2022年一次函数动点问题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一次函数动点问题1模型介绍：古希腊有一个闻名的“将军饮马问题 ”,大致内容如下：古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营 A、B,他总是先去 A 营,再到河 边饮马,之后再去 B 营,如图 ,他经常想,怎么走才能使每天的路程之和 最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法奇妙的解决了这问题如图,作 B 关于直线 l 的对称点 B,连接 AB 与直线 l 交于点 C,点 C就是所求 的位置请你在以下的阅读、应用的过程中,完成解答（1）理由：如图,在直线L 上另取任一点 C,连接 AC ,BC,BC,直线 l 是点 B,B的对称轴,点 C,C在 l 上CB=,CB=B, AC+CBAC +CB即 AC+CB最小AC+CB=AC+CB =在 ACB中, ABAC+C归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用 “两点之间线段最短 ”,即转化为 “三角形两边之和大于第三边 ”的问题加以解决（其中C为 AB 与 l 的交点,即 A、C、B三点共线）本问题可拓展为 “求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型（2）模型应用如图 ,正方形 ABCD的边长为 2,E 为 AB 的中点, F是 AC上一动点求 EF+FB的最小值分析：解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B 与 D 关第 1页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -于直线 AC对称,连结 ED 交 AC于 F,就 EF+FB的最小值就是线段 的长度, EF+FB的最小值是如图,一次函数 y= 2x+4 的图象与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,点 O 为坐标原点,点 C与点 D 分别为线段 OA,AB 的中点,点 P 为 OB上一动点,求：PC+PD的最小值,并写出取得最小值时 P 点坐标第 2页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2已知一次函数图象经过点 求此一次函数的解析式；A（3,5）和点 B（ 4, 9）两点,如点（ a,2）在该函数的图象上,试求 a 的值如此一次函数的图象与x 轴交点 C,点 P（m,n）是图象上一个动点（不与点C重合）,设 POC的面积是 S,试求 S关于 m 的函数关系式3已知函数 y=kx+b 的图象经过点 A（4,3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行,点 B（2,m）在一次函数 y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和 m 的值？（2）如在 x 轴上有一动点 P（x,0）,到定点 A（4,3）、B（2,m）的距离分别 为 PA和 PB,当点 P的横坐标为多少时, PA+PB的值最小第 3页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -4已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）如点 P 为该一次函数图象上一动点,且点 如 S OAP=2,求点 P 的坐标A 为该函数图象与 x 轴的交点,第 4页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5阅读下面的材料：在平面几何中, 我们学过两条直线平行的定义 下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1 0）的图象为直线 l1,一次函数 y=k2x+b2（k2 0）的图象为直线 l2,如 k1=k2,且 b1 b2,我们就称直线 l 1与直线 l2相互平行解答下面的问题：（1）已知正比例函数 y= x 的图象为直线 l1,求过点 P（1,3）且与已知直线 l1平行的直线 l2 的函数表达式；（2）设直线 l2 分别与 y 轴、 x 轴交于点 A、B,求 l1 和 l2两平行线之间的距离；（3）如 Q 为 OA 上一动点,求 QP+QB的最小值时 Q 点的坐标为（4）在 x 轴上找一点 M,使 BMP 为等腰三角形,求 案）第 5页（共 18页）M 的坐标（直接写出答细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6阅读下面的材料：在平面几何中,我们学过两条直线相互垂直的定义,下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们相互垂直的定义：设一次函数 y=k1x+b1（k1 0）的直线为 l1,一次函数 y=k2x+b2（k2 0）的图象为直线 l2如 k1.k2= 1,我们就称直线l1 与直线 l2 相互垂直,现请解答下面的问题：已知直线 l 与直线 y=x 1 相互垂直,且直线l 的图象过点 P（ 1,4）,且直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B 两点（1）求直线 l 的函数表达式；（2）如点 C是线段 AB上一动点,求线段OC长度的最小值；（3）如点 Q 是 AO上的一动点,求BPQ周长的最小值,并求出此时点Q 的坐标；（4）在（ 3）的条件下,如点P 关于 BQ的对称点为 P,恳求出四边形ABOP 的面积第 6页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一次函数动点问题参考答案与试题解析一解答题（共 6 小题）1模型介绍：古希腊有一个闻名的“将军饮马问题 ”,大致内容如下：古希腊一位将军,每天都要巡查河岸侧的两个军营 A、B,他总是先去 A 营,再到河边饮马,之后再去 B 营,如图 ,他经常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法奇妙的解决了这问题如图,作 B 关于直线 l 的对称点 B,连接 AB 与直线 l 交于点 C,点 