x 之间的关系式是_25%,那么甲商场的收乙商场的优惠条件是：每台优惠20%,那么乙商场的收费y2（元）与所买电脑台数x之间的关系式是_（1）什么情形下到甲商场购买更优惠？（2）什么情形下到乙商场购买更优惠？（3）什么情形下两家商场的收费相同？探究应用拓展性训练1（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣扬材料甲公司提出：每份材料收费20 元,另收3000 元设计费；乙公司提出：每份材料收费30 元,不收设计费问：让哪家公司制作这批宣扬比较合算？2（学科内综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L） .与进水时间x（min ）的函数关系（1）求 y 与 x 之间的函数关系式细心整理归纳 精选学习资料 （2）进水多少分钟后,水箱中的水量超过100L ？ 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载12 元3小明预备将平常的零用钱节省一些储存起来,他已存有 50 元,从现在起每个月存（1）试写出小明的存款数与从现在开头的月份数之间的函数关系式（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱,听到小明在存零用钱,.表示从现在起每个月存 18 元,争取超过小明请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图像半年以后小丽的存款数是多少？能否超过小明？.至少几个月后小丽的存款数超过小明？4（探究题）某企业急需一辆汽车,但无资金购买,公司经理打算租一辆汽车,.使用期限为一个月 甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为12 元,.乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机 800 元的工资, 另外每千米的租车费为 1 元,设在这一个月中汽车行驶 x（km）,租用甲公司的费用为 y1（元）,租用乙公司的费用为 y2（元）（1）试分别写出 y 1, y2与 x 之间的函数关系式（2）当汽车行驶路程为多少千米时,租用乙公司的汽车合算？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一次函数与方程和不等式 课后练习1：一次函数y=kx+b 的图象如下列图,就方程kx+b=0 的解为 Ax=2 By=2 Cx=1D y=12：一次函数 y=ax+b 的图象如下列图,就不等式 ax+b0 的解集是 Ax 2 B x 2 Cx1 Dx1 3：已知一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、四象限,且与 x 轴交于点 2,0,就关于 x 的不等式 a x 1 b0 的解集为 x、y 的二元一Ax 1 B x 1 Cx1 Dx1 4：如图,已知函数y=ax+b 和 y=kx 的图象交于点P,就依据图象可得,关于次方程组yaxb的解是ykx5：如图,以两条直线l 1,l2的交点坐标为解的方程组是 Axxyy11Bxxyy11Cxxyy1Dxxyy11 第 8 页,共 10 页 22212细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6：1已知关于精品资料x=欢迎下载y=mx+n 与 x 轴的交点坐标x 的方程 mx+n=0 的解是2,那么,直线是2如图,在平面直角坐标系中,直线AB：y=kx+b 与直线 OA：y=mx 相交于点 A 1, 2,就关于 x 的不等式 kx+bmx 的解是 3如图,直线l1和 l2的交点坐标为 A4, 2 B2,4 C4,2 D3, 1 x+4的交点坐标是_ 7：1已知方程 2x+1=x+4的解是 x=1,那么,直线 y=2x+1 与直线 y=_ 2在平面直角坐标系中,直线 y=kx+1 关于直线 x=1 对称的直线 l 刚好经过点 3,2,就不等式 3xkx+1 的解集是 _ _ 3如图,直线 l1、 l2交于点 A,试求点 A 的坐标18：已知一次函数 y1=kx+b 和正比例函数 y22x 的图象交于点 A 2,m,又一次函数 y1=kx+b的图象过点 B1,41求一次函数的解析式；2依据图象写出 y1y2的取值范畴9：如图,已知一次函数的图象经过点 A 1,0、B0,21求一次函数的关系式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载2设线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点 C,求点 C 的坐标10：如图,已知直线y=kx+b 经过点 A1, 4, B0,2,与 x 轴交于点C,经过点D1,0的直线 DE 平行于 OA,并与直线AB 交于点 E1求直线 AB 的解析式； 2求直线 DE 的解析式； 3 求 EDC 的面积11：随着人们节能环保意识的增强,绿色交通工具越来越受到人们的青睐,电动摩托成为人们首选的交通工具,某商场方案用不超过140000 元购进 A、 B 两种不同品牌的电动摩托40辆,估量这批电动摩托全部销售后可获得不少于 的进价和售价如下表所示：29000 元的利润, A、B 两种品牌电动摩托品牌A 品牌电动摩托B 品牌电动摩托y 元价格进价 元/辆 4000 3000 售价 元/辆 5000 3500 设该商场方案进A 品牌电动摩托x 辆,两种品牌电动摩托全部销售后可获利润1写出 y 与 x 之间的函数关系式；2该商场购进A 品牌电动摩托多少辆时？获利最大,最大利润是多少 第 10 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - 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