C就是所求的位置请你在以下的阅读、应用的过程中,完成解答（1）理由：如图,在直线L 上另取任一点 C,连接 AC ,BC,BC,直线 l 是点 B,B的对称轴,点 C,C在 l 上CB= CB',CB= C'B'B, AC+CBAC +CB即 AC+CB最小AC+CB=AC+CB = AB'在 ACB中, ABAC+C归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想,把A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从而可利用 “两点之间线段最短 ”,即转化为 “三角形两边之和大于第三边 ”的问题加以解决（其中C为 AB 与 l 的交点,即 A、C、B三点共线）本问题可拓展为 “求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型第 7页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2）模型应用如图 ,正方形 ABCD的边长为 2,E 为 AB 的中点, F是 AC上一动点求 EF+FB的最小值分析：解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B 与 D 关于直线 AC对称,连结 ED交 AC于 F,就 EF+FB的最小值就是线段 DE 的长度, EF+FB的最小值是如图,已知 O 的直径 CD 为 4, AOD 的度数为 60°,点 B 是 的中点,在直径 CD上找一点 P,使 BP+AP的值最小,就 BP+AP的最小值是 2；如图,一次函数 y= 2x+4 的图象与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,点 O 为坐标原点,点 C与点 D 分别为线段 OA,AB 的中点,点 P 为 OB上一动点,求：PC+PD的最小值,并写出取得最小值时 P 点坐标【解答】解：（1）理由：如图,在直线 L 上另取任一点 C,连接 AC ,BC,BC,直线 l 是点 B,B的对称轴,点 C,C在 l 上CB=CB',CB=C'B'AC+CB=AC+CB=AB'B, AC+CBAC +CB即 AC+CB最小在 ACB中, ABAC+C故答案为： CB',C'B',AB'；（2）模型应用解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B 与 D 关于直线 AC对称,连结 ED交 AC于 F就 EF+FB的最小值就是线段DE的长度, EF+FB的最小值是第 8页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在正方形 ABCD中, AB=AD=2,BAD=90°点 E是 AB 中点,AE=1,依据勾股定理得, DE=,即： EF+FB的最小值,故答案为： DE,；如图,由圆的对称性可知, A 与 A'关于直径 CD对称,连结 A'B 交 CD于 F,就 AE+EB的最小值就是线 A'BE的长度, AOD=A'OD=60°点 B 是 的中点, AOB=BOD= AOD=30° , A'OB=90° O 的直径为 4,OA=OA'=OB=2,在 Rt A'OB中, A'B=2,BP+AP的最小值是 2故答案为 2,如图,第 9页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由平面坐标系中的对称性可知,C与 C'关于直径 y 轴对称,连结 C'D交 y 轴于 P,就 PC+PD的最小值就是线 C'D的长度,一次函数 y= 2x+4 的图象与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,A（2,0）,B（0,4）,C（1,0）,D（1,2）,C与 C'关于直径 y 轴对称,C'（ 1,0）,C'D= =2,PC+PD的最小值为 2,C'（ 1,0）,D（1,2）,直线 C'D的解析式为 y=x+1,P（0,1）2已知一次函数图象经过点 求此一次函数的解析式；A（3,5）和点 B（ 4, 9）两点,如点（ a,2）在该函数的图象上,试求 a 的值如此一次函数的图象与x 轴交点 C,点 P（m,n）是图象上一个动点（不与点C重合）,设 POC的面积是 S,试求 S关于 m 的函数关系式【解答】 解：设一次函数解析式为 y=kx+b,依题意,得,解得,一次函数解析式为 y=2x 1；将点（ a,2）代入 y=2x 1 中,得 2a 1=2,第10页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解得 a=；由 y=2x 1,令 y=0 得 x= ,C（,0）,又点 P（m,n）在直线 y=2x 1 上,n=2m 1,S= ×× | n| = | （2m 1）| =|m| 3已知函数 y=kx+b 的图象经过点 A（4,3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行,点 B（2,m）在一次函数 y=kx+b 的图象上（1）求此一次函数的表达式和 m 的值？（2）如在 x 轴上有一动点 P（x,0）,到定点 A（4,3）、B（2,m）的距离分别 为 PA和 PB,当点 P的横坐标为多少时, PA+PB的值最小【解答】 解：（1）函数 y=kx+b 的图象经过点A（4,3）且与一次函数y=x+1的图象平行,解得：,一次函数的表达式为 y=x 1当 x=2时, m=x 1=2 1=1,m 的值为 1（2）作点 B 关于 x 轴的对称点 B,连接 AB 交 x 轴于点 P,此时 PA+PB取最小值,如下列图点 B 的坐标为（ 2,1）,点 B的坐标为（ 2, 1）设直线 AB的表达式为 y=ax+c,将（ 2, 1）、（4,3）代入 y=ax+c,解得：,直线 AB的表达式为 y=2x 5当 y=0 时, 2x 5=0,第11页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解得： x=,当点 P 的横坐标为 时, PA+PB的值最小4已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）如点 P 为该一次函数图象上一动点,且点 如 S OAP=2,求点 P 的坐标A 为该函数图象与 x 轴的交点,【解答】 解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b,把（ 2,3）、（2, 1）分别代入得,解得所以一次函数解析式为y= x+1；（2）当 y=0 时, x+1=0,解得 x=1,就 A（ 1,0）,设 P（t, t+1）,由于 S OAP=2,所以× 1× | t+1| =2,解得 t= 3 或 t=5,所以 P 点坐标为（3,4）或（ 5, 4）5阅读下面的材料：第12页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在平面几何中, 我们学过两条直线平行的定义 下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1 0）的图象为直线 l1,一次函数 y=k2x+b2（k2 0）的图象为直线 l2,如 k1=k2,且 b1 b2,我们就称直线 l 1与直线 l2相互平行解答下面的问题：（1）已知正比例函数 y= x 的图象为直线 l1,求过点 P（1,3）且与已知直线 l1平行的直线 l2 的函数表达式；（2）设直线 l2 分别与 y 轴、 x 轴交于点 A、B,求 l1 和 l2两平行线之间的距离；（3）如 Q 为 OA 上一动点,求 QP+QB的最小值时 Q 点的坐标为Q（0,）（4）在 x 轴上找一点 M,使 BMP 为等腰三角形,求 案）M 的坐标（直接写出答【解答】 解：（1）依据正比例函数 y= x 的图象为直线 l1,设直线 l2 的函数表达 式为 y= x+b,把 P（1,3）代入得： 3= 1+b,即 b=4,就过点 P（1,3）且与已知直线 l1 平行的直线 l2的函数表达式为 y= x+4；（2）过 O 作 ONAB,如图 1 所示, ON 为 l1和 l2 两平行线之间的距离,第13页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -对于直线 y= x+4,令 x=0,得到 y=4；令 y=0,得到 x=4,A（0,4）,B（4,0）,即 OA=OB=4, ABC为等腰直角三角形,AB= =4,且 ON 为斜边上的中线,ON= AB=2,就 l1 和 l2两平行线之间的距离为 2；（3）找出 B 关于 y 轴的对称点 B（ 4,0）,连接 PB,与 y 轴交于点 Q,连接PQ,此时 QP+QB 最小,设直线 B P的解析式为 y=mx+n,把 B和 P 坐标代入得：,解得： m=,n=,直线 B P的解析式为 y= x+,令 x=0,得到 y=,即 Q（0,）；故答案为： Q（0,）；（4）如图 2 所示,分三种情形考虑：第14页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 PM1=PB时,由对称性得到 M1（ 2,0）；当 PM2=BM2时, M2 为线段 PB垂直平分线与 x 轴的交点,直线 PB的解析式为 y= x+4,且线段 PB中点坐标为（ 2.5,1.5）,线段 PB垂直平分线解析式为y 1.5=x 2.5,即 y=x 1,令 y=0,得到 x=1,即 M 2（1,0）；当 PB=M3B= =3 时,OM3=OB+BM3=4+3,此时 M 3（4 3,0）,M 3（4+3,0）综上, M 的坐标为（2,0）或（ 1,0）或（ 4 3,0）或（ 4+3,0）6阅读下面的材料：在平面几何中,我们学过两条直线相互垂直的定义,下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们相互垂直的定义：设一次函数 y=k1x+b1（k1 0）的直线为 l1,一次函数 y=k2x+b2（k2 0）的图象为直线 l2如 k1.k2= 1,我们就称直线l1 与直线 l2 相互垂直,现请解答下面的问题：已知直线 l 与直线 y=x 1 相互垂直,且直线l 的图象过点 P（ 1,4）,且直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B 两点（1）求直线 l 的函数表达式；（2）如点 C是线段 AB上一动点,求线段OC长度的最小值；（3）如点 Q 是 AO上的一动点,求BPQ周长的最小值,并求出此时点Q 的坐标；（4）在（ 3）的条件下,如点P 关于 BQ的对称点为 P,恳求出四边形ABOP 的面积第15页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解答】 解：（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b,直线 l 与直线 y=x 1 相互垂直,k= 1,解得 k=2,直线 l 的图象过点 P（ 1,4）, k+b=4,即 2+b=4,解得 b=6,直线 l 的解析式为 y=2x+6；（2）如图 1,过 O 作 OCAB 于点 C,此时线段 OC的长度最小,在 y=2x+6 中,令 x=0 可得 y=6,令 y=0 可求得 x= 3,A（0,6）,B（ 3,0）,OA=6,OB=3AB=3,第16页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AB.OC= OA.OB,3 OC=3× 6,OC=,即线段 OC长度的最小值为；（3）如图 2,作点 P 关于 y 轴的对称点 P,连接 BP交 y 轴于点 Q,过 P作 P Gx 轴于点 G,就 PQ=P Q,PQ+BQ=BQ+QP ,点 B、Q、P三点在一条线上,BQ+PQ最小,P（ 1,4）,P（1,4）,P G=4,OG=1,BG=BO+OG=4=P G, OBQ=45° ,BP =4 ,OQ=BO=3,Q 点坐标为（ 0,3）,又 BP= =2,此时 BPQ的周长 =BP+BP =4 +2；第17页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（4）由（ 3）可知 OBQ=OQB=45° , PQA=P QA=45°,PQBQ,如图 3,延长 PQ到点 P,使 PQ=P Q,就 P即为点 P 关于 BQ的对称点,过 P作 P Hy 轴于点 H,由（ 3）可知 PQ=QP =,QH=HP =1,OH=OQ QH=3 1=2,S四边形 ABOP =S AOB+S AOP =× 6× 3+× 6× 1=12,即四边形 ABOP 的面积为 12第18页（共 18页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 18 页 - - - - - - - - -